三、解答题
7. 如图，等腰三角形ABC内接于$\odot O$，$AB=AC$，弦BD，CE分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，$BE=BC$. 求证：五边形AEBCD是正五边形.

证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACE=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
又∵ BE=BC，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
即点A、E、B、C、D是⊙O的五等分点，
∴ 五边形AEBCD的各边相等，各内角相等，
∴ 五边形AEBCD是正五边形。

【分析】
要证明圆内接五边形AEBCD是正五边形，核心是证明它的五个顶点是⊙O的五等分点，也就是五段对应的弧全部相等。首先利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义，推出四个相等的圆周角∠ABD、∠DBC、∠ACE、∠ECB，根据“相等的圆周角所对的弧相等”，可得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，最后结合已知BE=BC，由“等弦对等弧”得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，即可推出五段弧全部相等，进而证明五边形是正五边形。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACE=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴ ∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB，
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
又
∵ BE=BC，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
即点A、E、B、C、D是⊙O的五等分点，
∴ 五边形AEBCD的各边相等，各内角相等，
∴ 五边形AEBCD是正五边形。
【答案】
五边形AEBCD是正五边形。
【知识点】
等腰三角形性质，弧与弦、圆周角的关系，圆内接正多边形判定
【点评】
本题属于正多边形判定的基础题，解题的关键是掌握圆内接正多边形的判定方法，将证明正五边形的问题转化为证明对应弧相等的问题，结合等腰三角形和角平分线的性质即可推导得出结论，能帮助学生巩固正多边形与圆的相关性质。
【难度系数】
0.7

8. 如图，已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A.
（1）作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH，使点E在$\overset{\frown}{AD}$上；
（2）在（1）作的图中，求证：DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.

解：(1) 作法如下：
① 作直线OA，交⊙O于点C，得到直径AC；
② 过点O作BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，即得⊙O的内接正方形ABCD；
③ 分别以点A、C为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O交于E、H、F、G四点，顺次连接A、E、F、C、G、H，即得⊙O的内接正六边形AEFCGH，且点E在$\overset{\frown}{AD}$上。
(2) 证明：连接OE、OD。
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴ 其中心角$∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形AEFCGH是⊙O的内接正六边形，
∴ 其中心角$∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ ⊙O内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ ∠DOE的度数等于⊙O内接正十二边形的中心角度数，
∴ DE是⊙O内接正十二边形的一边。

【分析】
（1）作圆内接正方形时，利用正方形中心角为90°的特点，先作一条直径，再作该直径的垂线得到另一条垂直直径，四个端点即为正方形顶点；作圆内接正六边形时，利用正六边形边长等于圆半径的特点，以直径端点为圆心、半径长为半径画弧得到正六边形顶点，同时保证点E落在$\overset{\frown}{AD}$上即可。
（2）要证明DE是圆内接正十二边形的一边，只需证明DE对应的中心角等于正十二边形的中心角30°，可先分别求出正方形、正六边形的中心角，通过角度差得到∠DOE的度数，再与正十二边形的中心角对比即可得证。
【解析】
(1) 作法如下：
① 作直线OA，交$\odot O$于点C，得到直径AC；
② 过点O作$BD⊥ AC$，交$\odot O$于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，即得$\odot O$的内接正方形ABCD；
③ 分别以点A、C为圆心，OA长为半径画弧，与$\odot O$交于E、H、F、G四点，顺次连接A、E、F、C、G、H，即得$\odot O$的内接正六边形AEFCGH，且点E在$\overset{\frown}{AD}$上。
(2) 证明：连接OE、OD。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴ 其中心角$∠ AOD = \frac{360°}{4} = 90°$。
∵ 六边形AEFCGH是$\odot O$的内接正六边形，
∴ 其中心角$∠ AOE = \frac{360°}{6} = 60°$。
∴ $∠ DOE = ∠ AOD - ∠ AOE = 90° - 60° = 30°$。
∵ $\odot O$内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12} = 30°$，
∴ $∠ DOE$的度数等于$\odot O$内接正十二边形的中心角度数，
∴ DE是$\odot O$内接正十二边形的一边。
【答案】
(1) 按上述作法完成作图；
(2) DE是$\odot O$内接正十二边形的一边，证明成立。
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 正多边形中心角计算
3. 尺规作正多边形
【点评】
本题结合作图与证明考查正多边形和圆的相关知识，需要熟练掌握常见正多边形的中心角计算方法，作图时需注意题目对顶点位置的要求，证明核心是通过中心角的度数判断对应线段是否为正多边形的边，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于点M.
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）若AB＝4，求BE的长.

