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7. 观察下列一组数:3,5,7,9,11,…它们是按一定规律排列的数字,那么这一组数的第21个数是
43
,那么这组数的第k个数(k为正整数)是$2k+1$
.答案
7. 43 $2k+1$
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，解题思路如下：第一步先观察已知数字的特征，计算相邻两个数的差，可发现后一个数总比前一个数大2，差值固定；第二步将每个数和它的序号对应起来，寻找数字和序号之间的等量关系，总结出通用的规律表达式；第三步将k=21代入规律表达式，即可求出第21个数的数值。
【解析】
我们把已知数和对应的序号对应分析：
第1个数：$3 = 2×1 + 1$
第2个数：$5 = 2×2 + 1$
第3个数：$7 = 2×3 + 1$
第4个数：$9 = 2×4 + 1$
第5个数：$11 = 2×5 + 1$
……
由此可归纳得出，这组数的第k个数（k为正整数）为$2k+1$。
当$k=21$时，代入表达式得：$2×21 + 1 = 42 + 1 = 43$，即第21个数是43。
【答案】
43；$2k+1$
【知识点】
数字规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是掌握从特殊到一般的归纳方法，先通过已知的几组对应值总结通用规律，再代入求解具体数值，是规律探究类问题的常见考法。
【难度系数】
0.9
这是一道数字规律探究题，解题思路如下：第一步先观察已知数字的特征，计算相邻两个数的差，可发现后一个数总比前一个数大2，差值固定；第二步将每个数和它的序号对应起来，寻找数字和序号之间的等量关系，总结出通用的规律表达式；第三步将k=21代入规律表达式，即可求出第21个数的数值。
【解析】
我们把已知数和对应的序号对应分析：
第1个数：$3 = 2×1 + 1$
第2个数：$5 = 2×2 + 1$
第3个数：$7 = 2×3 + 1$
第4个数：$9 = 2×4 + 1$
第5个数：$11 = 2×5 + 1$
……
由此可归纳得出，这组数的第k个数（k为正整数）为$2k+1$。
当$k=21$时，代入表达式得：$2×21 + 1 = 42 + 1 = 43$，即第21个数是43。
【答案】
43；$2k+1$
【知识点】
数字规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是掌握从特殊到一般的归纳方法，先通过已知的几组对应值总结通用规律，再代入求解具体数值，是规律探究类问题的常见考法。
【难度系数】
0.9
8. 观察一列单项式：$x^2,3x^2,5x^2,7x^2,9x^2,11x^2,\dots$则第2013个单项式是
$4025x^2$
。答案
8. $4025x^2$
解析
【分析】
解决这道找规律题的核心思路是将单项式拆分为系数和含字母的部分分别探究规律：首先观察所有单项式的字母和指数部分，发现都是固定的$x^2$，无需额外推导；再单独分析系数的变化规律，给出的系数是1、3、5、7、9……是连续的奇数，我们只需要推导第$n$个奇数的表达式，再代入$n=2013$计算出对应系数，最后和固定的$x^2$组合即可得到答案。
【解析】
1. 观察单项式的字母部分：该列单项式的字母和指数均为$x^2$，保持不变。
2. 观察系数的规律：
第1个单项式的系数：$1=2×1-1$
第2个单项式的系数：$3=2×2-1$
第3个单项式的系数：$5=2×3-1$
第4个单项式的系数：$7=2×4-1$
……
由此可归纳出：第$n$个单项式的系数为$2n-1$，即第$n$个单项式可表示为$(2n-1)x^2$。
3. 求第2013个单项式：
当$n=2013$时，系数为$2×2013 -1=4026-1=4025$，结合固定的字母部分，可得第2013个单项式是$4025x^2$。
【答案】
$4025x^2$
【知识点】
单项式的认识、规律型数字变化探究、列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题的关键是学会拆分单项式的组成部分分别找规律，其中奇数列的通用表达式$2n-1$是数字规律题中非常常用的结论，熟练掌握可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
解决这道找规律题的核心思路是将单项式拆分为系数和含字母的部分分别探究规律：首先观察所有单项式的字母和指数部分，发现都是固定的$x^2$，无需额外推导；再单独分析系数的变化规律，给出的系数是1、3、5、7、9……是连续的奇数，我们只需要推导第$n$个奇数的表达式，再代入$n=2013$计算出对应系数，最后和固定的$x^2$组合即可得到答案。
