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1. 下列实数中，属于无理数的是 （
A.$-3$
B.$0$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\sqrt{5}$
D
）A.$-3$
B.$0$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\sqrt{5}$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的无理数包括开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时逐一判断每个选项属于有理数还是无理数，排除有理数选项即可得到答案。
【解析】
根据有理数和无理数的定义逐一分析选项：
A. $-3$是负整数，属于整数范畴，是有理数，不符合要求；
B. $0$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{5}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的范畴，掌握常见的无理数类型就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是无理数，首先需要明确有理数和无理数的定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的无理数包括开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时逐一判断每个选项属于有理数还是无理数，排除有理数选项即可得到答案。
【解析】
根据有理数和无理数的定义逐一分析选项：
A. $-3$是负整数，属于整数范畴，是有理数，不符合要求；
B. $0$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{5}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的范畴，掌握常见的无理数类型就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 能判断两个三角形全等的条件是 （
A.已知两角及一边相等
B.有两边及一角对应相等
C.已知三条边对应相等
D.有三个角对应相等
C
）A.已知两角及一边相等
B.有两边及一角对应相等
C.已知三条边对应相等
D.有三个角对应相等
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边直角边，仅适用于直角三角形），判定全等的条件必须满足“对应相等”的要求，接下来逐一核对每个选项的条件是否符合判定规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知两角及一边相等：未说明是“对应相等”，即便两个角的度数相等，若边不对应，也无法判定两个三角形全等，因此A错误；
B. 有两边及一角对应相等：若这个角不是已知两边的夹角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形的判定规则，不能判定全等，因此B错误；
C. 已知三条边对应相等：符合全等三角形判定定理中的SSS（边边边）定理，可直接判定两个三角形全等，因此C正确；
D. 有三个角对应相等：三个角对应相等只能证明两个三角形形状相同，属于相似关系，无法证明大小相等，不能判定全等，例如边长为2和边长为3的等边三角形，三个角都相等，但不全等，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、全等与相似的区别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考查对判定定理的准确理解，需要特别注意“对应相等”是判定的前提，同时牢记SSA、AAA两种不能判定全等的易混情况，避免掉入出题陷阱。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的判定定理：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边直角边，仅适用于直角三角形），判定全等的条件必须满足“对应相等”的要求，接下来逐一核对每个选项的条件是否符合判定规则，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知两角及一边相等：未说明是“对应相等”，即便两个角的度数相等，若边不对应，也无法判定两个三角形全等，因此A错误；
B. 有两边及一角对应相等：若这个角不是已知两边的夹角，属于“SSA”的情况，不符合全等三角形的判定规则，不能判定全等，因此B错误；
C. 已知三条边对应相等：符合全等三角形判定定理中的SSS（边边边）定理，可直接判定两个三角形全等，因此C正确；
D. 有三个角对应相等：三个角对应相等只能证明两个三角形形状相同，属于相似关系，无法证明大小相等，不能判定全等，例如边长为2和边长为3的等边三角形，三个角都相等，但不全等，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、全等与相似的区别
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考查对判定定理的准确理解，需要特别注意“对应相等”是判定的前提，同时牢记SSA、AAA两种不能判定全等的易混情况，避免掉入出题陷阱。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在AB,AC上分别取点E,D,使AE=AD,连接BD,CE,相交于点O,再连接AO,BC,若∠1=∠2,则图中全等三角形共有 (
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
A
)A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
答案
3. A
解析
【分析】
解题时从已知条件入手，先找有直接已知条件的全等三角形，再利用全等三角形得到的边相等、角相等的结论，依次推导其他全等三角形，按顺序查找可避免漏数、多数。首先已知AE=AD，∠1=∠2，AO为公共边，可先判定△AEO和△ADO全等；再利用这组全等得到的边角关系，依次推导其余的全等三角形即可。
【解析】
我们按顺序找出全等三角形：
1. △AEO≌△ADO：在△AEO和△ADO中，$\{\begin{array}{l} AE=AD\\ ∠1=∠2\\ AO=AO\end{array} $，根据SAS判定全等；
