登录
20.(10分)如图,汽车在转弯时,两个前轮(转向轮)分别沿着两个半径不相等的同心圆行进才会使车身平稳转向,因此两个前轮转动的角度不相同,两个前轮转动角度的差(即$α - β$)叫“阿克曼角”.分别过两个前轮的中心点A、B作两个前轮所在直线的垂线交于点E,经过实验研究当点E恰好落在后轮轴所在直线DC上,此时$∠ AEB$为完美阿克曼角.如图某款中大型轿车,轴距(线段AD的长)为2.8米,在转向时经测量完美阿克曼角($∠ AEB$)约为$12°$,此时$∠ AED=30°$,且四边形ABCD为矩形,请求出该款轿车的车身宽(线段CD的长).
(结果保留一位小数.参考数据:$\sin 42° \approx 0.67,\cos 42° \approx 0.74,\tan 42° \approx 0.90,\sqrt{3} \approx 1.73$)
(结果保留一位小数.参考数据:$\sin 42° \approx 0.67,\cos 42° \approx 0.74,\tan 42° \approx 0.90,\sqrt{3} \approx 1.73$)
答案
20. 解:
∵四边形 ABCD 为矩形,线段 AD 的长为2.8 米,
∴AD=BC=2.8 米,∠ADC=∠BCD=90°.
∵点 E 在直线 CD 上,
∴∠ADE=∠BCE=90°.
在 Rt△ADE 中,∠AED=30°,$\tan∠AED=\frac{AD}{DE}$,
∴$\frac{2.8}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得 DE≈4.85 米.
∵∠BEC=∠AED+∠AEB=30°+12°=42°,
在 Rt△BCE 中,
$\tan∠BEC=\frac{BC}{CE}$,
∴$\frac{2.8}{CE}≈0.90$,
解得 CE≈3.11,
∴CD=DE−CE≈4.85−3.11≈1.7(米).
答:该款轿车的车身宽约为 1.7 米.
∵四边形 ABCD 为矩形,线段 AD 的长为2.8 米,
∴AD=BC=2.8 米,∠ADC=∠BCD=90°.
∵点 E 在直线 CD 上,
∴∠ADE=∠BCE=90°.
在 Rt△ADE 中,∠AED=30°,$\tan∠AED=\frac{AD}{DE}$,
∴$\frac{2.8}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得 DE≈4.85 米.
∵∠BEC=∠AED+∠AEB=30°+12°=42°,
在 Rt△BCE 中,
$\tan∠BEC=\frac{BC}{CE}$,
∴$\frac{2.8}{CE}≈0.90$,
解得 CE≈3.11,
∴CD=DE−CE≈4.85−3.11≈1.7(米).
答:该款轿车的车身宽约为 1.7 米.
解析
【分析】
解题时首先利用矩形的性质得到AD=BC，且△ADE和△BCE均为直角三角形。第一步，在Rt△ADE中，已知∠AED=30°和AD的长度，利用正切三角函数求出DE的长度；第二步，根据完美阿克曼角的度数求出∠BEC的度数，再在Rt△BCE中利用正切三角函数求出CE的长度；最后，车身宽CD为DE与CE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，线段AD的长为2.8米，
∴AD=BC=2.8米，∠ADC=∠BCD=90°。
∵点E在直线CD上，
∴∠ADE=∠BCE=90°。
在Rt△ADE中，∠AED=30°，$\tan∠AED=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{2.8}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$DE≈4.85$米。
∵∠BEC=∠AED+∠AEB=30°+12°=42°，
在Rt△BCE中，$\tan∠BEC=\frac{BC}{CE}$，
∴$\frac{2.8}{CE}≈0.90$，
解得$CE≈3.11$米，
∴$CD=DE-CE≈4.85-3.11≈1.7$（米）。
答：该款轿车的车身宽约为1.7米。
【答案】
1.7米
【知识点】
矩形的性质；解直角三角形；锐角三角函数的应用
【点评】
本题以汽车转向的实际场景为载体，将生活问题转化为数学中的解直角三角形问题，考查学生对基础知识的掌握和实际应用能力，解题的关键是准确识别直角三角形，选取合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形的性质得到AD=BC，且△ADE和△BCE均为直角三角形。第一步，在Rt△ADE中，已知∠AED=30°和AD的长度，利用正切三角函数求出DE的长度；第二步，根据完美阿克曼角的度数求出∠BEC的度数，再在Rt△BCE中利用正切三角函数求出CE的长度；最后，车身宽CD为DE与CE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，线段AD的长为2.8米，
∴AD=BC=2.8米，∠ADC=∠BCD=90°。
∵点E在直线CD上，
∴∠ADE=∠BCE=90°。
在Rt△ADE中，∠AED=30°，$\tan∠AED=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{2.8}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$DE≈4.85$米。
∵∠BEC=∠AED+∠AEB=30°+12°=42°，
在Rt△BCE中，$\tan∠BEC=\frac{BC}{CE}$，
∴$\frac{2.8}{CE}≈0.90$，
解得$CE≈3.11$米，
∴$CD=DE-CE≈4.85-3.11≈1.7$（米）。
答：该款轿车的车身宽约为1.7米。
【答案】
1.7米
【知识点】
矩形的性质；解直角三角形；锐角三角函数的应用
【点评】
本题以汽车转向的实际场景为载体，将生活问题转化为数学中的解直角三角形问题，考查学生对基础知识的掌握和实际应用能力，解题的关键是准确识别直角三角形，选取合适的三角函数列式计算。
【难度系数】
0.7
21.(10分)如图,点D是Rt△ABC斜边AB上的中点,点E位于AC边上,且∠ADE=∠B−∠A.
(1)求证:△ABC∽△CED;
(2)若AD=√6,AE=1,求CE的长.