【解析】
1. 观察单项式的字母部分：该列单项式的字母和指数均为$x^2$，保持不变。
2. 观察系数的规律：
第1个单项式的系数：$1=2×1-1$
第2个单项式的系数：$3=2×2-1$
第3个单项式的系数：$5=2×3-1$
第4个单项式的系数：$7=2×4-1$
……
由此可归纳出：第$n$个单项式的系数为$2n-1$，即第$n$个单项式可表示为$(2n-1)x^2$。
3. 求第2013个单项式：
当$n=2013$时，系数为$2×2013 -1=4026-1=4025$，结合固定的字母部分，可得第2013个单项式是$4025x^2$。
【答案】
$4025x^2$
【知识点】
单项式的认识、规律型数字变化探究、列代数式
【点评】
本题是基础的规律探究类题目，解题的关键是学会拆分单项式的组成部分分别找规律，其中奇数列的通用表达式$2n-1$是数字规律题中非常常用的结论，熟练掌握可以快速解决同类题型。
【难度系数】
0.8
9. 观察下面的单项式：$a$，$-2a^{2}$，$4a^{3}$，$-8a^{4}$，…根据你发现的规律，第8个式子是
$-128a^8$
。答案
9. $-128a^8$
解析
【分析】
要解决这类找单项式规律的问题，我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、含字母的部分三个独立部分分别找规律，再组合得到第n个式子的通用表达式，最后代入n=8就能求出第8个式子。
首先看符号：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负，可得规律：序号为奇数时符号为正，序号为偶数时符号为负。
再看系数的绝对值：第1个是1=2⁰，第2个是2=2¹，第3个是4=2²，第4个是8=2³，可得规律：第n个式子的系数绝对值是2的(n-1)次方。
最后看字母部分：第1个是a¹，第2个是a²，第3个是a³，第4个是a⁴，可得规律：第n个式子的字母部分是a的n次方。
【解析】
我们分三部分推导第n个式子的规律：
1. 符号规律：当n为奇数时符号为正，n为偶数时符号为负；
2. 系数绝对值规律：第n个式子的系数绝对值为$\boldsymbol{2^{n-1}}$；
3. 字母部分规律：第n个式子的字母部分为$\boldsymbol{a^n}$。
当n=8时：
符号：8是偶数，所以符号为负；
系数绝对值：$2^{8-1}=2^7=128$；
字母部分：$a^8$。
将三部分组合，得到第8个式子为$-128a^8$。
【答案】
$-128a^8$
【知识点】
规律型数字变化，单项式，有理数乘方
【点评】
本题是典型的单项式规律探究题，解题核心是将复杂的单项式拆解为多个独立模块分别找规律，再整合得到通用规律后代入计算，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决这类找单项式规律的问题，我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、含字母的部分三个独立部分分别找规律，再组合得到第n个式子的通用表达式，最后代入n=8就能求出第8个式子。
首先看符号：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负，可得规律：序号为奇数时符号为正，序号为偶数时符号为负。
再看系数的绝对值：第1个是1=2⁰，第2个是2=2¹，第3个是4=2²，第4个是8=2³，可得规律：第n个式子的系数绝对值是2的(n-1)次方。
最后看字母部分：第1个是a¹，第2个是a²，第3个是a³，第4个是a⁴，可得规律：第n个式子的字母部分是a的n次方。
【解析】
我们分三部分推导第n个式子的规律：
1. 符号规律：当n为奇数时符号为正，n为偶数时符号为负；
2. 系数绝对值规律：第n个式子的系数绝对值为$\boldsymbol{2^{n-1}}$；
3. 字母部分规律：第n个式子的字母部分为$\boldsymbol{a^n}$。
当n=8时：
符号：8是偶数，所以符号为负；
系数绝对值：$2^{8-1}=2^7=128$；
字母部分：$a^8$。
将三部分组合，得到第8个式子为$-128a^8$。
【答案】
$-128a^8$
【知识点】
规律型数字变化，单项式，有理数乘方
【点评】
本题是典型的单项式规律探究题，解题核心是将复杂的单项式拆解为多个独立模块分别找规律，再整合得到通用规律后代入计算，主要考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 观察下列各式的计算过程.
