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13. 如图，在一笔直的海岸线$l$上有A、B两个观测站，$AB=2\ \mathrm{km}$，从A测得船C在北偏东$45°$的方向，从B测得船C在北偏东$22.5°$的方向，则船C离海岸线$l$的距离（即$CD$的长）约为
3.4
$\mathrm{km}$.（精确到0.1）答案
13.3.4
解析
【分析】
这是一道方位角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：1. 先根据方位角确定△ACD为等腰直角三角形，得到CD=AD的等量关系；2. 通过构造辅助线得到等腰三角形，推导得出边的对应关系，建立关于CD的方程；3. 代入√2≈1.414求解，结果精确到0.1即可。
【解析】
解：由题意可知CD⊥直线l，∠CAD=90°-45°=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，即CD=AD。
设CD=x km，则AD=x km，BD=AD-AB=(x-2) km。
∵从B测得船C在北偏东22.5°方向，正北方向与CD平行，内错角相等，
∴∠BCD=22.5°。
在CD上取点E，使DE=BD，连接BE，则△BDE为等腰直角三角形，
∴∠BED=45°，BE=√2 BD=√2(x-2)。
∵∠BED是△BCE的外角，
∴∠BED=∠BCE+∠CBE，
代入∠BED=45°、∠BCE=22.5°，得∠CBE=45°-22.5°=22.5°=∠BCE，
∴CE=BE=√2(x-2)。
又
∵CD=CE+DE，代入各边表达式得：
x = √2(x-2) + (x-2)
整理得x=(√2+1)(x-2)，展开移项得√2 x=2√2+2，
解得x=2+√2≈2+1.414≈3.4。
【答案】
3.4
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过方位角挖掘角的等量关系，构造辅助线得到特殊等腰三角形建立边的方程，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
这是一道方位角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：1. 先根据方位角确定△ACD为等腰直角三角形，得到CD=AD的等量关系；2. 通过构造辅助线得到等腰三角形，推导得出边的对应关系，建立关于CD的方程；3. 代入√2≈1.414求解，结果精确到0.1即可。
【解析】
解：由题意可知CD⊥直线l，∠CAD=90°-45°=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，即CD=AD。
设CD=x km，则AD=x km，BD=AD-AB=(x-2) km。
∵从B测得船C在北偏东22.5°方向，正北方向与CD平行，内错角相等，
∴∠BCD=22.5°。
在CD上取点E，使DE=BD，连接BE，则△BDE为等腰直角三角形，
∴∠BED=45°，BE=√2 BD=√2(x-2)。
∵∠BED是△BCE的外角，
∴∠BED=∠BCE+∠CBE，
代入∠BED=45°、∠BCE=22.5°，得∠CBE=45°-22.5°=22.5°=∠BCE，
∴CE=BE=√2(x-2)。
又
∵CD=CE+DE，代入各边表达式得：
x = √2(x-2) + (x-2)
整理得x=(√2+1)(x-2)，展开移项得√2 x=2√2+2，
解得x=2+√2≈2+1.414≈3.4。
【答案】
3.4
【知识点】
方位角应用，解直角三角形，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是通过方位角挖掘角的等量关系，构造辅助线得到特殊等腰三角形建立边的方程，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
14. 为出行方便,近日越来越多的市民用起了共享单车,图1为单车实物图,图2为单车示意图,AB与地面平行,点A、B、D在同一条直线上,点D、F、G在同一条直线上,坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE=70°,∠EAB=45°,车轮半径为30 cm,BE=40 cm.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90 cm时骑着比较舒适,此时 CE 的长约为
24 cm
.(结果精确到 1 cm,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)答案
14.24 cm
解析
【分析】
要计算CE的长，已知BE=40cm，只需先求出BC的长度即可。首先，坐垫C离地面的高度等于车轮半径（地面到AB的高度，因AB与地面平行）加上点C到AB的垂直距离，据此先求出C到AB的垂直高度；再过C作AB的垂线构造直角三角形，利用∠ABE的正弦值求出BC的长度，最后用BC减去BE即可得到CE的长。
【解析】
过点C作CM⊥AB于点M，
由题意可知：地面到AB的距离等于车轮半径30cm，C离地面高度为90cm，
∴CM = 90 - 30 = 60cm，
在Rt△CBM中，∠CBM = ∠ABE = 70°，
∵sin∠CBM = $\frac{CM}{BC}$，
∴BC = $\frac{CM}{\sin70°}$ ≈ $\frac{60}{0.94}$ ≈ 63.83cm，
又
∵BE = 40cm，
∴CE = BC - BE ≈ 63.83 - 40 ≈ 24cm。
【答案】
24 cm
