22.(10分)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其最高点P距离地面高度为8米,宽度OM为16米.现以点O为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系如图所示.
(1)求出这条抛物线的表达式;
(2)隧道下的公路是单向双车道,车辆并行时,安全平行间距为1米,该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高4米的特种车辆?请通过计算说明.

22. 解:(1)依题意,得点 M(16,0),顶点 P(8,8).
设抛物线的表达式为 $y=ax^2+bx$,
把点 M(16,0)、点 P(8,8)代入,得
$\begin{cases}64a+8b=8,\\256a+16b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{8},\\b=2,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x$,
自变量 x 的取值范围为 $0≤ x≤16$.
(2)该双车道能同时并行两辆宽 2.5 米、高 4 米的特种车辆.理由如下:
当 $x=8−2.5−0.5=5$ 时,
$y=-\frac{1}{8}×5^2+2×5=\frac{55}{8}＞4$,
故能同时并行两辆宽 2.5 米、高 4 米的特种车辆.

【分析】
(1) 求抛物线表达式首先确定已知点：由题意得抛物线过原点O(0,0)，最高点即顶点P坐标为(8,8)，右端点M坐标为(16,0)。因为抛物线过原点，常数项为0，因此可设表达式为$y=ax^2+bx$，将P、M两点坐标代入，解二元一次方程组即可求出a、b的值，得到抛物线表达式。
(2) 判断能否并行车辆，需结合车辆宽度和安全间距，找到车辆最外侧对应的x轴位置，计算该位置的隧道高度，与车辆高度4米比较：若高度大于4米则可通行，反之不可通行。两辆车总宽度为$2.5×2=5$米，加1米安全间距总占宽6米，沿对称轴$x=8$对称摆放时，左侧车辆的左边缘横坐标为$8-2.5-0.5=5$，计算$x=5$处的函数值即可判断。
【解析】
(1) 依题意得，点M坐标为$(16,0)$，抛物线顶点P坐标为$(8,8)$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，
∴设抛物线的表达式为 $y=ax^2+bx$，
把$M(16,0)$、$P(8,8)$代入表达式，得方程组：
$\begin{cases}64a+8b=8\\256a+16b=0\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-\frac{1}{8}\\b=2\end{cases}$
∴这条抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{8}x^2+2x$，自变量x的取值范围为$0≤ x≤16$。
(2) 能同时并行，理由如下：
两辆车宽均为2.5米，安全间距为1米，沿隧道中线（抛物线对称轴$x=8$）对称摆放时，左侧车辆的左边缘横坐标为 $x=8-2.5-0.5=5$，
将$x=5$代入抛物线表达式得：
$y=-\frac{1}{8}×5^2+2×5=\frac{55}{8}$
∵$\frac{55}{8}＞4$，即该位置隧道高度高于车辆高度，
∴该双车道能同时并行这两辆特种车辆。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{8}x^2+2x$（$0≤ x≤16$）；
(2) 能同时并行两辆特种车辆，理由见解析。
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用；二次函数图象性质
【点评】
本题结合隧道通行的实际场景考查二次函数的应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，通过坐标分析和函数计算解决问题，既考查了二次函数基础计算能力，也考查了知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7

23(12分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB//CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M、N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米.
(1)求两渔船M、N之间的距离；(结果精确到1米)
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据:tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)

23. 解:(1)在直角三角形 PEN 中,∠PNE=45°,
∴EN=PE=30 米.
在 Rt△PME 中,∠PME=31°,
∴$ME=\frac{PE}{\tan 31°}≈50$(米),
则 MN=ME−EN≈20 米.
答:两渔船 M、N 之间的距离约是 20(米).
(2),过点 D 作 DQ⊥AH 于点 Q.
由题意得 $\tan∠DAB=4$,$\tan H=\frac{4}{7}$.
在 Rt△DAQ 中,$AQ=\frac{DQ}{\tan∠DAB}=\frac{24}{4}=6$(米),
在 Rt△DHQ 中,$HQ=\frac{DQ}{\tan H}=\frac{24}{\frac{4}{7}}=42$(米).
故 AH=HQ−AQ=42−6=36(米).
$S_{△ADH}=\frac{1}{2}AH·DQ=432$(平方米).
故需要填筑的土石方是 $V=SL=432×100=43200$(立方米).
设原计划平均每天填筑 x 立方米,则原计划$\frac{43200}{x}$天完成,则增加机械设备后,现在平均每天填筑 2x 立方米.
根据题意,得 $10x+(\frac{43200}{x}−10−20)·2x=43200$,
解得 x=864.
经检验,x=864 是原方程的解.
答:施工队原计划平均每天填筑土石方 864 立方米.

【分析】
(1) 第一问属于俯角相关的解直角三角形问题：首先明确俯角的定义，可得两个直角三角形的内角∠PME=31°、∠PNE=45°，公共直角边PE=30米。先在含45°角的Rt△PEN中求出EN的长度，再在Rt△PME中利用正切三角函数求出ME的长度，两者作差即可得到MN的距离。
(2) 第二问分为两部分：首先计算土石方总量，过D作DQ⊥AH，坝高DQ=24米，根据坡度（垂直高度:水平宽度）的定义，分别求出原背水坡AD的水平宽度AQ、加固后背水坡DH的水平宽度HQ，得到AH的长度后求出加固部分△ADH的横截面积，乘以坝长得到总土石方量。其次是工程问题，设原计划每天填筑x立方米，根据“前10天工作量+效率提升后的工作量=总工作量”的等量关系列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性。
【解析】
(1) 在直角三角形 PEN 中,∠PNE=45°,
∴EN=PE=30 米.
在 Rt△PME 中,∠PME=31°,tan∠PME=$\frac{PE}{ME}$,
∴$ME=\frac{PE}{\tan 31°}≈\frac{30}{0.60}=50$(米),
则 MN=ME−EN≈50-30=20 米.
(2) ,过点 D 作 DQ⊥AH 于点 Q.
由题意得,背水坡AD坡度i=1:0.25,故$\tan∠DAB=4$,加固后DH坡度i=1:1.75,故$\tan H=\frac{4}{7}$.
在 Rt△DAQ 中,$AQ=\frac{DQ}{\tan∠DAB}=\frac{24}{4}=6$(米),
在 Rt△DHQ 中,$HQ=\frac{DQ}{\tan H}=\frac{24}{\frac{4}{7}}=42$(米).
故 AH=HQ−AQ=42−6=36(米).
$S_{△ADH}=\frac{1}{2}AH·DQ=\frac{1}{2}×36×24=432$(平方米).
故需要填筑的土石方是 $V=SL=432×100=43200$(立方米).
设原计划平均每天填筑 x 立方米,则原计划$\frac{43200}{x}$天完成,增加机械设备后,现在平均每天填筑 2x 立方米.
根据题意,得 $10x+(\frac{43200}{x}−10−20)·2x=43200$,
解得 x=864.
经检验,x=864 是原方程的解,且符合实际意义.
【答案】
(1) 两渔船M、N之间的距离约是20米；
(2) ，施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米。
【知识点】
解直角三角形应用，分式方程应用，坡度坡角问题
【点评】
本题结合实际生活场景命题，考查学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，既需要熟练掌握俯角、坡度的基本概念，灵活运用三角函数解直角三角形，也需要掌握工程类问题的等量关系，注意分式方程求解后要检验根的合理性，综合性较强，贴合实际应用。
【难度系数】
0.6