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
……
请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
……
请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为
$5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$
.答案
10. $5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$
解析
【分析】
解决这类规律探究题，我们可以分两步观察：第一步先看等式左边的因数规律，给出的算式都是两个相同的、个位为5的数相乘，对应第n个式子，因数依次是5（n=1）、15（n=2）、25（n=3）……可表示为10(n-1)+5，整理得5(2n-1)；第二步看等式右边的规律，所有式子都符合“两个连续正整数的乘积×100 +25”的形式，对应第n个式子，两个连续正整数为n-1和n，因此右边可表示为100n(n-1)+25，最后将左右两部分用等号连接，代入序号验证即可确认规律正确。
【解析】
1. 观察等式左边的因数：
第1个算式的因数：$5=10×(1-1)+5=5×(2×1-1)$
第2个算式的因数：$15=10×(2-1)+5=5×(2×2-1)$
第3个算式的因数：$25=10×(3-1)+5=5×(2×3-1)$
……
由此可得第n个算式的两个相同因数为$5(2n-1)$，左边为$5(2n-1)×5(2n-1)$。
2. 观察等式右边的结构：
第1个算式右边：$0×1×100+25=100×1×(1-1)+25$
第2个算式右边：$1×2×100+25=100×2×(2-1)+25$
第3个算式右边：$2×3×100+25=100×3×(3-1)+25$
……
由此可得第n个算式的右边为$100n(n-1)+25$。
综上，第n个算式可表示为$5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$。
【答案】
$5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题核心是分别梳理等式左右两边与序号n的对应关系，用含n的代数式表示出通用形式，最后可代入小的正整数验证规律是否正确，避免出错。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，我们可以分两步观察：第一步先看等式左边的因数规律，给出的算式都是两个相同的、个位为5的数相乘，对应第n个式子，因数依次是5（n=1）、15（n=2）、25（n=3）……可表示为10(n-1)+5，整理得5(2n-1)；第二步看等式右边的规律，所有式子都符合“两个连续正整数的乘积×100 +25”的形式，对应第n个式子，两个连续正整数为n-1和n，因此右边可表示为100n(n-1)+25，最后将左右两部分用等号连接，代入序号验证即可确认规律正确。
【解析】
1. 观察等式左边的因数：
第1个算式的因数：$5=10×(1-1)+5=5×(2×1-1)$
第2个算式的因数：$15=10×(2-1)+5=5×(2×2-1)$
第3个算式的因数：$25=10×(3-1)+5=5×(2×3-1)$
……
由此可得第n个算式的两个相同因数为$5(2n-1)$，左边为$5(2n-1)×5(2n-1)$。
2. 观察等式右边的结构：
第1个算式右边：$0×1×100+25=100×1×(1-1)+25$
第2个算式右边：$1×2×100+25=100×2×(2-1)+25$
第3个算式右边：$2×3×100+25=100×3×(3-1)+25$
……
由此可得第n个算式的右边为$100n(n-1)+25$。
综上，第n个算式可表示为$5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$。
【答案】
$5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，解题核心是分别梳理等式左右两边与序号n的对应关系，用含n的代数式表示出通用形式，最后可代入小的正整数验证规律是否正确，避免出错。
【难度系数】
0.7
11. 用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共用小三角形的个数是
$3n+4$
。答案
11. $3n+4$
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先要先统计前几个图案中小三角形的个数，再观察数量的变化规律：先数出n=1、n=2、n=3、n=4对应的小三角形数量，对比相邻两个数量的差值，发现每次n增加1，小三角形个数就增加3，属于等差变化规律，再结合首项的数量就能推导出第n个图案的小三角形个数表达式。
