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1. 下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().
A.正三角形
B.正五边形
C.正六边形
D.平行四边形
A.正三角形
B.正五边形
C.正六边形
D.平行四边形
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再依次对每个选项对应的图形进行对称性验证，筛选出同时满足两种对称性的图形即可。具体思考步骤：第一步回忆两个对称图形的核心判定规则；第二步逐一分析各选项图形是否同时符合两种规则；第三步排除不符合的选项，确定正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：
①轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
②中心对称图形：平面内绕某一定点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
A. 正三角形：是轴对称图形（共3条对称轴），但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
B. 正五边形：是轴对称图形（共5条对称轴），但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
C. 正六边形：是轴对称图形（共6条对称轴），绕中心旋转180°后能与原图形完全重合，也属于中心对称图形，符合要求；
D. 平行四边形：是中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定；中心对称图形判定；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易误将平行四边形认作轴对称图形，或混淆边数为奇数、偶数的正多边形的中心对称性，只要熟练掌握常见图形的对称特征就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形和中心对称图形的判定定义，再依次对每个选项对应的图形进行对称性验证，筛选出同时满足两种对称性的图形即可。具体思考步骤：第一步回忆两个对称图形的核心判定规则；第二步逐一分析各选项图形是否同时符合两种规则；第三步排除不符合的选项，确定正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：
①轴对称图形：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
②中心对称图形：平面内绕某一定点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
A. 正三角形：是轴对称图形（共3条对称轴），但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
B. 正五边形：是轴对称图形（共5条对称轴），但绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
C. 正六边形：是轴对称图形（共6条对称轴），绕中心旋转180°后能与原图形完全重合，也属于中心对称图形，符合要求；
D. 平行四边形：是中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形判定；中心对称图形判定；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于容易误将平行四边形认作轴对称图形，或混淆边数为奇数、偶数的正多边形的中心对称性，只要熟练掌握常见图形的对称特征就能快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图(1)，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用，而且节省材料，观测研究发现：蜂巢巢房的横截面是正六边形.如图(2)，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD 的长为8 mm，则正六边形ABCDEF 的边长为().
A.2 mm
B.$2\sqrt{2}$ mm
C.$2\sqrt{3}$ mm
D.4 mm
A.2 mm
B.$2\sqrt{2}$ mm
C.$2\sqrt{3}$ mm
D.4 mm
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，且过中心的对顶点对角线长度等于外接圆的直径，也就是2倍边长。题目中给出的AD是正六边形过中心的对角线，长度为8mm，利用上述性质，将对角线长度除以2即可得到正六边形的边长。
【解析】
正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，且正六边形的对顶点连线（过中心的对角线）为外接圆的直径。
已知对角线AD是正六边形ABCDEF的对顶点连线，即AD为外接圆直径，因此$ AD = 2×\mathrm{边长} $。
代入$ AD=8\mathrm{mm} $，可得$ \mathrm{边长} = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4\mathrm{mm} $。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质；正多边形与圆
【点评】
本题以蜂巢结构为背景考查正六边形的基本性质，贴近生活实际，解题关键是掌握正六边形边长与过中心对角线的数量关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，且过中心的对顶点对角线长度等于外接圆的直径，也就是2倍边长。题目中给出的AD是正六边形过中心的对角线，长度为8mm，利用上述性质，将对角线长度除以2即可得到正六边形的边长。
【解析】
正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，且正六边形的对顶点连线（过中心的对角线）为外接圆的直径。
已知对角线AD是正六边形ABCDEF的对顶点连线，即AD为外接圆直径，因此$ AD = 2×\mathrm{边长} $。
代入$ AD=8\mathrm{mm} $，可得$ \mathrm{边长} = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4\mathrm{mm} $。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质；正多边形与圆
【点评】
本题以蜂巢结构为背景考查正六边形的基本性质，贴近生活实际，解题关键是掌握正六边形边长与过中心对角线的数量关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
3. 某校计划在校园内修建一座周长为12 m的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案，其中使花坛面积最大的图案是().
