【典型例题1】(1)下列运算正确的是 ()
A. $x^2 · x^3 = x^6$
B. $(x^3)^2 = x^5$
C. $(xy^2)^3 = x^3 y^6$
D. $x^6 ÷ x^3 = x^2$
(2)若$(a^2 - 1)^0 = 1$，则a的取值范围是。
【解析】(1)$x^2 · x^3 = x^{2+3} = x^5$，故A错误；
$(x^3)^2 = x^{2×3} = x^6$，故B错误；
$(xy^2)^3 = x^3 · (y^2)^3 = x^3 y^6$，故C正确；
$x^6 ÷ x^3 = x^{6-3} = x^3$，故D错误。
(2)根据零指数幂的意义可知，$a^2 - 1 ≠ 0$，即$a ≠ ±1$。
【答案】(1)C (2)$a ≠ ±1$

解：
(1) 逐一验证各选项：
A. $x^2 · x^3 = x^{2+3} = x^5 ≠ x^6$，运算错误；
B. $(x^3)^2 = x^{2×3} = x^6 ≠ x^5$，运算错误；
C. $(xy^2)^3 = x^3 · (y^2)^3 = x^3 y^6$，运算正确；
D. $x^6 ÷ x^3 = x^{6-3} = x^3 ≠ x^2$，运算错误。
所以选C。
(2) 根据零指数幂的定义，底数不能为0，可得：
$a^2 - 1 ≠ 0$
解得$a ≠ \pm1$。

1. 下列计算正确的是 （）

A.$a^3 · a^4 = a^{12}$
B.$-1^0 = 1$
C.$(a^3)^5 = a^{15}$
D.$(-2ab)^3 = -6a^3b^3$

1.C 【解析】$a^3 · a^4 = a^7, -1^0 = -1, (a^3)^5 = a^{15}, (-2ab)^3 = -8a^3b^3$,故选项C正确。

2. 对于整数$a,b$定义运算:$a※b=(a^b)^m + (b^a)^n$（其中$m,n$为常数）,如$3※2=(3^2)^m + (2^3)^n$.
(1)填空:当$m=1,n=2025$时,$2※1=$;
(2)若$1※4=10,2※2=15$,求$4^{2m+n-1}$的值.

【解】(1)3
(2)因为$1※4=10,2※2=15$,
所以$(1^4)^m + (4^1)^n = 10, (2^2)^m + (2^2)^n =15$,
整理得$4^n=9,4^m +4^n=15$,
所以$4^m=6$,
所以$4^{2m+n-1}=4^{2m}×4^n ÷4=(4^m)^2 ×4^n ÷4=6^2×9÷4=81.$

【典型例题 2】计算:$[x(3x-4)-(x+3)(x-1)-3]÷(2x).$
【解】$[x(3x-4)-(x+3)(x-1)-3]÷(2x)$
$=(3x^2 -4x -x^2 -2x +3 -3)÷(2x)$
$=(2x^2 -6x)÷(2x)$
$=x-3.$
规律方法 整式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序是一致的,即先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,另外注意去括号时的符号问题.

解：
$\begin{aligned}&[x(3x - 4) - (x + 3)(x - 1) - 3] ÷ (2x)\\=&(3x^2 - 4x - x^2 - 2x + 3 - 3) ÷ (2x)\\=&(2x^2 - 6x) ÷ (2x)\\=&x - 3\end{aligned}$