【知识点】
锐角三角函数的应用，解直角三角形
【点评】
本题结合共享单车的实际场景出题，将生活问题转化为数学中的解直角三角形问题，解题关键是构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数的边角关系求解对应边长。
【难度系数】
0.6
要计算CE的长，已知BE=40cm，只需先求出BC的长度即可。首先，坐垫C离地面的高度等于车轮半径（地面到AB的高度，因AB与地面平行）加上点C到AB的垂直距离，据此先求出C到AB的垂直高度；再过C作AB的垂线构造直角三角形，利用∠ABE的正弦值求出BC的长度，最后用BC减去BE即可得到CE的长。
【解析】
过点C作CM⊥AB于点M，
由题意可知：地面到AB的距离等于车轮半径30cm，C离地面高度为90cm，
∴CM = 90 - 30 = 60cm，
在Rt△CBM中，∠CBM = ∠ABE = 70°，
∵sin∠CBM = $\frac{CM}{BC}$，
∴BC = $\frac{CM}{\sin70°}$ ≈ $\frac{60}{0.94}$ ≈ 63.83cm，
又
∵BE = 40cm，
∴CE = BC - BE ≈ 63.83 - 40 ≈ 24cm。
【答案】
24 cm
【知识点】
锐角三角函数的应用，解直角三角形
【点评】
本题结合共享单车的实际场景出题，将生活问题转化为数学中的解直角三角形问题，解题关键是构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数的边角关系求解对应边长。
【难度系数】
0.6
15若抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于点$A(m,0)$、$B(n,0)$，与$y$轴交于点$C(0,c)$，则称$△ ABC$为“抛物三角形”.特别地，当$mnc＜0$时，称$△ ABC$为“倒抛物三角形”时，$a$、$c$应分别满足条件
$a＜0,c＞0$
.答案
15.$a＜0,c＞0$
解析
【分析】
解题时首先利用抛物线$y=ax^2+c$的对称性得出点A、B横坐标的关系，再结合$mnc＜0$的条件判断c的符号，最后根据抛物线与x轴有两个交点的条件推导a的符号即可。具体思路：1. 由抛物线对称轴为y轴，得m和n互为相反数，故$mn＜0$；2. 结合$mnc＜0$可推出c的符号；3. 利用二次函数与x轴有两个交点等价于对应方程有两个不等实根，代入c的符号即可求出a的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴是y轴，
∴与x轴的交点$A(m,0)$、$B(n,0)$关于y轴对称，即$n=-m$，
∴$mn=m×(-m)=-m^2$，
∵A、B为不同的交点，
∴$m≠0$，故$mn=-m^2＜0$，
又
∵$mnc＜0$，两数相乘异号得负，
∴$c＞0$，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根，
移项得：$x^2=-\frac{c}{a}＞0$，
已知$c＞0$，要使$-\frac{c}{a}＞0$，则$a＜0$。
【答案】
$a＜0,c＞0$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程；不等式的性质
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题的核心是先通过抛物线对称性得到m、n的乘积符号，再结合给定的不等式条件和函数与x轴交点的要求逐步推导参数的符号，梳理清各个条件的关联就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用抛物线$y=ax^2+c$的对称性得出点A、B横坐标的关系，再结合$mnc＜0$的条件判断c的符号，最后根据抛物线与x轴有两个交点的条件推导a的符号即可。具体思路：1. 由抛物线对称轴为y轴，得m和n互为相反数，故$mn＜0$；2. 结合$mnc＜0$可推出c的符号；3. 利用二次函数与x轴有两个交点等价于对应方程有两个不等实根，代入c的符号即可求出a的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴是y轴，
∴与x轴的交点$A(m,0)$、$B(n,0)$关于y轴对称，即$n=-m$，
∴$mn=m×(-m)=-m^2$，
∵A、B为不同的交点，
∴$m≠0$，故$mn=-m^2＜0$，
又
∵$mnc＜0$，两数相乘异号得负，
∴$c＞0$，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实数根，
移项得：$x^2=-\frac{c}{a}＞0$，
已知$c＞0$，要使$-\frac{c}{a}＞0$，则$a＜0$。
【答案】
$a＜0,c＞0$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程；不等式的性质
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的基础性质，解题的核心是先通过抛物线对称性得到m、n的乘积符号，再结合给定的不等式条件和函数与x轴交点的要求逐步推导参数的符号，梳理清各个条件的关联就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
16在矩形ABCD中，边AD=6，边AB＞6，点E在CD上，且CE=5，F为AC的中点，当△CEF是以CE为腰的等腰三角形时，AB的长度为
8或18
。答案
16. 8 或 18 解析:在矩形 ABCD 中,$∠D=90°,AB=CD$.