【解析】
首先分别计算前4个图案的小三角形个数：
当n=1时，小三角形共有$5+2=7$个，$7=3×1+4$；
当n=2时，小三角形共有$5+2+3=10$个，$10=3×2+4$；
当n=3时，小三角形共有$5+2+2+4=13$个，$13=3×3+4$；
当n=4时，小三角形共有$5+2+2+2+5=16$个，$16=3×4+4$；
观察可得，每增加1个n，小三角形的个数就增加3，因此第n个图案中小三角形的个数为$3n+4$。
【答案】
$3n+4$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，通过对比数量变化找到固定的增量规律，再结合首项数值推导通用的代数式表达式。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先要先统计前几个图案中小三角形的个数，再观察数量的变化规律：先数出n=1、n=2、n=3、n=4对应的小三角形数量，对比相邻两个数量的差值，发现每次n增加1，小三角形个数就增加3，属于等差变化规律，再结合首项的数量就能推导出第n个图案的小三角形个数表达式。
【解析】
首先分别计算前4个图案的小三角形个数：
当n=1时，小三角形共有$5+2=7$个，$7=3×1+4$；
当n=2时，小三角形共有$5+2+3=10$个，$10=3×2+4$；
当n=3时，小三角形共有$5+2+2+4=13$个，$13=3×3+4$；
当n=4时，小三角形共有$5+2+2+2+5=16$个，$16=3×4+4$；
观察可得，每增加1个n，小三角形的个数就增加3，因此第n个图案中小三角形的个数为$3n+4$。
【答案】
$3n+4$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是先统计前几个图形的对应数量，通过对比数量变化找到固定的增量规律，再结合首项数值推导通用的代数式表达式。
【难度系数】
0.7
12. 实践与探索
【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏.宋代数学家杨辉称之为纵横图.我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”.
【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方.将1~9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等.
【探究】图1中，我们可以先计算出1~9这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15.
【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：
（1）在图2幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为
（2）在（1）的基础上，若$a=21$，$g=18$，则$h=$
（3）如图3是一个未完成的幻方，求$A-B$的值.
【背景】幻方又称魔方、方阵或厅平方，最早起源于中国，是一种中国传统游戏.宋代数学家杨辉称之为纵横图.我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，这个相等的和叫“幻和”.
【素材】如图1就是一个经典的九宫格幻方.将1~9九个数字分别填入幻方的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等.
【探究】图1中，我们可以先计算出1~9这9个数的和为45，将九宫格看成三行，则每行之和为15，即幻和为15.
【拓展探究】请根据以上材料，解答下列问题：
（1）在图2幻方中，9个方格中的字母分别代表9个连续的自然数，其和为180，则幻和为
60
，x=20
；（2）在（1）的基础上，若$a=21$，$g=18$，则$h=$
19
，$e=$24
；（3）如图3是一个未完成的幻方，求$A-B$的值.
答案
12. (1) 60 20 (2) 19 24 (3) 由题可知幻和为$x-7+x+5+(-4)=2x-6$,$\therefore$左下角的数为$2x-6-(x-7)-(-2)=x+3$,$\therefore$根据左下角到右上角的对角线可得$A=2x-6-(x+3)-(-4)=x-5$,$\therefore$根据第二行可得:$B=2x-6-(x-5)-(-2)=x+1$,$\therefore A-B=(x-5)-(x+1)=-6$.