A.正三角形
B.正方形
C.圆
D.不能确定
A.正三角形
B.正方形
C.圆
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：首先明确三种图形的周长均为12m，先分别根据周长公式求出正三角形的边长、正方形的边长、圆的半径，再代入对应图形的面积公式计算出三者的面积，最后比较面积大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算正三角形的面积：
正三角形周长为12m，因此边长为 $12÷3=4\ \mathrm{m}$，
正三角形的高为 $\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
面积 $S_1=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx6.93\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算正方形的面积：
正方形周长为12m，因此边长为 $12÷4=3\ \mathrm{m}$，
面积 $S_2=3×3=9\ \mathrm{m}^2$。
3. 计算圆的面积：
圆的周长为12m，设圆的半径为r，由周长公式 $C=2π r$ 得 $r=\frac{12}{2π}=\frac{6}{π}\ \mathrm{m}$，
面积 $S_3=π r^2=π×(\frac{6}{π})^2=\frac{36}{π}\approx11.46\ \mathrm{m}^2$。
比较三者面积：$4\sqrt{3}＜9＜\frac{36}{π}$，因此圆的面积最大。
【答案】
C
【知识点】
正多边形面积计算；圆的周长与面积；图形面积比较
【点评】
本题考查常见平面图形的周长、面积计算，掌握对应公式即可通过计算对比得出结果，也可直接利用“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”的规律快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路推导：首先明确三种图形的周长均为12m，先分别根据周长公式求出正三角形的边长、正方形的边长、圆的半径，再代入对应图形的面积公式计算出三者的面积，最后比较面积大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算正三角形的面积：
正三角形周长为12m，因此边长为 $12÷3=4\ \mathrm{m}$，
正三角形的高为 $\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
面积 $S_1=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx6.93\ \mathrm{m}^2$。
2. 计算正方形的面积：
正方形周长为12m，因此边长为 $12÷4=3\ \mathrm{m}$，
面积 $S_2=3×3=9\ \mathrm{m}^2$。
3. 计算圆的面积：
圆的周长为12m，设圆的半径为r，由周长公式 $C=2π r$ 得 $r=\frac{12}{2π}=\frac{6}{π}\ \mathrm{m}$，
面积 $S_3=π r^2=π×(\frac{6}{π})^2=\frac{36}{π}\approx11.46\ \mathrm{m}^2$。
比较三者面积：$4\sqrt{3}＜9＜\frac{36}{π}$，因此圆的面积最大。
【答案】
C
【知识点】
正多边形面积计算；圆的周长与面积；图形面积比较
【点评】
本题考查常见平面图形的周长、面积计算，掌握对应公式即可通过计算对比得出结果，也可直接利用“周长相等的平面图形中，圆的面积最大”的规律快速解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 正八边形有条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是对称图形。
4. 正八边形有条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是对称图形。
答案
解：正八边形有8条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是中心对称图形。
答案依次为：$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{中心}$
答案依次为：$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{中心}$
解析
【分析】
解题时先回忆正多边形对称性的相关规律：①正n边形的对称轴条数等于它的边数n；②边数为偶数的正多边形，绕自身中心旋转180°后能和原图形完全重合，属于中心对称图形，边数为奇数的正多边形则不满足这一特点。本题研究的是正八边形，边数为8，代入上述规律即可得出结果。
【解析】
1. 计算对称轴条数：根据正多边形的性质，正n边形有n条对称轴，正八边形的边数n=8，因此正八边形共有8条对称轴。
2. 判断对称类型：依据中心对称图形的定义，平面内绕某一定点旋转180°后，旋转所得图形能与原图形完全重合的图形为中心对称图形。正八边形绕自身中心旋转180°后可与原图形重合，因此它也是中心对称图形。
【答案】
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{中心}$
【知识点】
正多边形的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题属于基础类填空题，主要考查正多边形的对称性相关知识，牢记正多边形对称轴数量和边数的关系、中心对称图形的判定规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正多边形对称性的相关规律：①正n边形的对称轴条数等于它的边数n；②边数为偶数的正多边形，绕自身中心旋转180°后能和原图形完全重合，属于中心对称图形，边数为奇数的正多边形则不满足这一特点。本题研究的是正八边形，边数为8，代入上述规律即可得出结果。
【解析】
1. 计算对称轴条数：根据正多边形的性质，正n边形有n条对称轴，正八边形的边数n=8，因此正八边形共有8条对称轴。
2. 判断对称类型：依据中心对称图形的定义，平面内绕某一定点旋转180°后，旋转所得图形能与原图形完全重合的图形为中心对称图形。正八边形绕自身中心旋转180°后可与原图形重合，因此它也是中心对称图形。
【答案】
$\boldsymbol{8}$；$\boldsymbol{中心}$
【知识点】
正多边形的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题属于基础类填空题，主要考查正多边形的对称性相关知识，牢记正多边形对称轴数量和边数的关系、中心对称图形的判定规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
正方形的内切圆与外接圆的半径长之比等于.