当 EF=CE=5 时,
,过点 F 作FH⊥CD 于 H,则∠CHF=∠D=90°,∴FH//AD,
∴△CHF∽△CDA,
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{AD}=\frac{CF}{AC}$.
∵F 为 AC 的中点,AD=6,
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{6}=\frac{1}{2}$,
∴CD=2CH,FH=3,
∴$EH=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴CH=HE+CE=9,
∴AB=CD=2CH=18.
当 CF=CE=5 时,
,∵F 为 AC 的中点,
∴AC=2CF=10,
∵AD=6,
∴$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=8$,
∴AB=8.
综上,AB 的长度为 8 或 18.
故答案为 8 或 18.
解析
【分析】
本题为矩形背景下的等腰三角形存在性问题，解题核心是先明确分类标准：“以CE为腰的等腰三角形”需分两种情况讨论，即①CE=EF，②CE=CF，避免漏解。再结合矩形的性质、中点的特征，借助相似三角形性质、勾股定理分别计算CD的长度，即可得到AB的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，∠D=90°，AB=CD。
分两种情况讨论：
1. 当EF=CE=5时，，过点F作FH⊥CD于H，则∠CHF=∠D=90°，
∴FH//AD，
∴△CHF∽△CDA，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{AD}=\frac{CF}{AC}$。
∵F为AC的中点，AD=6，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{6}=\frac{1}{2}$，
∴CD=2CH，FH=3，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴CH=HE+CE=4+5=9，
∴AB=CD=2CH=18。
2. 当CF=CE=5时，，
∵F为AC的中点，
∴AC=2CF=2×5=10，
在Rt△ADC中，AD=6，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴AB=CD=8。
综上，AB的长度为8或18。
【答案】
8或18
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决此类问题时要注意对等腰三角形的腰进行分类，避免漏解，同时结合几何图形的性质灵活运用相似、勾股定理进行计算，是几何综合类基础题型。
【难度系数】
0.6
本题为矩形背景下的等腰三角形存在性问题，解题核心是先明确分类标准：“以CE为腰的等腰三角形”需分两种情况讨论，即①CE=EF，②CE=CF，避免漏解。再结合矩形的性质、中点的特征，借助相似三角形性质、勾股定理分别计算CD的长度，即可得到AB的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，∠D=90°，AB=CD。
分两种情况讨论：
1. 当EF=CE=5时，
，过点F作FH⊥CD于H，则∠CHF=∠D=90°，∴FH//AD，
∴△CHF∽△CDA，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{AD}=\frac{CF}{AC}$。
∵F为AC的中点，AD=6，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{FH}{6}=\frac{1}{2}$，
∴CD=2CH，FH=3，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴CH=HE+CE=4+5=9，
∴AB=CD=2CH=18。
2. 当CF=CE=5时，
，∵F为AC的中点，
∴AC=2CF=2×5=10，
在Rt△ADC中，AD=6，由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴AB=CD=8。
综上，AB的长度为8或18。
【答案】
8或18
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解决此类问题时要注意对等腰三角形的腰进行分类，避免漏解，同时结合几何图形的性质灵活运用相似、勾股定理进行计算，是几何综合类基础题型。
【难度系数】
0.6
17.已知抛物线$y=x^2+2x-3$与$x$轴交于$A$、$B$两点(点$A$在点$B$的左侧)，将这条抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位，平移后的抛物线与$x$轴交于$C$、$D$两点(点$C$在点$D$的左侧)，若$B$、$C$是线段$AD$的三等分点，则$m$的值为
2或8
。答案
17.2或8
解析
【分析】
解题时首先需要求出原抛物线与x轴的交点A、B的坐标，得到线段AB的长度；再根据抛物线平移“左加右减”的性质，得到平移后抛物线与x轴交点C、D的坐标表达式；最后结合“B、C是线段AD的三等分点”的条件，分两种情况讨论点的排列顺序，分别列方程求解m的值即可。
【解析】
1. 求原抛物线与x轴的交点坐标：
令$y = 0$，则$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$，则$AB = 1 - (-3) = 4$。