(1)求证:△ABC∽△CED;
(2)若AD=√6,AE=1,求CE的长.
答案
21.(1)证明:
∵点 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中点,
∴$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$,∠ACB=90°.
∵点 E 位于 AC 边上,
∴∠A=∠DCE,
∴∠BDC=∠DCE+∠A=2∠A.
∵∠ADE=∠B−∠A,
∴∠BDC+∠ADE=2∠A+∠B−∠A=∠A+∠B=90°,
∴∠CDE=180°−(∠BDC+∠ADE)=90°,
∴∠ACB=∠CDE,
∴△ABC∽△CED.
(2)解:
∵△ABC∽△CED,
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CE}$,
∴CE·AC=AB·CD.
∵CD=AD=BD=$\sqrt{6}$,AE=1,
∴AB=2AD=2$\sqrt{6}$,AC=CE+1,
∴$CE(CE+1)=2\sqrt{6}×\sqrt{6}$,
整理得 $CE^2+CE−12=0$,
解得 CE=3 或 CE=−4(不符合题意,舍去),
∴CE 的长为 3.
∵点 D 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中点,
∴$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$,∠ACB=90°.
∵点 E 位于 AC 边上,
∴∠A=∠DCE,
∴∠BDC=∠DCE+∠A=2∠A.
∵∠ADE=∠B−∠A,
∴∠BDC+∠ADE=2∠A+∠B−∠A=∠A+∠B=90°,
∴∠CDE=180°−(∠BDC+∠ADE)=90°,
∴∠ACB=∠CDE,
∴△ABC∽△CED.
(2)解:
∵△ABC∽△CED,
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CE}$,
∴CE·AC=AB·CD.
∵CD=AD=BD=$\sqrt{6}$,AE=1,
∴AB=2AD=2$\sqrt{6}$,AC=CE+1,
∴$CE(CE+1)=2\sqrt{6}×\sqrt{6}$,
整理得 $CE^2+CE−12=0$,
解得 CE=3 或 CE=−4(不符合题意,舍去),
∴CE 的长为 3.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC∽△CED，需找到两组对应角相等。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，推出∠A=∠DCE；再结合已知条件∠ADE=∠B-∠A，通过角的和差关系推导∠CDE=90°，得到∠ACB=∠CDE，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 由△ABC∽△CED可得对应边成比例，将已知的AD、AE长度，以及用CE表示的AC、AB、CD的长度代入比例式，得到关于CE的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵点D是Rt△ABC斜边AB上的中点，∠ACB=90°，
∴$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴∠A=∠DCE，
根据三角形外角性质，∠BDC=∠DCE+∠A=2∠A，
∵∠ADE=∠B−∠A，
∴∠BDC+∠ADE=2∠A+∠B−∠A=∠A+∠B，
又
∵Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠BDC+∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°−(∠BDC+∠ADE)=90°，
∴∠ACB=∠CDE=90°，
又
∵∠A=∠DCE，
∴△ABC∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵△ABC∽△CED，
∴对应边成比例：$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CE}$，即$CE·AC=AB·CD$，
∵D是AB中点，AD=$\sqrt{6}$，
∴CD=AD=$\sqrt{6}$，AB=2AD=2$\sqrt{6}$，
∵AE=1，AC=AE+CE=CE+1，
将上述值代入$CE·AC=AB·CD$得：
$CE(CE+1)=2\sqrt{6}×\sqrt{6}$，
整理得 $CE^2+CE−12=0$，
解得$CE=3$或$CE=-4$，
∵线段长度为正数，$CE=-4$不符合题意，舍去，
∴CE的长为3。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于几何综合题，解题关键是熟练运用直角三角形的性质推导等角关系，结合角的和差运算证明三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系建立方程求解，注意实际问题中线段长度为正，需舍去负根，对逻辑推理和方程思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABC∽△CED，需找到两组对应角相等。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得CD=AD，推出∠A=∠DCE；再结合已知条件∠ADE=∠B-∠A，通过角的和差关系推导∠CDE=90°，得到∠ACB=∠CDE，即可通过“两角分别相等的两个三角形相似”完成证明。
(2) 由△ABC∽△CED可得对应边成比例，将已知的AD、AE长度，以及用CE表示的AC、AB、CD的长度代入比例式，得到关于CE的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵点D是Rt△ABC斜边AB上的中点，∠ACB=90°，
∴$CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
∴∠A=∠DCE，
根据三角形外角性质，∠BDC=∠DCE+∠A=2∠A，
∵∠ADE=∠B−∠A，
∴∠BDC+∠ADE=2∠A+∠B−∠A=∠A+∠B，
又
∵Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠BDC+∠ADE=90°，
∴∠CDE=180°−(∠BDC+∠ADE)=90°，
∴∠ACB=∠CDE=90°，
又
∵∠A=∠DCE，
∴△ABC∽△CED（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵△ABC∽△CED，
∴对应边成比例：$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CE}$，即$CE·AC=AB·CD$，
∵D是AB中点，AD=$\sqrt{6}$，
∴CD=AD=$\sqrt{6}$，AB=2AD=2$\sqrt{6}$，
∵AE=1，AC=AE+CE=CE+1，
将上述值代入$CE·AC=AB·CD$得：
$CE(CE+1)=2\sqrt{6}×\sqrt{6}$，
整理得 $CE^2+CE−12=0$，
解得$CE=3$或$CE=-4$，
∵线段长度为正数，$CE=-4$不符合题意，舍去，
∴CE的长为3。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题属于几何综合题，解题关键是熟练运用直角三角形的性质推导等角关系，结合角的和差运算证明三角形相似，再利用相似三角形的边比例关系建立方程求解，注意实际问题中线段长度为正，需舍去负根，对逻辑推理和方程思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6
