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6 二次函数$y=-x^2 -2x +3$的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，二次函数$y=x^2 +bx +c$的图像经过点A、C，与x轴交于另一点D，连接CD。P是线段OA上一点，过P作x轴的垂线分别与两个图像交于点M、N，交线段AC于点Q。有下列结论：①$D(-1,0)$；②$\tan∠ACD=\frac{1}{2}$；③$DQ+BQ$的最小值为$2\sqrt{5}$；④当点P的横坐标为$-\frac{3}{2}$时，线段MN的长度取得最大值。
上述结论中，说法正确的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
从正面看
从左面看
上述结论中，说法正确的有 （）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
从正面看
从左面看
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先求出两个二次函数与坐标轴的交点坐标，再逐一验证四个结论：①将A、C坐标代入第二个二次函数解析式，解方程求出D点坐标即可验证；②通过作垂线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质计算正切值验证；③利用将军饮马模型，作对称点转化线段和，计算最短长度验证；④设P点横坐标为参数，用含参数的式子表示MN的长度，结合二次函数最值规律验证。
【解析】
第一步：求点A、B、C的坐标
对于二次函数$y=-x^2 -2x +3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$；
令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
1. 验证结论①：
将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2 +bx +c$，得$c=3$，代入A点坐标得$9-3b+3=0$，解得$b=4$，即第二个二次函数解析式为$y=x^2+4x+3$。
令$y=0$，得$x^2+4x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-1$，故$D(-1,0)$，①正确。
2. 验证结论②：
过D作$DE⊥AC$于E，$\because OA=OC=3$，$∠AOC=90°$，$\therefore ∠OAC=45°$，$△ ADE$为等腰直角三角形。
$AD=|-1-(-3)|=2$，故$DE=AE=AD·\sin45°=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，则$CE=AC-AE=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ CDE$中，$\tan∠ACD=\frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，②正确。
3. 验证结论③：
Q是线段AC上的动点，求$DQ+BQ$最小值属于将军饮马问题：作B关于直线AC的对称点$B'$，则$BQ=B'Q$，$DQ+BQ=DQ+B'Q≥B'D$，当D、Q、$B'$共线时取最小值。
直线AC解析式为$y=x+3$，设$B'(m,n)$，则$BB'$的中点$(\frac{m+1}{2},\frac{n}{2})$在AC上，且$BB'⊥AC$（斜率乘积为-1），列方程：
$\begin{cases}\frac{n}{2}=\frac{m+1}{2}+3\\\frac{n}{m-1}=-1\end{cases}$，解得$m=-3$，$n=4$，即$B'(-3,4)$。
$B'D=\sqrt{(-1+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，故$DQ+BQ$最小值为$2\sqrt{5}$，③正确。
4. 验证结论④：
设P点横坐标为$t$（$-3≤t≤0$），则$M(t, -t^2-2t+3)$，$N(t, t^2+4t+3)$，
$MN=(-t^2-2t+3)-(t^2+4t+3)=-2t^2-6t$，该二次函数开口向下，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2×(-2)}=-\frac{3}{2}$，在t的取值范围内，故P横坐标为$-\frac{3}{2}$时MN最长，④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】D
【知识点】
二次函数的图像与性质，锐角三角函数，最短路径问题
【点评】
本题属于二次函数综合题，将函数交点、三角函数、最值问题结合考查，需要逐个拆解结论，灵活调用对应知识点求解，能很好地检验知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
解题时先求出两个二次函数与坐标轴的交点坐标，再逐一验证四个结论：①将A、C坐标代入第二个二次函数解析式，解方程求出D点坐标即可验证；②通过作垂线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质计算正切值验证；③利用将军饮马模型，作对称点转化线段和，计算最短长度验证；④设P点横坐标为参数，用含参数的式子表示MN的长度，结合二次函数最值规律验证。
【解析】
第一步：求点A、B、C的坐标
对于二次函数$y=-x^2 -2x +3$：
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$；
令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
1. 验证结论①：
将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2 +bx +c$，得$c=3$，代入A点坐标得$9-3b+3=0$，解得$b=4$，即第二个二次函数解析式为$y=x^2+4x+3$。
令$y=0$，得$x^2+4x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-1$，故$D(-1,0)$，①正确。
2. 验证结论②：
过D作$DE⊥AC$于E，$\because OA=OC=3$，$∠AOC=90°$，$\therefore ∠OAC=45°$，$△ ADE$为等腰直角三角形。