2. 求平移后抛物线与x轴的交点坐标：
抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位，所有点的横坐标加m，纵坐标不变，因此平移后与x轴的交点为$C(-3+m,0)$，$D(1+m,0)$（点C在点D左侧）。
3. 分情况讨论三等分点的位置：
线段AD的两个端点为$A(-3,0)$、$D(1+m,0)$，长度为$AD = (1+m) - (-3) = m + 4$。
情况1：点B是靠近A的三等分点，点顺序为$A \to B \to C \to D$，此时$AB = \frac{1}{3}AD$，代入得：
$4 = \frac{1}{3}(m + 4)$，解得$m = 8$。
情况2：点C是靠近A的三等分点，点顺序为$A \to C \to B \to D$，此时$AB = \frac{2}{3}AD$，代入得：
$4 = \frac{2}{3}(m + 4)$，解得$m = 2$。
综上，m的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
抛物线平移性质，二次函数与x轴交点，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数与几何线段的综合题，解题关键是明确抛物线平移后交点的变化规律，易错点是容易忽略三等分点的两种位置情况导致漏解，解题时可结合数轴分析点的排列顺序，避免出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求出原抛物线与x轴的交点A、B的坐标，得到线段AB的长度；再根据抛物线平移“左加右减”的性质，得到平移后抛物线与x轴交点C、D的坐标表达式；最后结合“B、C是线段AD的三等分点”的条件，分两种情况讨论点的排列顺序，分别列方程求解m的值即可。
【解析】
1. 求原抛物线与x轴的交点坐标：
令$y = 0$，则$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-3,0)$，$B(1,0)$，则$AB = 1 - (-3) = 4$。
2. 求平移后抛物线与x轴的交点坐标：
抛物线向右平移$m(m＞0)$个单位，所有点的横坐标加m，纵坐标不变，因此平移后与x轴的交点为$C(-3+m,0)$，$D(1+m,0)$（点C在点D左侧）。
3. 分情况讨论三等分点的位置：
线段AD的两个端点为$A(-3,0)$、$D(1+m,0)$，长度为$AD = (1+m) - (-3) = m + 4$。
情况1：点B是靠近A的三等分点，点顺序为$A \to B \to C \to D$，此时$AB = \frac{1}{3}AD$，代入得：
$4 = \frac{1}{3}(m + 4)$，解得$m = 8$。
情况2：点C是靠近A的三等分点，点顺序为$A \to C \to B \to D$，此时$AB = \frac{2}{3}AD$，代入得：
$4 = \frac{2}{3}(m + 4)$，解得$m = 2$。
综上，m的值为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
抛物线平移性质，二次函数与x轴交点，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数与几何线段的综合题，解题关键是明确抛物线平移后交点的变化规律，易错点是容易忽略三等分点的两种位置情况导致漏解，解题时可结合数轴分析点的排列顺序，避免出错。
【难度系数】
0.6
18 现有多个全等直角三角形，先取三个拼成所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q，易得$BP:PQ:QR=3:1:2$。若取四个直角三角形拼成
所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC、CD、DE于点P、Q、R，则$BP:PQ:QR:RS=$
所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC、CD、DE于点P、Q、R，则$BP:PQ:QR:RS=$4:1:3:2
。答案
18. 4:1:3:2 解析:
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB = EF = CD, AB // EF // CD, BC = CE, AC//DE，
∴BP : PR = BC : CE = 1.
∵CD//EF,
∴△BCQ∽△BES.
又
∵BC=CE,
∴$CQ=\frac{1}{2}SE=\frac{1}{4}EF$,
∴$DQ=\frac{3}{4}EF$.
∵AB//CD,
∴∠ABP=∠DQR.
又
∵∠BAP=∠QDR,
∴△BAP∽△QDR.
∴BP : QR = 4 : 3,
∴BP : PQ : QR = 4 : 1 : 3.
∵DQ//SE,
∴QR : RS = DQ : SE = 3 : 2,
∴BP : PQ : QR : RS = 4 : 1 : 3 : 2.
故答案为 4 : 1 : 3 : 2.
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB = EF = CD, AB // EF // CD, BC = CE, AC//DE，
∴BP : PR = BC : CE = 1.
∵CD//EF,
∴△BCQ∽△BES.
又
∵BC=CE,
∴$CQ=\frac{1}{2}SE=\frac{1}{4}EF$,
∴$DQ=\frac{3}{4}EF$.