证明：(1)
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 各边相等，每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
即$AB=BC=CD=DE=EA$，$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE=∠ DEA=∠ EAB=108°$。
在$△ ABE$中，$AE=AB$，
∴ $∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ BAC=∠ BCA=36°$。
∴ $∠ BED=∠ AED-∠ AEB=108°-36°=72°$，
$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
$∠ EMC=∠ AMB=180°-∠ ABE-∠ BAC=108°$。
∴ $∠ BED+∠ CDE=72°+108°=180°$，
$∠ EMC+∠ CDE=108°+108°=180°$，
∴ $DE// AC$，$EM// CD$，
∴ 四边形CDEM是平行四边形。
又∵ $CD=DE$，
∴ 平行四边形CDEM是菱形。
(2) 解：
由(1)可知，$EM=CD=AB=4$，
$∠ ABM=∠ EBA=36°$，$∠ BAM=∠ BEA=36°$，
∴ $△ ABM ∽ △ EBA$，
∴ $\frac{AB}{BE}=\frac{BM}{AB}$，即$AB^2=BE· BM$。
设$BE=x$，则$BM=BE-EM=x-4$，
代入$AB=4$得：
$4^2=x(x-4)$，
整理得$x^2-4x-16=0$，
解得$x_1=2+2\sqrt{5}$，$x_2=2-2\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
∴ $BE$的长为$2+2\sqrt{5}$。

【分析】
（1）要证明四边形CDEM是菱形，可先证其为平行四边形，再结合一组邻边相等完成判定。首先利用正五边形的性质得到各边相等、所有内角均为108°，再通过等腰三角形内角和计算相关角的度数，根据同旁内角互补证明两组对边分别平行，得到平行四边形后，结合正五边形邻边相等的性质即可证得菱形。
（2）求BE的长时，先结合（1）的结论得到EM=AB=4，再通过角度相等证明△ABM∽△EBA，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1) 证明：
∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ 各边相等，每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
即$AB=BC=CD=DE=EA$，$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE=∠ DEA=∠ EAB=108°$。
在$△ ABE$中，$AE=AB$，
∴ $∠ AEB=∠ ABE=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ BAC=∠ BCA=36°$。
∴ $∠ BED=∠ AED-∠ AEB=108°-36°=72°$，
$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
$∠ EMC=∠ AMB=180°-∠ ABE-∠ BAC=108°$。
∴ $∠ BED+∠ CDE=72°+108°=180°$，
$∠ EMC+∠ CDE=108°+108°=180°$，
∴ $DE// AC$，$EM// CD$，
∴ 四边形CDEM是平行四边形。
又
∵ $CD=DE$，
∴ 平行四边形CDEM是菱形。
(2) 解：
由(1)可知，$EM=CD=AB=4$，
$∠ ABM=∠ EBA=36°$，$∠ BAM=∠ BEA=36°$，
∴ $△ ABM ∽ △ EBA$，
∴ $\frac{AB}{BE}=\frac{BM}{AB}$，即$AB^2=BE· BM$。
设$BE=x$，则$BM=BE-EM=x-4$，
代入$AB=4$得：
$4^2=x(x-4)$，
整理得$x^2-4x-16=0$，
解得$x_1=2+2\sqrt{5}$，$x_2=2-2\sqrt{5}$（边长为正，舍去）。
∴ $BE$的长为$2+2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 四边形CDEM是菱形，得证；(2) $2+2\sqrt{5}$
【知识点】
正多边形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正多边形特性、菱形判定和相似三角形的应用，解题核心是利用正五边形的内角性质推导角的数量关系，进而得到平行关系与相似三角形，第二问运用方程思想求解线段长度是几何计算的常用技巧。
【难度系数】
0.6