$AD=|-1-(-3)|=2$，故$DE=AE=AD·\sin45°=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，则$CE=AC-AE=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ CDE$中，$\tan∠ACD=\frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，②正确。
3. 验证结论③：
Q是线段AC上的动点，求$DQ+BQ$最小值属于将军饮马问题：作B关于直线AC的对称点$B'$，则$BQ=B'Q$，$DQ+BQ=DQ+B'Q≥B'D$，当D、Q、$B'$共线时取最小值。
直线AC解析式为$y=x+3$，设$B'(m,n)$，则$BB'$的中点$(\frac{m+1}{2},\frac{n}{2})$在AC上，且$BB'⊥AC$（斜率乘积为-1），列方程：
$\begin{cases}\frac{n}{2}=\frac{m+1}{2}+3\\\frac{n}{m-1}=-1\end{cases}$，解得$m=-3$，$n=4$，即$B'(-3,4)$。
$B'D=\sqrt{(-1+3)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$，故$DQ+BQ$最小值为$2\sqrt{5}$，③正确。
4. 验证结论④：
设P点横坐标为$t$（$-3≤t≤0$），则$M(t, -t^2-2t+3)$，$N(t, t^2+4t+3)$，
$MN=(-t^2-2t+3)-(t^2+4t+3)=-2t^2-6t$，该二次函数开口向下，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2×(-2)}=-\frac{3}{2}$，在t的取值范围内，故P横坐标为$-\frac{3}{2}$时MN最长，④正确。
综上4个结论均正确。
【答案】D
【知识点】
二次函数的图像与性质，锐角三角函数，最短路径问题
【点评】
本题属于二次函数综合题，将函数交点、三角函数、最值问题结合考查，需要逐个拆解结论，灵活调用对应知识点求解，能很好地检验知识综合运用能力。
【难度系数】
0.3
7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB长度为10 cm，P为AB的黄金分割点(AP＞BP)，则叶柄BP的长度为
$(15-5\sqrt{5})$
cm.答案
7.$(15-5\sqrt{5})$
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点P把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），如果$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，就称点P是AB的黄金分割点，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$为黄金比。解题时先根据已知条件确定较长线段为AP，利用黄金比求出AP的长度，再用线段AB的总长度减去AP的长度，即可求出BP的长度。
【解析】
已知AB=10cm，P为AB的黄金分割点且AP＞BP，根据黄金分割的性质可得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB$
代入AB=10cm，得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5\sqrt{5}-5\ (\mathrm{cm})$
再根据线段和差关系$BP=AB-AP$，代入数值计算：
$BP=10-(5\sqrt{5}-5)=10-5\sqrt{5}+5=15-5\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
$(15-5\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割
【点评】
本题考查黄金分割的基本应用，熟记黄金比的取值、准确区分较长线段和较短线段是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：若点P把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），如果$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，就称点P是AB的黄金分割点，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$为黄金比。解题时先根据已知条件确定较长线段为AP，利用黄金比求出AP的长度，再用线段AB的总长度减去AP的长度，即可求出BP的长度。
【解析】
已知AB=10cm，P为AB的黄金分割点且AP＞BP，根据黄金分割的性质可得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB$
代入AB=10cm，得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5\sqrt{5}-5\ (\mathrm{cm})$
再根据线段和差关系$BP=AB-AP$，代入数值计算：
$BP=10-(5\sqrt{5}-5)=10-5\sqrt{5}+5=15-5\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
$(15-5\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割
【点评】
本题考查黄金分割的基本应用，熟记黄金比的取值、准确区分较长线段和较短线段是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
8.一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从左面和正面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体有
5
个。答案
8.5
解析
【分析】
要解决这类由两个视图确定小立方体个数的问题，需先明确视图对应的几何体特征：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大层数，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大层数。解题时按分层计数的思路推进：先确定底层小立方体的数量，再确定上层可放置的小立方体数量，最后相加得到总数即可。
【解析】
1. 分析主视图：可得该几何体共有3列，其中左列最大层数为2，中间列、右列最大层数均为1；