∵AB//CD,
∴∠ABP=∠DQR.
又
∵∠BAP=∠QDR,
∴△BAP∽△QDR.
∴BP : QR = 4 : 3,
∴BP : PQ : QR = 4 : 1 : 3.
∵DQ//SE,
∴QR : RS = DQ : SE = 3 : 2,
∴BP : PQ : QR : RS = 4 : 1 : 3 : 2.
故答案为 4 : 1 : 3 : 2.
解析
【分析】
这是一道结合全等三角形、平行线性质与相似三角形求线段比例的题目。解题时首先根据全等直角三角形的性质，梳理出图形中相等的边和平行的线段关系；再利用平行线构造相似三角形，结合中点的线段长度关系，逐步推导相邻线段的比值，最后整合得到四段的比例。具体思考路径：首先利用全等性质得到平行和等长线段，由平行线分线段成比例得到基础线段比；再通过相似三角形对应边成比例，结合中点性质求出相关线段的长度关系；最后依次推导各段比值，统一比例后得到最终结果。
【解析】
解：
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB = EF = CD，AB//EF//CD，BC = CE，AC//DE，
∵AC//DE，BC=CE，
∴BP:PR = BC:CE = 1:1，即BP=PR。
∵CD//EF，
∴△BCQ∽△BES，
又
∵BC=CE，即BC:BE=1:2，
∴CQ:SE = BC:BE =1:2，即$CQ=\frac{1}{2}SE$，
∵S为EF的中点，
∴$SE=\frac{1}{2}EF$，
∴$CQ=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}EF=\frac{1}{4}EF$，
∴$DQ=CD-CQ=EF-\frac{1}{4}EF=\frac{3}{4}EF$。
∵AB//CD，
∴∠ABP=∠DQR，∠BAP=∠QDR，
∴△BAP∽△QDR，
∴BP:QR = AB:DQ = $EF:\frac{3}{4}EF=4:3$。
设BP=4k，则QR=3k，
∵BP=PR，PR=PQ+QR，
∴4k=PQ+3k，解得PQ=k。
∵DQ//SE，
∴△QDR∽△SER，
∴QR:RS = DQ:SE = $\frac{3}{4}EF:\frac{1}{2}EF=3:2$，
∵QR=3k，
∴RS=2k。
∴BP:PQ:QR:RS = 4k:k:3k:2k = 4:1:3:2。
【答案】
$4:1:3:2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段比例求解的典型题型，解题核心是挖掘图形中的平行关系，结合全等、中点的性质构造相似三角形，通过对应边成比例逐步推导各段线段的比值，需要具备一定的逻辑推导和比例整合能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合全等三角形、平行线性质与相似三角形求线段比例的题目。解题时首先根据全等直角三角形的性质，梳理出图形中相等的边和平行的线段关系；再利用平行线构造相似三角形，结合中点的线段长度关系，逐步推导相邻线段的比值，最后整合得到四段的比例。具体思考路径：首先利用全等性质得到平行和等长线段，由平行线分线段成比例得到基础线段比；再通过相似三角形对应边成比例，结合中点性质求出相关线段的长度关系；最后依次推导各段比值，统一比例后得到最终结果。
【解析】
解：
∵四个直角三角形是全等三角形，
∴AB = EF = CD，AB//EF//CD，BC = CE，AC//DE，
∵AC//DE，BC=CE，
∴BP:PR = BC:CE = 1:1，即BP=PR。
∵CD//EF，
∴△BCQ∽△BES，
又
∵BC=CE，即BC:BE=1:2，
∴CQ:SE = BC:BE =1:2，即$CQ=\frac{1}{2}SE$，
∵S为EF的中点，
∴$SE=\frac{1}{2}EF$，
∴$CQ=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}EF=\frac{1}{4}EF$，
∴$DQ=CD-CQ=EF-\frac{1}{4}EF=\frac{3}{4}EF$。
∵AB//CD，
∴∠ABP=∠DQR，∠BAP=∠QDR，
∴△BAP∽△QDR，
∴BP:QR = AB:DQ = $EF:\frac{3}{4}EF=4:3$。
设BP=4k，则QR=3k，
∵BP=PR，PR=PQ+QR，
∴4k=PQ+3k，解得PQ=k。
∵DQ//SE，
∴△QDR∽△SER，
∴QR:RS = DQ:SE = $\frac{3}{4}EF:\frac{1}{2}EF=3:2$，
∵QR=3k，
∴RS=2k。
∴BP:PQ:QR:RS = 4k:k:3k:2k = 4:1:3:2。
【答案】
$4:1:3:2$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何线段比例求解的典型题型，解题核心是挖掘图形中的平行关系，结合全等、中点的性质构造相似三角形，通过对应边成比例逐步推导各段线段的比值，需要具备一定的逻辑推导和比例整合能力。
【难度系数】
0.6
19.(10分)某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中$\tan B=\frac{1}{4}$，$BC=7$.