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}$（或$1:\sqrt{2}$）
解析
【分析】
我们可以通过设参数的方法简化计算：首先明确正方形内切圆的直径等于正方形的边长，外接圆的直径等于正方形的对角线长，先设出正方形的边长，分别求出内切圆半径和外接圆半径，再计算二者的比值即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$：
1. 求内切圆半径$r$：
正方形内切圆的直径与正方形边长相等，即$2r=a$，解得$r=\frac{a}{2}$。
2. 求外接圆半径$R$：
正方形外接圆的直径与正方形的对角线长相等，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，因此$2R=\sqrt{2}a$，解得$R=\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
3. 计算半径比：
$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$1:\sqrt{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（或$1:\sqrt{2}$）
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是正多边形与圆部分的基础题型，解题核心是明确正方形的内切圆直径对应边长、外接圆直径对应对角线，结合勾股定理计算即可，易错点是混淆两个圆的直径对应的线段。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设参数的方法简化计算：首先明确正方形内切圆的直径等于正方形的边长，外接圆的直径等于正方形的对角线长，先设出正方形的边长，分别求出内切圆半径和外接圆半径，再计算二者的比值即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$：
1. 求内切圆半径$r$：
正方形内切圆的直径与正方形边长相等，即$2r=a$，解得$r=\frac{a}{2}$。
2. 求外接圆半径$R$：
正方形外接圆的直径与正方形的对角线长相等，根据勾股定理，正方形对角线长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，因此$2R=\sqrt{2}a$，解得$R=\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
3. 计算半径比：
$\frac{r}{R}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$1:\sqrt{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（或$1:\sqrt{2}$）
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是正多边形与圆部分的基础题型，解题核心是明确正方形的内切圆直径对应边长、外接圆直径对应对角线，结合勾股定理计算即可，易错点是混淆两个圆的直径对应的线段。
【难度系数】
0.7
6. 如图，正三角形ABC和正方形ADEF都内接于$\odot O$，则$\frac{AD}{AB}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
解析
【分析】
要计算同圆内接正方形边长AD与内接正三角形边长AB的比值，可先设圆的半径为参数R，利用正多边形外接圆的性质，分别将AD、AB用R表示，再消去参数R即可得到比值。首先根据正n边形中心角为$\frac{360°}{n}$求出对应中心角，再结合勾股定理或特殊角的三角函数值计算边长即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$。
1. 求正方形边长$AD$：
正方形ADEF内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$，
在$Rt△ AOD$中，$OA=OD=R$，由勾股定理得：
$AD^2=OA^2+OD^2=R^2+R^2=2R^2$，即$AD=\sqrt{2}R$。
2. 求正三角形边长$AB$：
正三角形ABC内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$，
过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AB=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$AB=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算比值：
$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}R}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 特殊角的三角函数
3. 勾股定理
【点评】
本题考查同圆中内接正多边形边长的计算，通过设外接圆半径为中间参数的方法，将两个待求边长用同一参数表示后求比值，是解决这类比值问题的常用思路，解题的关键是熟练掌握正多边形中心角、边长与外接圆半径的关系。
【难度系数】
0.7
要计算同圆内接正方形边长AD与内接正三角形边长AB的比值，可先设圆的半径为参数R，利用正多边形外接圆的性质，分别将AD、AB用R表示，再消去参数R即可得到比值。首先根据正n边形中心角为$\frac{360°}{n}$求出对应中心角，再结合勾股定理或特殊角的三角函数值计算边长即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$。
1. 求正方形边长$AD$：
正方形ADEF内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$，
在$Rt△ AOD$中，$OA=OD=R$，由勾股定理得：
$AD^2=OA^2+OD^2=R^2+R^2=2R^2$，即$AD=\sqrt{2}R$。
2. 求正三角形边长$AB$：
正三角形ABC内接于$\odot O$，其中心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$，
过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AB=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$AB=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算比值：
$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3}R}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}}{3}}$
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 特殊角的三角函数
3. 勾股定理
【点评】
本题考查同圆中内接正多边形边长的计算，通过设外接圆半径为中间参数的方法，将两个待求边长用同一参数表示后求比值，是解决这类比值问题的常用思路，解题的关键是熟练掌握正多边形中心角、边长与外接圆半径的关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 如图，$\odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
7. 如图，$\odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.