2. △BEO≌△CDO：由△AEO≌△ADO得$OE=OD$，$∠AEO=∠ADO$，故$∠BEO=∠CDO$（等角的补角相等），在△BEO和△CDO中，$\{\begin{array}{l} ∠BEO=∠CDO\\ OE=OD\\ ∠BOE=∠COD\end{array} $，根据ASA判定全等；
3. △ABO≌△ACO：由△BEO≌△CDO得$BE=CD$，故$AB=AE+BE=AD+CD=AC$，在△ABO和△ACO中，$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠1=∠2\\ AO=AO\end{array} $，根据SAS判定全等；
4. △ABD≌△ACE：在△ABD和△ACE中，$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array} $，根据SAS判定全等；
5. △BCE≌△CBD：由△ABD≌△ACE得$BD=CE$，又$BE=CD$，$BC=CB$，在△BCE和△CBD中，$\{\begin{array}{l} BE=CD\\ CE=BD\\ BC=CB\end{array} $，根据SSS判定全等。
综上共有5对全等三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是从已知条件出发，由易到难逐步推导全等关系，按顺序查找能有效避免漏数或多数全等三角形。
【难度系数】
0.6
解题时从已知条件入手，先找有直接已知条件的全等三角形，再利用全等三角形得到的边相等、角相等的结论，依次推导其他全等三角形，按顺序查找可避免漏数、多数。首先已知AE=AD，∠1=∠2，AO为公共边，可先判定△AEO和△ADO全等；再利用这组全等得到的边角关系，依次推导其余的全等三角形即可。
【解析】
我们按顺序找出全等三角形：
1. △AEO≌△ADO：在△AEO和△ADO中，$\{\begin{array}{l} AE=AD\\ ∠1=∠2\\ AO=AO\end{array} $，根据SAS判定全等；
2. △BEO≌△CDO：由△AEO≌△ADO得$OE=OD$，$∠AEO=∠ADO$，故$∠BEO=∠CDO$（等角的补角相等），在△BEO和△CDO中，$\{\begin{array}{l} ∠BEO=∠CDO\\ OE=OD\\ ∠BOE=∠COD\end{array} $，根据ASA判定全等；
3. △ABO≌△ACO：由△BEO≌△CDO得$BE=CD$，故$AB=AE+BE=AD+CD=AC$，在△ABO和△ACO中，$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠1=∠2\\ AO=AO\end{array} $，根据SAS判定全等；
4. △ABD≌△ACE：在△ABD和△ACE中，$\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠BAD=∠CAE\\ AD=AE\end{array} $，根据SAS判定全等；
5. △BCE≌△CBD：由△ABD≌△ACE得$BD=CE$，又$BE=CD$，$BC=CB$，在△BCE和△CBD中，$\{\begin{array}{l} BE=CD\\ CE=BD\\ BC=CB\end{array} $，根据SSS判定全等。
综上共有5对全等三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是从已知条件出发，由易到难逐步推导全等关系，按顺序查找能有效避免漏数或多数全等三角形。
【难度系数】
0.6
4. 如果一个三角形有两条边相等，且有一内角为$60°$，那么这个三角形一定为（
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
A
）（第3题）A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先提取题干已知条件：一是三角形有两条边相等，可先判定该三角形为等腰三角形；二是三角形有一个内角为60°，由于未明确该60°角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，结合等腰三角形“两底角相等”的性质分别计算三个内角的度数，再根据等边三角形的判定规则得出结论。
【解析】
已知该三角形有两条边相等，因此该三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角度数相等。
分两种情况讨论：
1. 若已知的60°角是等腰三角形的顶角：
则两个底角的度数均为$(180° - 60°) ÷ 2 = 60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形。
2. 若已知的60°角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，无论哪种情况，这个三角形一定是等边三角形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等腰三角形性质和等边三角形判定的应用，解题时需注意对未明确位置的内角进行分类讨论，避免因漏算情况出错。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题干已知条件：一是三角形有两条边相等，可先判定该三角形为等腰三角形；二是三角形有一个内角为60°，由于未明确该60°角是等腰三角形的顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，结合等腰三角形“两底角相等”的性质分别计算三个内角的度数，再根据等边三角形的判定规则得出结论。
【解析】
已知该三角形有两条边相等，因此该三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角度数相等。
分两种情况讨论：
1. 若已知的60°角是等腰三角形的顶角：
则两个底角的度数均为$(180° - 60°) ÷ 2 = 60°$，此时三角形三个内角均为60°，为等边三角形。
2. 若已知的60°角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180° - 60° × 2 = 60°$，此时三角形三个内角也均为60°，为等边三角形。
综上，无论哪种情况，这个三角形一定是等边三角形，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查等腰三角形性质和等边三角形判定的应用，解题时需注意对未明确位置的内角进行分类讨论，避免因漏算情况出错。
【难度系数】
0.9
5. 以下列各数组作为三角形的三条边长:① $5,12,13$;② $9,40,41$;③ $\sqrt{2},\sqrt{3},2$;④ $15,25,20$.