2. 分析左视图：可得该几何体共有2行，其中前排最大层数为2，后排最大层数为1；
3. 计数底层小立方体：底层需覆盖所有列和行，共4个小立方体；
4. 计数第二层小立方体：只有同时满足所在列最大层数≥2、所在行最大层数≥2的位置可放置第二层，仅左列前排1个位置符合要求，共1个小立方体；
5. 总个数为4+1=5。
【答案】
5
【知识点】
由三视图判断几何体；简单组合体的三视图
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题核心是理解不同视图对应的几何体维度信息，通过分层计数的方法能快速准确得出结果，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
要解决这类由两个视图确定小立方体个数的问题，需先明确视图对应的几何体特征：主视图反映几何体的左右列数和每列的最大层数，左视图反映几何体的前后行数和每行的最大层数。解题时按分层计数的思路推进：先确定底层小立方体的数量，再确定上层可放置的小立方体数量，最后相加得到总数即可。
【解析】
1. 分析主视图：可得该几何体共有3列，其中左列最大层数为2，中间列、右列最大层数均为1；
2. 分析左视图：可得该几何体共有2行，其中前排最大层数为2，后排最大层数为1；
3. 计数底层小立方体：底层需覆盖所有列和行，共4个小立方体；
4. 计数第二层小立方体：只有同时满足所在列最大层数≥2、所在行最大层数≥2的位置可放置第二层，仅左列前排1个位置符合要求，共1个小立方体；
5. 总个数为4+1=5。
【答案】
5
【知识点】
由三视图判断几何体；简单组合体的三视图
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，解题核心是理解不同视图对应的几何体维度信息，通过分层计数的方法能快速准确得出结果，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
9. 已知二次函数$y=-2(x-h)^2+9$，当自变量$x$的值满足$2≤ x≤5$时，与其对应的函数$y$的最大值为1，则常数$h$的值是
0或7
。答案
9.0或7
解析
【分析】
该二次函数为顶点式，开口向下，顶点处可取得最大值9，题目中限定区间$2≤x≤5$内函数最大值为1，说明顶点不在该区间内，需根据对称轴$x=h$与区间$[2,5]$的位置关系分类讨论：①当对称轴在区间左侧（$h＜2$）时，函数在区间内单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当对称轴在区间右侧（$h＞5$）时，函数在区间内单调递增，最大值在$x=5$处取得，分别代入求解后验证是否符合前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=-2(x-h)^2+9$的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,9)$，函数的最大值为9。
∵当$2≤x≤5$时，函数的最大值为$1≠9$，
∴对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时$y$取得最大值1，代入得：
$-2(2-h)^2+9=1$
整理得：$(2-h)^2=4$
解得：$2-h=2$或$2-h=-2$，即$h=0$或$h=4$
∵$h＜2$，
∴$h=4$舍去，保留$h=0$。
2. 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=5$时$y$取得最大值1，代入得：
$-2(5-h)^2+9=1$
整理得：$(5-h)^2=4$
解得：$5-h=2$或$5-h=-2$，即$h=3$或$h=7$
∵$h＞5$，
∴$h=3$舍去，保留$h=7$。
综上，常数$h$的值为0或7。
【答案】
0或7
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数限定区间的最值问题，解题关键是结合函数开口方向，判断对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论求解，需注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
该二次函数为顶点式，开口向下，顶点处可取得最大值9，题目中限定区间$2≤x≤5$内函数最大值为1，说明顶点不在该区间内，需根据对称轴$x=h$与区间$[2,5]$的位置关系分类讨论：①当对称轴在区间左侧（$h＜2$）时，函数在区间内单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当对称轴在区间右侧（$h＞5$）时，函数在区间内单调递增，最大值在$x=5$处取得，分别代入求解后验证是否符合前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=-2(x-h)^2+9$的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,9)$，函数的最大值为9。
∵当$2≤x≤5$时，函数的最大值为$1≠9$，
∴对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=2$时$y$取得最大值1，代入得：
$-2(2-h)^2+9=1$
整理得：$(2-h)^2=4$
解得：$2-h=2$或$2-h=-2$，即$h=0$或$h=4$
∵$h＜2$，
∴$h=4$舍去，保留$h=0$。
2. 当$h＞5$时，在$2≤x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=5$时$y$取得最大值1，代入得：
$-2(5-h)^2+9=1$
整理得：$(5-h)^2=4$
解得：$5-h=2$或$5-h=-2$，即$h=3$或$h=7$
∵$h＞5$，
∴$h=3$舍去，保留$h=7$。
综上，常数$h$的值为0或7。
【答案】
0或7
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数增减性，二次函数最值
【点评】
本题考查二次函数限定区间的最值问题，解题关键是结合函数开口方向，判断对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论求解，需注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，点$E$、$D$在边$AC$上，点$F$、$M$在边$AB$上，且$AE=ED=DC$，$FE// MD// BC$. 如果$FD$的延长线交$BC$的延长线于$N$，那么$\frac{FE}{BN}$的值为________.
