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8. $\sqrt{16}$的平方根是
$\pm2$
。答案
8. $\pm2$
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考，首先要明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数，因此首先需要先化简$\sqrt{16}$得到具体数值，再求该数值的平方根；另外要注意平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负的结果，也不要跳过化简步骤直接求16的平方根，避免出现错解。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{16}$，根据算术平方根的定义，因为$4^2=16$，所以16的算术平方根是4，即$\sqrt{16}=4$；
第二步：求4的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题的关键是先明确所求平方根的被开方数是$\sqrt{16}$的化简结果，而非16本身，要注意区分算术平方根和平方根的概念差异，避免概念混淆导致错解。
【难度系数】
0.6
解决本题需要分两步思考，首先要明确$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数，因此首先需要先化简$\sqrt{16}$得到具体数值，再求该数值的平方根；另外要注意平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负的结果，也不要跳过化简步骤直接求16的平方根，避免出现错解。
【解析】
第一步：先化简$\sqrt{16}$，根据算术平方根的定义，因为$4^2=16$，所以16的算术平方根是4，即$\sqrt{16}=4$；
第二步：求4的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$。
因此$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的典型易错题，解题的关键是先明确所求平方根的被开方数是$\sqrt{16}$的化简结果，而非16本身，要注意区分算术平方根和平方根的概念差异，避免概念混淆导致错解。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$△ ACD ≌ △ ABE$，$AC=8$，$CD=7$，$AD=3$，则$DB=$
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。题目给出△ACD≌△ABE，公共角∠A是对应角，因此AC与AB是对应边，可得AB=AC。观察图形可知点D在AB上，因此DB的长度等于AB减去AD的长度，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵△ACD≌△ABE，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∵AC=8，
∴AB=8，
又
∵点D在AB边上，AD=3，
∴DB=AB-AD=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边，结合图形的线段位置关系进行简单的和差计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。题目给出△ACD≌△ABE，公共角∠A是对应角，因此AC与AB是对应边，可得AB=AC。观察图形可知点D在AB上，因此DB的长度等于AB减去AD的长度，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵△ACD≌△ABE，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∵AC=8，
∴AB=8，
又
∵点D在AB边上，AD=3，
∴DB=AB-AD=8-3=5。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边，结合图形的线段位置关系进行简单的和差计算，难度较低。
【难度系数】
0.9
10. 若等腰三角形的一个角是$70°$,则其底角为
$70°或55°$
.答案
10. $70°或55°$
解析
【分析】
首先我们要明确等腰三角形的核心性质是两底角相等，且任意三角形的内角和为180°。题目仅说明有一个角是70°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算底角，最后验证两种情况是否都符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的70°角为底角：根据等腰三角形两底角相等的性质，此时底角度数就是70°，满足三角形内角和要求，成立；
② 若已知的70°角为顶角：设底角度数为x，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可列等式：
$2x + 70° = 180°$
解得$x=(180°-70°)÷2=55°$，同样符合要求，成立。
因此该等腰三角形的底角为70°或55°。
【答案】
$70°或55°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时要注意未明确类型的角需要分顶角、底角两种情况讨论，避免漏解，计算后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
首先我们要明确等腰三角形的核心性质是两底角相等，且任意三角形的内角和为180°。题目仅说明有一个角是70°，未明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算底角，最后验证两种情况是否都符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的70°角为底角：根据等腰三角形两底角相等的性质，此时底角度数就是70°，满足三角形内角和要求，成立；
② 若已知的70°角为顶角：设底角度数为x，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可列等式：
$2x + 70° = 180°$
解得$x=(180°-70°)÷2=55°$，同样符合要求，成立。
因此该等腰三角形的底角为70°或55°。
【答案】