其中,能构成直角三角形的有 （
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
其中,能构成直角三角形的有 （
C
）A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
5. C
解析
【分析】
要判断给定的三边长能否构成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理。解题思路为：先找出每组三条边中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则可构成直角三角形，反之则不能，最后统计符合要求的组数即可。
【解析】
我们逐个验证4组边长：
① 边长为5、12、13，最长边是13：
$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，可构成直角三角形；
② 边长为9、40、41，最长边是41：
$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，可构成直角三角形；
③ 边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、2，最长边是2：
$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$2^2=4$，$5≠4$，不可构成直角三角形；
④ 边长为15、25、20，最长边是25：
$15^2+20^2=225+400=625$，$25^2=625$，即$15^2+20^2=25^2$，可构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②④，共3组。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理、平方运算、二次根式运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查勾股定理逆定理的使用，解题时注意优先确定最长边，可减少不必要的计算，计算二次根式的平方时要注意运算规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
要判断给定的三边长能否构成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理。解题思路为：先找出每组三条边中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则可构成直角三角形，反之则不能，最后统计符合要求的组数即可。
【解析】
我们逐个验证4组边长：
① 边长为5、12、13，最长边是13：
$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，可构成直角三角形；
② 边长为9、40、41，最长边是41：
$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，即$9^2+40^2=41^2$，可构成直角三角形；
③ 边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、2，最长边是2：
$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$2^2=4$，$5≠4$，不可构成直角三角形；
④ 边长为15、25、20，最长边是25：
$15^2+20^2=225+400=625$，$25^2=625$，即$15^2+20^2=25^2$，可构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②④，共3组。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理、平方运算、二次根式运算
【点评】
本题属于基础应用类题目，重点考查勾股定理逆定理的使用，解题时注意优先确定最长边，可减少不必要的计算，计算二次根式的平方时要注意运算规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使$△ ABC$为等腰三角形，则满足条件的点C有（
A.9个
B.7个
C.5个
D.4个
A
）A.9个
B.7个
C.5个
D.4个
答案
6. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要根据等腰三角形“两边相等”的判定条件，分三类情况讨论：①AB为腰，A是顶角顶点；②AB为腰，B是顶角顶点；③AB为底边，C是顶角顶点。结合勾股定理和网格的特点，分别找出每类情况下符合条件的格点C，最后求和即可，注意要排除A、B、C三点共线的情况。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
我们分三类讨论符合条件的点C：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时：要求$AC=AB=\sqrt{2}$，以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（除点B外）共有4个，均满足构成等腰三角形的条件；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时：要求$BC=AB=\sqrt{2}$，以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（除点A外）共有4个，均满足构成等腰三角形的条件；
3. 当AB为底边时：要求$AC=BC$，作AB的垂直平分线，与网格格点的交点共有1个，满足构成等腰三角形的条件。
综上，满足条件的点C总个数为$4+4+1=9$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是按照等腰三角形腰和底边的不同情况分类讨论，避免出现漏解的情况，同时要注意验证所找的点是否能和A、B构成三角形。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要根据等腰三角形“两边相等”的判定条件，分三类情况讨论：①AB为腰，A是顶角顶点；②AB为腰，B是顶角顶点；③AB为底边，C是顶角顶点。结合勾股定理和网格的特点，分别找出每类情况下符合条件的格点C，最后求和即可，注意要排除A、B、C三点共线的情况。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得AB的长度为：$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