答案
解：
设⊙O的半径为$R$，
$\because \odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2π R = 6π$，
解得$R=3\ \mathrm{cm}$，
即正六边形$ABCDEF$的边长为$3\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG⊥ AB$于点$G$。
$\because$ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，
$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · AB · OG = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$ 正六边形$ABCDEF$的面积$= 6S_{△ AOB} = 6 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
答：正六边形$ABCDEF$的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
设⊙O的半径为$R$，
$\because \odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2π R = 6π$，
解得$R=3\ \mathrm{cm}$，
即正六边形$ABCDEF$的边长为$3\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG⊥ AB$于点$G$。
$\because$ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，
$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · AB · OG = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$ 正六边形$ABCDEF$的面积$= 6S_{△ AOB} = 6 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
答：正六边形$ABCDEF$的面积为$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用圆的周长公式求出圆的半径，正六边形的边长等于其外接圆的半径，即可得到正六边形的边长；②正六边形可被从中心出发的半径拆分为6个全等的等腰三角形，先计算单个三角形的面积，再乘6就能得到正六边形的总面积。计算单个三角形面积时，先求出正六边形的中心角，可判断出单个中心三角形是等边三角形，再作高结合勾股定理求出边心距，即可算出单个三角形的面积。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，
$\because \odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2π R = 6π$，
解得$R=3\ \mathrm{cm}$，
即正六边形$ABCDEF$的边长为$3\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG⊥ AB$于点$G$。
$\because$ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，
$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · AB · OG = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$ 正六边形$ABCDEF$的面积$= 6S_{△ AOB} = 6 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周长公式，正六边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是明确正六边形的边长等于其外接圆半径，掌握将正多边形拆分为若干个全等三角形计算面积的方法，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先利用圆的周长公式求出圆的半径，正六边形的边长等于其外接圆的半径，即可得到正六边形的边长；②正六边形可被从中心出发的半径拆分为6个全等的等腰三角形，先计算单个三角形的面积，再乘6就能得到正六边形的总面积。计算单个三角形面积时，先求出正六边形的中心角，可判断出单个中心三角形是等边三角形，再作高结合勾股定理求出边心距，即可算出单个三角形的面积。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，
$\because \odot O$的周长等于$6π \ \mathrm{cm}$，
$\therefore 2π R = 6π$，
解得$R=3\ \mathrm{cm}$，
即正六边形$ABCDEF$的边长为$3\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG⊥ AB$于点$G$。
$\because$ 正六边形的中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，
$\therefore AG = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，
$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} · AB · OG = \frac{1}{2} × 3 × \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$ 正六边形$ABCDEF$的面积$= 6S_{△ AOB} = 6 × \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\frac{27\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆周长公式，正六边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是明确正六边形的边长等于其外接圆半径，掌握将正多边形拆分为若干个全等三角形计算面积的方法，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