答案
10.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据已知的线段三等分关系和平行线条件，利用平行线分线段成比例（或相似三角形）求出FE与BC的比值；第二步，结合FE//BN、ED=DC的条件，证明△FED和△NCD全等，得到FE与CN的等量关系；第三步，将BN表示为BC与CN的和，代入前面的关系即可求出FE与BN的比值。
【解析】
∵ AE=ED=DC，
∴ AC=3AE，即$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
∵ FE//BC，
∴ △AFE∽△ABC，
∴ $\frac{FE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即 $BC=3FE$。
∵ FE//BN（BN为BC的延长线），
∴ ∠FED=∠NCD（两直线平行，内错角相等）。
在△FED和△NCD中：
$\{\begin{array}{l}∠FED=∠NCD \\ED=DC \\∠EDF=∠CDN（对顶角相等）\end{array} $
∴ △FED≌△NCD（ASA），
∴ FE=CN。
∴ $BN=BC+CN=3FE+FE=4FE$，
∴ $\frac{FE}{BN}=\frac{FE}{4FE}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质
【点评】
本题属于几何比值类常规题型，核心考查平行线的性质、全等与相似三角形的综合应用，解题的突破口是通过全等建立FE和CN的等量关系，整体逻辑链条清晰，掌握基础的相似、全等判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步，根据已知的线段三等分关系和平行线条件，利用平行线分线段成比例（或相似三角形）求出FE与BC的比值；第二步，结合FE//BN、ED=DC的条件，证明△FED和△NCD全等，得到FE与CN的等量关系；第三步，将BN表示为BC与CN的和，代入前面的关系即可求出FE与BN的比值。
【解析】
∵ AE=ED=DC，
∴ AC=3AE，即$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
∵ FE//BC，
∴ △AFE∽△ABC，
∴ $\frac{FE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即 $BC=3FE$。
∵ FE//BN（BN为BC的延长线），
∴ ∠FED=∠NCD（两直线平行，内错角相等）。
在△FED和△NCD中：
$\{\begin{array}{l}∠FED=∠NCD \\ED=DC \\∠EDF=∠CDN（对顶角相等）\end{array} $
∴ △FED≌△NCD（ASA），
∴ FE=CN。
∴ $BN=BC+CN=3FE+FE=4FE$，
∴ $\frac{FE}{BN}=\frac{FE}{4FE}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
平行线分线段成比例，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质
【点评】
本题属于几何比值类常规题型，核心考查平行线的性质、全等与相似三角形的综合应用，解题的突破口是通过全等建立FE和CN的等量关系，整体逻辑链条清晰，掌握基础的相似、全等判定方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
11.如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为5 cm，高度为20 cm，现测得AB的长为12 cm.若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为3 cm的书
4
本.答案
11.4
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先确定斜放的书的长边与书架右侧壁、底部构成直角三角形，已知竖直直角边AB=12cm、斜边为书的长度20cm，用勾股定理求出水平直角边长度；2. 斜放的书的厚度构成的小直角三角形与上述大直角三角形相似，根据相似比求出小三角形的直角边长度，进而得到斜放的书总共占用的水平宽度；3. 计算书摆正后空余的水平宽度，除以单本3cm的厚度，结合实际情况向下取整得到可放书的数量。
【解析】
解：设斜放的书与书架底部、右侧壁构成的直角三角形的水平直角边长为$x$ cm，
由勾股定理可得：
$x^2+12^2=20^2$
$x^2=400-144=256$
解得$x=16$（负值舍去）。
斜放的书的厚度构成的小直角三角形与大直角三角形相似，相似比为书的厚度$:$书的长度$=5:20=1:4$，
因此小直角三角形的水平直角边长为$16×\frac{1}{4}=4$ cm，竖直直角边长为$12×\frac{1}{4}=3$ cm。
斜放的书总共占用的水平宽度为$16+3=19$ cm，
将书摆正后，该书仅占用水平宽度5 cm，空余水平宽度为$19-5=14$ cm。
$14÷3\approx4.67$，结合实际情况最多可放4本。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，需要准确识别图形中的直角三角形和相似关系，最后注意结果要符合实际存放书的规则，不能用四舍五入，需向下取整。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先确定斜放的书的长边与书架右侧壁、底部构成直角三角形，已知竖直直角边AB=12cm、斜边为书的长度20cm，用勾股定理求出水平直角边长度；2. 斜放的书的厚度构成的小直角三角形与上述大直角三角形相似，根据相似比求出小三角形的直角边长度，进而得到斜放的书总共占用的水平宽度；3. 计算书摆正后空余的水平宽度，除以单本3cm的厚度，结合实际情况向下取整得到可放书的数量。