$70°或55°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时要注意未明确类型的角需要分顶角、底角两种情况讨论，避免漏解，计算后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
11. 如图，学校有一长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了
4
m.答案
11. 4
解析
【分析】
首先观察图形可知，人们走出的“捷径”是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为6m和8m。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算出斜边也就是“捷径”的长度；第二步，计算原本沿拐角行走的总路程，即两条直角边的长度之和；第三步，用原路程减去“捷径”的长度，得到少走的路程。
【解析】
解：由勾股定理可得，这条“路”的长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10(\mathrm{m})$
原来沿拐角走的路程为：$6 + 8 = 14(\mathrm{m})$
则少走的路程为：$14 - 10 = 4(\mathrm{m})$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，路程差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，题目难度较低，解题关键是准确识别直角三角形的各边长度，正确运用勾股定理求解斜边长，再计算路程差值即可。本题也隐含了爱护公共环境的引导，不要为了少走短距离踩踏公共绿化。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知，人们走出的“捷径”是直角三角形的斜边，该直角三角形的两条直角边长度分别为6m和8m。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算出斜边也就是“捷径”的长度；第二步，计算原本沿拐角行走的总路程，即两条直角边的长度之和；第三步，用原路程减去“捷径”的长度，得到少走的路程。
【解析】
解：由勾股定理可得，这条“路”的长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10(\mathrm{m})$
原来沿拐角走的路程为：$6 + 8 = 14(\mathrm{m})$
则少走的路程为：$14 - 10 = 4(\mathrm{m})$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，路程差计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的应用，题目难度较低，解题关键是准确识别直角三角形的各边长度，正确运用勾股定理求解斜边长，再计算路程差值即可。本题也隐含了爱护公共环境的引导，不要为了少走短距离踩踏公共绿化。
【难度系数】
0.9
12. 如图，点A，B在直线l的同侧，AB=4，点C是点B关于直线l的对称点，AC交直线l于点D，AC=5，则△ABD的周长为
9
。答案
12. 9
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质推导相等线段：已知点C是点B关于直线l的对称点，那么对称轴直线l上的任意一点到B、C的距离相等，D在直线l上，因此可得BD=CD。再观察△ABD的周长构成：△ABD的周长=AB+AD+BD，将BD替换为CD后，周长可转化为AB+AD+CD，而AD+CD恰好是线段AC的长，结合已知的AB、AC长度代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点C是点B关于直线l的对称点，
∴直线l垂直平分BC，
∴BD=CD。
△ABD的周长为：
$C_{△ ABD}=AB+AD+BD$
将BD=CD代入，得：
$C_{△ ABD}=AB+AD+CD=AB+AC$
已知AB=4，AC=5，
∴$C_{△ ABD}=4+5=9$。
【答案】
9
【知识点】
轴对称的性质；三角形周长计算
【点评】
本题借助轴对称性质实现线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，解题核心是找准对称点对应的相等线段，灵活运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.8
解题时先利用轴对称的性质推导相等线段：已知点C是点B关于直线l的对称点，那么对称轴直线l上的任意一点到B、C的距离相等，D在直线l上，因此可得BD=CD。再观察△ABD的周长构成：△ABD的周长=AB+AD+BD，将BD替换为CD后，周长可转化为AB+AD+CD，而AD+CD恰好是线段AC的长，结合已知的AB、AC长度代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点C是点B关于直线l的对称点，
∴直线l垂直平分BC，
∴BD=CD。
△ABD的周长为：
$C_{△ ABD}=AB+AD+BD$
将BD=CD代入，得：
$C_{△ ABD}=AB+AD+CD=AB+AC$
已知AB=4，AC=5，
∴$C_{△ ABD}=4+5=9$。
【答案】
9
【知识点】
轴对称的性质；三角形周长计算
【点评】
本题借助轴对称性质实现线段的等量转化，将未知周长转化为已知线段的和，解题核心是找准对称点对应的相等线段，灵活运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.8
13.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,DB$平分$∠ ABC,E$是$AB$的中点,$DE⊥ AB$,若$BC=5$,则$AB=$
10
.答案
13. 10
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：①首先观察到E是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DA=DB，进而推出∠A=∠ABD；②结合DB是∠ABC的角平分线，可得∠ABD=∠DBC，因此得到∠A=∠ABD=∠DBC；③在Rt△ABC中，∠C=90°，因此∠A+∠ABC=90°，将∠ABC替换为2∠A，即可算出∠A=30°；④最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合BC的长度就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD。