解析
【分析】
本题围绕幻方的核心性质展开，解题的核心是抓住“每一横行、竖列、对角线的三个数之和（幻和）相等”以及“9个数的总和=3×幻和”这两个关键点：
（1）第一小问先根据9个数的总和直接除以3得到幻和，再结合九宫格中心数与幻和的关系算出x的值；
（2）第二小问利用对角线、竖列的幻和相等，代入已知数值依次计算h和e即可；
（3）第三小问先通过第一行的三个代数式求出幻和的表达式，再依次推导左下角的数、A、B的表达式，最后计算A-B的差值，过程中x会抵消得到固定结果。
【解析】
（1）已知9个自然数的和为180，由于幻方三行的和均为幻和，因此幻和$=180÷3=60$；
九宫格中，经过中心$x$的横行、竖列、两条对角线的总和为$4×60=240$，该总和等于9个数的和加3倍的$x$（$x$被重复计算了3次），即$180+3x=240$，解得$x=20$。
（2）已知$a=21$，$g=18$，幻和为60：
观察左上角到右下角的对角线：$a+x+h=60$，代入$a=21$，$x=20$，得$21+20+h=60$，解得$h=19$；
观察第二竖列：$b+x+g=60$，代入$x=20$，$g=18$，得$b=60-20-18=22$，再观察第一行$a+b+c=60$，得$c=60-21-22=17$；
观察第三竖列：$c+e+h=60$，代入$c=17$，$h=19$，得$e=60-17-19=24$。
（3）首先计算幻和：第一行三个数的和即为幻和，因此幻和$=(x-7)+(x+5)+(-4)=2x-6$；
①求第三行第一列的数：第一列三个数的和为幻和，因此该数$=2x-6-(x-7)-(-2)=x+3$；
②求$A$的值：观察左下角到右上角的对角线（第三行第一列、$A$、$-4$），三个数和为幻和，因此$A=2x-6-(x+3)-(-4)=x-5$；
③求$B$的值：第二行三个数的和为幻和，因此$B=2x-6-(-2)-A=2x-6+2-(x-5)=x+1$；
④计算$A-B$：$A-B=(x-5)-(x+1)=x-5-x-1=-6$。
【答案】
(1) $60$；$20$ (2) $19$；$24$ (3) $-6$
【知识点】
1. 幻方的性质
2. 整式的加减运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题以中国传统幻方为载体，既考查了对幻和相等这一核心性质的理解应用，也融合了代数式化简、逻辑推理的考查，解题时只要紧扣幻和相等的条件逐步推导，就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
本题围绕幻方的核心性质展开，解题的核心是抓住“每一横行、竖列、对角线的三个数之和（幻和）相等”以及“9个数的总和=3×幻和”这两个关键点：
（1）第一小问先根据9个数的总和直接除以3得到幻和，再结合九宫格中心数与幻和的关系算出x的值；
（2）第二小问利用对角线、竖列的幻和相等，代入已知数值依次计算h和e即可；
（3）第三小问先通过第一行的三个代数式求出幻和的表达式，再依次推导左下角的数、A、B的表达式，最后计算A-B的差值，过程中x会抵消得到固定结果。
【解析】
（1）已知9个自然数的和为180，由于幻方三行的和均为幻和，因此幻和$=180÷3=60$；
九宫格中，经过中心$x$的横行、竖列、两条对角线的总和为$4×60=240$，该总和等于9个数的和加3倍的$x$（$x$被重复计算了3次），即$180+3x=240$，解得$x=20$。
（2）已知$a=21$，$g=18$，幻和为60：
观察左上角到右下角的对角线：$a+x+h=60$，代入$a=21$，$x=20$，得$21+20+h=60$，解得$h=19$；
观察第二竖列：$b+x+g=60$，代入$x=20$，$g=18$，得$b=60-20-18=22$，再观察第一行$a+b+c=60$，得$c=60-21-22=17$；
观察第三竖列：$c+e+h=60$，代入$c=17$，$h=19$，得$e=60-17-19=24$。
（3）首先计算幻和：第一行三个数的和即为幻和，因此幻和$=(x-7)+(x+5)+(-4)=2x-6$；
①求第三行第一列的数：第一列三个数的和为幻和，因此该数$=2x-6-(x-7)-(-2)=x+3$；
②求$A$的值：观察左下角到右上角的对角线（第三行第一列、$A$、$-4$），三个数和为幻和，因此$A=2x-6-(x+3)-(-4)=x-5$；
③求$B$的值：第二行三个数的和为幻和，因此$B=2x-6-(-2)-A=2x-6+2-(x-5)=x+1$；
④计算$A-B$：$A-B=(x-5)-(x+1)=x-5-x-1=-6$。
【答案】
(1) $60$；$20$ (2) $19$；$24$ (3) $-6$
【知识点】
1. 幻方的性质
2. 整式的加减运算
3. 数字规律探究
【点评】
本题以中国传统幻方为载体，既考查了对幻和相等这一核心性质的理解应用，也融合了代数式化简、逻辑推理的考查，解题时只要紧扣幻和相等的条件逐步推导，就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