我们分三类讨论符合条件的点C：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时：要求$AC=AB=\sqrt{2}$，以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（除点B外）共有4个，均满足构成等腰三角形的条件；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时：要求$BC=AB=\sqrt{2}$，以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（除点A外）共有4个，均满足构成等腰三角形的条件；
3. 当AB为底边时：要求$AC=BC$，作AB的垂直平分线，与网格格点的交点共有1个，满足构成等腰三角形的条件。
综上，满足条件的点C总个数为$4+4+1=9$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是按照等腰三角形腰和底边的不同情况分类讨论，避免出现漏解的情况，同时要注意验证所找的点是否能和A、B构成三角形。
【难度系数】
0.7
7. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是$40°$和$50°$，分别以其三边为边长向外作正方形. 执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为$40°$和$50°$的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形. 图②是1次操作后的图形. 图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”. 若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为
48
.答案
7. 48
解析
【分析】
解题时首先结合勾股定理明确正方形面积和直角三角形边长的关系：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积和等于斜边为边长的正方形面积。先计算初始图形（图①）中所有正方形的面积和，再观察每次操作后新增的正方形面积总和的规律，最后代入10次操作计算总面积即可。
已知斜边长为2，可得最大正方形面积为$2^2=4$，根据勾股定理，两个较小正方形的面积和等于最大正方形面积，因此可以先求出图①的总面积；再观察操作规律：每次新增的所有正方形的面积和恒等于最大正方形的面积，即每次操作总面积固定增加4，据此即可推导10次操作后的总面积。
【解析】
设直角三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$，其中斜边$c=2$，根据正方形面积公式得最大正方形面积为$c^2=2^2=4$。
根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=4$，即图①中两个较小正方形的面积和等于最大正方形的面积。
1. 计算0次操作（图①）所有正方形的面积和：
$S_0 = a^2 + b^2 + c^2 = 4 + 4 = 8$
2. 分析每次操作新增的面积：
每次操作时，以上一步所有最小正方形的边为斜边作直角三角形，再以新直角三角形的直角边为边作正方形，根据勾股定理，每组新的两个正方形的面积和等于对应斜边所在正方形的面积，因此每次操作新增的所有正方形的面积总和为$a^2+b^2=4$，即每次操作后总面积增加4。
3. 计算10次操作后的总面积：
10次操作后总面积$S_{10}=8+4×10=48$
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形规律探究相结合，解题的核心是抓住“每次操作新增正方形的面积和为定值”这一规律，既考查了对勾股定理的理解应用，也考查了观察归纳图形规律的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合勾股定理明确正方形面积和直角三角形边长的关系：直角三角形两条直角边为边长的正方形面积和等于斜边为边长的正方形面积。先计算初始图形（图①）中所有正方形的面积和，再观察每次操作后新增的正方形面积总和的规律，最后代入10次操作计算总面积即可。
已知斜边长为2，可得最大正方形面积为$2^2=4$，根据勾股定理，两个较小正方形的面积和等于最大正方形面积，因此可以先求出图①的总面积；再观察操作规律：每次新增的所有正方形的面积和恒等于最大正方形的面积，即每次操作总面积固定增加4，据此即可推导10次操作后的总面积。
【解析】
设直角三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$，其中斜边$c=2$，根据正方形面积公式得最大正方形面积为$c^2=2^2=4$。
根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=4$，即图①中两个较小正方形的面积和等于最大正方形的面积。
1. 计算0次操作（图①）所有正方形的面积和：
$S_0 = a^2 + b^2 + c^2 = 4 + 4 = 8$
2. 分析每次操作新增的面积：
每次操作时，以上一步所有最小正方形的边为斜边作直角三角形，再以新直角三角形的直角边为边作正方形，根据勾股定理，每组新的两个正方形的面积和等于对应斜边所在正方形的面积，因此每次操作新增的所有正方形的面积总和为$a^2+b^2=4$，即每次操作后总面积增加4。
3. 计算10次操作后的总面积：
10次操作后总面积$S_{10}=8+4×10=48$
【答案】
48
【知识点】
勾股定理，规律探究，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形规律探究相结合，解题的核心是抓住“每次操作新增正方形的面积和为定值”这一规律，既考查了对勾股定理的理解应用，也考查了观察归纳图形规律的能力。
【难度系数】
0.6
