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13. 仔细观察下列三组数.
第一组:1,4,9,16,25,…；
第二组:1,8,27,64,125,…；
第三组:−2,−8,−18,−32,−50,….
（1）每组的第6个数各是多少？
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
（3）取每组数的第n个数，计算这三个数的和.
第一组:1,4,9,16,25,…；
第二组:1,8,27,64,125,…；
第三组:−2,−8,−18,−32,−50,….
（1）每组的第6个数各是多少？
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
（3）取每组数的第n个数，计算这三个数的和.
答案
13. (1) 36 216 $-72$ (2) 100 (3) $n^3-n^2$
解析
【分析】
解决此类找规律题的核心是先推导每组数的第n个数（通项）与序号n的关系：①观察第一组，各数都是对应序号的平方，可得第n个数为$n^2$；②第二组各数是对应序号的立方，可得第n个数为$n^3$；③第三组均为负数，绝对值是对应序号平方的2倍，可得第n个数为$-2n^2$。得到三个通项后，再对应三个小问的要求代入计算或化简即可。
【解析】
先推导每组数的第n个数的表达式：
第一组：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{n^2}$；
第二组：$1=1^3$，$8=2^3$，$27=3^3$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{n^3}$；
第三组：$-2=-2×1^2$，$-8=-2×2^2$，$-18=-2×3^2$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{-2n^2}$。
（1）求每组第6个数，令$n=6$代入各表达式：
第一组第6个数：$6^2=36$；
第二组第6个数：$6^3=216$；
第三组第6个数：$-2×6^2=-2×36=-72$。
（2）先求两组的第100个数：
第二组第100个数：$100^3$；
第一组第100个数：$100^2$；
倍数为：$100^3÷100^2=100$。
（3）三个数的和为三个表达式相加，化简得：
$n^2 + n^3 + (-2n^2) = n^3 - n^2$。
【答案】
(1) $36$，$216$，$-72$
(2) $100$
(3) $n^3-n^2$
【知识点】
数字规律探究，乘方运算，整式加减
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题关键是观察数列中数和序号的对应关系，推导出通用表达式，再结合乘方、整式加减的运算规则求解，是规律类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
解决此类找规律题的核心是先推导每组数的第n个数（通项）与序号n的关系：①观察第一组，各数都是对应序号的平方，可得第n个数为$n^2$；②第二组各数是对应序号的立方，可得第n个数为$n^3$；③第三组均为负数，绝对值是对应序号平方的2倍，可得第n个数为$-2n^2$。得到三个通项后，再对应三个小问的要求代入计算或化简即可。
【解析】
先推导每组数的第n个数的表达式：
第一组：$1=1^2$，$4=2^2$，$9=3^2$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{n^2}$；
第二组：$1=1^3$，$8=2^3$，$27=3^3$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{n^3}$；
第三组：$-2=-2×1^2$，$-8=-2×2^2$，$-18=-2×3^2$……，故第$n$个数为$\boldsymbol{-2n^2}$。
（1）求每组第6个数，令$n=6$代入各表达式：
第一组第6个数：$6^2=36$；
第二组第6个数：$6^3=216$；
第三组第6个数：$-2×6^2=-2×36=-72$。
（2）先求两组的第100个数：
第二组第100个数：$100^3$；
第一组第100个数：$100^2$；
倍数为：$100^3÷100^2=100$。
（3）三个数的和为三个表达式相加，化简得：
$n^2 + n^3 + (-2n^2) = n^3 - n^2$。
【答案】
(1) $36$，$216$，$-72$
(2) $100$
(3) $n^3-n^2$
【知识点】
数字规律探究，乘方运算，整式加减
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题关键是观察数列中数和序号的对应关系，推导出通用表达式，再结合乘方、整式加减的运算规则求解，是规律类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
14. 一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等. 图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7＋3＋5＝15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15.
（1）根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结论；
（2）图2是这种特殊的三角形幻方，请把－4，－2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；
（3）图3是这种特殊的三角形幻方，求x的值.
（1）根据图1，计算图中9个数的和与每个三角形三个顶点处数的和之间的倍数关系，并写出你的结论；
（2）图2是这种特殊的三角形幻方，请把－4，－2，0，2，3这5个数字填在图2的各个圈内；
（3）图3是这种特殊的三角形幻方，求x的值.
答案
14. (1) $7+6+2+3+8+5+1+4+9=45$,每个三角形三个顶点处数的和是15,所以图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的3倍.