(1)求$m$、$n$的值；
(2)求该三棱柱的体积.
(1)求$m$、$n$的值；
(2)求该三棱柱的体积.
答案
19.解:(1)
,作 AD⊥BC 于 D.由题意可知,这个三棱柱的高为 6,BD=4,CD=m,AD=n.
∵BC=7,BC=BD+CD=4+m,
∴m=3.
∵$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{4}$,BD=4,
∴AD=1,即 n=1.
(2)
∵俯视图中的三角形的底边 BC=7,高AD=1,
∴$S_{△ABC}=7×1÷2=\frac{7}{2}$,
∴$V_{三棱柱}=S_{△ABC}·h=\frac{7}{2}×6=21$.
解析
【分析】
解决本题首先要利用三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应规律，将三视图的线段长度和几何体的各部分量对应：主视图水平方向的4、m分别对应俯视图中BC边上的高AD所分的两段BD、CD的长度，左视图的水平宽度n对应俯视图中△ABC的BC边上的高AD的长度，主视图竖直长度6是三棱柱的高。
第(1)问：先根据BC=BD+CD=7，代入BD=4即可求m；再利用正切的定义，即Rt△ABD中$\tan B=\frac{AD}{BD}$，结合已知$\tan B=\frac{1}{4}$、BD=4，求出AD即n的值。
第(2)问：直三棱柱体积=底面积×高，底面积为俯视图中△ABC的面积，用三角形面积公式计算后乘三棱柱的高6即可得体积。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC于D，
由三视图对应关系可知：三棱柱的高为6，BD=4，CD=m，AD=n。
∵BC=BD+CD=4+m，且BC=7，
∴4+m=7，解得m=3。
在Rt△ABD中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{4}$，已知BD=4，
∴$AD=\frac{1}{4}×4=1$，即n=1。
(2) 先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×7×1=\frac{7}{2}$
直三棱柱体积等于底面积乘高，代入数据得：
$V_{三棱柱}=S_{△ABC}×h=\frac{7}{2}×6=21$
【答案】
(1)，m=3，n=1；
(2) 该三棱柱的体积为21。
【知识点】
三视图的应用、解直角三角形、棱柱体积计算
【点评】
本题将三视图识别与几何计算结合，核心是明确三视图与几何体各部分的对应关系，再结合三角函数、面积体积公式求解，注重对基础概念和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应规律，将三视图的线段长度和几何体的各部分量对应：主视图水平方向的4、m分别对应俯视图中BC边上的高AD所分的两段BD、CD的长度，左视图的水平宽度n对应俯视图中△ABC的BC边上的高AD的长度，主视图竖直长度6是三棱柱的高。
第(1)问：先根据BC=BD+CD=7，代入BD=4即可求m；再利用正切的定义，即Rt△ABD中$\tan B=\frac{AD}{BD}$，结合已知$\tan B=\frac{1}{4}$、BD=4，求出AD即n的值。
第(2)问：直三棱柱体积=底面积×高，底面积为俯视图中△ABC的面积，用三角形面积公式计算后乘三棱柱的高6即可得体积。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC于D，
由三视图对应关系可知：三棱柱的高为6，BD=4，CD=m，AD=n。
∵BC=BD+CD=4+m，且BC=7，
∴4+m=7，解得m=3。
在Rt△ABD中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{4}$，已知BD=4，
∴$AD=\frac{1}{4}×4=1$，即n=1。
(2) 先计算△ABC的面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×7×1=\frac{7}{2}$
直三棱柱体积等于底面积乘高，代入数据得：
$V_{三棱柱}=S_{△ABC}×h=\frac{7}{2}×6=21$
【答案】
(1)
，m=3，n=1；(2) 该三棱柱的体积为21。
【知识点】
三视图的应用、解直角三角形、棱柱体积计算
【点评】
本题将三视图识别与几何计算结合，核心是明确三视图与几何体各部分的对应关系，再结合三角函数、面积体积公式求解，注重对基础概念和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