【解析】
解：设斜放的书与书架底部、右侧壁构成的直角三角形的水平直角边长为$x$ cm，
由勾股定理可得：
$x^2+12^2=20^2$
$x^2=400-144=256$
解得$x=16$（负值舍去）。
斜放的书的厚度构成的小直角三角形与大直角三角形相似，相似比为书的厚度$:$书的长度$=5:20=1:4$，
因此小直角三角形的水平直角边长为$16×\frac{1}{4}=4$ cm，竖直直角边长为$12×\frac{1}{4}=3$ cm。
斜放的书总共占用的水平宽度为$16+3=19$ cm，
将书摆正后，该书仅占用水平宽度5 cm，空余水平宽度为$19-5=14$ cm。
$14÷3\approx4.67$，结合实际情况最多可放4本。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，实际问题取整
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，需要准确识别图形中的直角三角形和相似关系，最后注意结果要符合实际存放书的规则，不能用四舍五入，需向下取整。
【难度系数】
0.6
12.小超在周末利用无人机测量滨湖广场上风帆的高度.如图所示,无人机在距离地面$10\sqrt{3}$米的P处测得A处的俯角为$15°$,B处的俯角为$60°$,若斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$,则风帆的高AF是
10
米.答案
12.10
解析
【分析】
解题时先结合已知条件明确各个角的数量关系：首先根据坡度定义求出∠ABF的度数，再结合俯角的性质得到∠PBH的度数，推出∠ABP为直角；接着计算∠APB的度数，得到△PAB是等腰直角三角形，得出AB与PB相等；再在Rt△PHB中用三角函数求出PB的长度，最后在Rt△ABF中利用30°角的性质求出AF的长度。
【解析】
解：由题意可知PH⊥HC，PH=10√3米。
1. 求∠ABF的度数：
∵斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ ABF=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$∠ ABF=30°$。
2. 推导$∠ ABP$的度数：
∵P处测得B处的俯角为$60°$，且P点水平线平行于地面HC，
∴$∠ PBH=60°$，
∴$∠ ABP=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
3. 判断△PAB的形状：
∵P处测得A处的俯角为$15°$，
∴$∠ APB=60°-15°=45°$，
∴△PAB为等腰直角三角形，即$AB=PB$。
4. 求PB的长度：
在Rt△PHB中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=10\sqrt{3}$，
$\sin60°=\frac{PH}{PB}$，则$PB=\frac{PH}{\sin60°}=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20$米，故$AB=20$米。
5. 求AF的长度：
在Rt△ABF中，$∠ AFB=90°$，$∠ ABF=30°$，
∴$AF=AB·\sin30°=20×\frac{1}{2}=10$米。
【答案】
10
【知识点】
解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是结合俯角、坡度的定义转化得到角的关系，找到特殊三角形简化计算，将实际问题转化为几何线段求解问题。
【难度系数】
0.65
解题时先结合已知条件明确各个角的数量关系：首先根据坡度定义求出∠ABF的度数，再结合俯角的性质得到∠PBH的度数，推出∠ABP为直角；接着计算∠APB的度数，得到△PAB是等腰直角三角形，得出AB与PB相等；再在Rt△PHB中用三角函数求出PB的长度，最后在Rt△ABF中利用30°角的性质求出AF的长度。
【解析】
解：由题意可知PH⊥HC，PH=10√3米。
1. 求∠ABF的度数：
∵斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ ABF=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴$∠ ABF=30°$。
2. 推导$∠ ABP$的度数：
∵P处测得B处的俯角为$60°$，且P点水平线平行于地面HC，
∴$∠ PBH=60°$，
∴$∠ ABP=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
3. 判断△PAB的形状：
∵P处测得A处的俯角为$15°$，
∴$∠ APB=60°-15°=45°$，
∴△PAB为等腰直角三角形，即$AB=PB$。
4. 求PB的长度：
在Rt△PHB中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=10\sqrt{3}$，
$\sin60°=\frac{PH}{PB}$，则$PB=\frac{PH}{\sin60°}=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=20$米，故$AB=20$米。
5. 求AF的长度：
在Rt△ABF中，$∠ AFB=90°$，$∠ ABF=30°$，
∴$AF=AB·\sin30°=20×\frac{1}{2}=10$米。
【答案】
10
【知识点】
解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是结合俯角、坡度的定义转化得到角的关系，找到特殊三角形简化计算，将实际问题转化为几何线段求解问题。
【难度系数】
0.65