(2)
(3)
由图可知,每个三角形三个顶点处数的和是$m+n-4$,所以$m+n-4=A+m+2$,所以$A=n-6$. 因为$B=(m+n-4)-(A-4)=m+n-4-(n-6-4)=m+6$,所以$x=(m+n-4)-(B+n)=(m+n-4)-(m+6+n)=-10$.解析
【分析】
（1）要探究9个数的和与单个三角形顶点和的倍数关系，先计算图1中9个数字的总和，再结合已知的每个三角形顶点和15，做除法即可得到倍数关系。
（2）填数时先利用“每个三角形顶点和相等”的性质，找到有公共顶点的两个三角形，消去公共顶点的未知数，先确定部分位置的数字，再依次推出剩余位置的数字，将给出的5个数填入对应位置即可。
（3）求x的值时，先根据每个三角形顶点和相等的性质，将A用含m、n的代数式表示，再推导得到B的表达式，最后代入x所在三角形的和的关系中化简，即可求出x的值。
【解析】
（1）计算图1中9个数的和：
$7+6+2+3+8+5+1+4+9=45$
已知每个三角形三个顶点处数的和为15，
$45÷15=3$，即可得到二者的倍数关系。
（2）首先推导得图2中每个三角形的顶点和为0，再依次确定各空的数字：上层左填-2，上层右填3，第三行左填2，第三行中间填0，第三行右填-4，填入后如下图：
（3）设每个三角形三个顶点处的数的和为$S$，由题意得$S=m+n-4$。
观察包含A的小三角形，可得$S=2+m+A$，代入$S=m+n-4$得：
$m+n-4=2+m+A$，化简得$A=n-6$。
再观察包含B的三角形，可得$S=A-4+B$，代入$S$和$A$的表达式得：
$B=(m+n-4)-(n-6)+4=m+6$。
最后观察包含x的三角形，可得$S=B+n+x$，代入$S$和$B$的表达式得：
$m+6+n+x=m+n-4$，消去m、n后解得$x=-10$。
【答案】
(1) 图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的3倍；
(2)；
(3) $x=-10$，对应图示：
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，代数式化简求值
【点评】
本题以特殊三角形幻方为载体，既考查了学生从已知示例中总结规律的能力，又结合有理数运算、代数式化简的知识考查规律的应用，需要学生认真观察图形中各顶点的位置关系，逐步推导未知量，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
（1）要探究9个数的和与单个三角形顶点和的倍数关系，先计算图1中9个数字的总和，再结合已知的每个三角形顶点和15，做除法即可得到倍数关系。
（2）填数时先利用“每个三角形顶点和相等”的性质，找到有公共顶点的两个三角形，消去公共顶点的未知数，先确定部分位置的数字，再依次推出剩余位置的数字，将给出的5个数填入对应位置即可。
（3）求x的值时，先根据每个三角形顶点和相等的性质，将A用含m、n的代数式表示，再推导得到B的表达式，最后代入x所在三角形的和的关系中化简，即可求出x的值。
【解析】
（1）计算图1中9个数的和：
$7+6+2+3+8+5+1+4+9=45$
已知每个三角形三个顶点处数的和为15，
$45÷15=3$，即可得到二者的倍数关系。
（2）首先推导得图2中每个三角形的顶点和为0，再依次确定各空的数字：上层左填-2，上层右填3，第三行左填2，第三行中间填0，第三行右填-4，填入后如下图：
（3）设每个三角形三个顶点处的数的和为$S$，由题意得$S=m+n-4$。
观察包含A的小三角形，可得$S=2+m+A$，代入$S=m+n-4$得：
$m+n-4=2+m+A$，化简得$A=n-6$。
再观察包含B的三角形，可得$S=A-4+B$，代入$S$和$A$的表达式得：
$B=(m+n-4)-(n-6)+4=m+6$。
最后观察包含x的三角形，可得$S=B+n+x$，代入$S$和$B$的表达式得：
$m+6+n+x=m+n-4$，消去m、n后解得$x=-10$。
【答案】
(1) 图中9个数的和是每个三角形三个顶点处数的和的3倍；
(2)
；(3) $x=-10$，对应图示：
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，代数式化简求值
【点评】
本题以特殊三角形幻方为载体，既考查了学生从已知示例中总结规律的能力，又结合有理数运算、代数式化简的知识考查规律的应用，需要学生认真观察图形中各顶点的位置关系，逐步推导未知量，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