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠A=∠ABD=∠DBC。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
又
∵∠ABC=∠ABD + ∠DBC=2∠A，
∴∠A + 2∠A = 90°，解得∠A=30°。
∵在Rt△ABC中，30°角∠A所对的直角边BC=5，
∴BC=½AB，
∴AB=2BC=2×5=10。
【答案】
10
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过线段垂直平分线和角平分线的性质推导角度关系，进而得到特殊角30°，再利用直角三角形的特殊性质求解，要求学生熟练掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：①首先观察到E是AB中点且DE⊥AB，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得DA=DB，进而推出∠A=∠ABD；②结合DB是∠ABC的角平分线，可得∠ABD=∠DBC，因此得到∠A=∠ABD=∠DBC；③在Rt△ABC中，∠C=90°，因此∠A+∠ABC=90°，将∠ABC替换为2∠A，即可算出∠A=30°；④最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合BC的长度就能求出AB的长度。
【解析】
解：
∵E是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠A=∠ABD。
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠A=∠ABD=∠DBC。
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
又
∵∠ABC=∠ABD + ∠DBC=2∠A，
∴∠A + 2∠A = 90°，解得∠A=30°。
∵在Rt△ABC中，30°角∠A所对的直角边BC=5，
∴BC=½AB，
∴AB=2BC=2×5=10。
【答案】
10
【知识点】
垂直平分线的性质；角平分线的定义；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过线段垂直平分线和角平分线的性质推导角度关系，进而得到特殊角30°，再利用直角三角形的特殊性质求解，要求学生熟练掌握相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.7
14. 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，边BC的中点D处挂了一个重锤.小明将边BC与木条重合，观察此时重锤是否通过点A.若重锤通过点A，则这根木条是水平的，这是运用了
（第14题）
等腰三角形底边上中线垂直底边
的性质.（第14题）答案
14. 等腰三角形底边上中线垂直底边
解析
【分析】
拿到这道题先梳理已知条件：首先测平仪中AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC的中线。我们知道重锤的方向始终是竖直向下的，如果重锤过A点，就说明AD是竖直方向，要判断BC（也就是木条）是否水平，就是看AD是否垂直BC，这正好对应等腰三角形的相关性质，由此即可推出用到的原理。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为该等腰三角形的底边。
因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，可得AD⊥BC。
重锤线的方向为竖直向下，当重锤通过点A时，AD与重锤线重合，即AD为竖直方向，因此与AD垂直的BC为水平方向，即可判定木条水平。因此该方法运用了等腰三角形底边上中线垂直底边的性质。
【答案】
等腰三角形底边上中线垂直底边
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.中点的定义
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用类题目，需要结合生活常识和等腰三角形的基本性质分析，能够让学生体会到数学在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
拿到这道题先梳理已知条件：首先测平仪中AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC的中线。我们知道重锤的方向始终是竖直向下的，如果重锤过A点，就说明AD是竖直方向，要判断BC（也就是木条）是否水平，就是看AD是否垂直BC，这正好对应等腰三角形的相关性质，由此即可推出用到的原理。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为该等腰三角形的底边。
因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线垂直于底边，可得AD⊥BC。
重锤线的方向为竖直向下，当重锤通过点A时，AD与重锤线重合，即AD为竖直方向，因此与AD垂直的BC为水平方向，即可判定木条水平。因此该方法运用了等腰三角形底边上中线垂直底边的性质。
【答案】
等腰三角形底边上中线垂直底边
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.中点的定义
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用类题目，需要结合生活常识和等腰三角形的基本性质分析，能够让学生体会到数学在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
15. 如图，AD是$△ ABC$的中线，且$∠ ADC=60°$，$BC=4$. 把$△ ADC$沿直线AD折叠后，点C落在点$C'$的位置上，则$BC'=$
2
.答案
15. 2
解析
【分析】
解题时首先根据三角形中线的性质求出BD、DC的长度；再结合折叠的性质得到DC'与DC的等量关系，以及∠ADC'与∠ADC的等量关系，进而计算出∠BDC'的度数；最后通过边和角的关系判断△BDC'为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出BC'的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=4，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2。
由折叠的性质可知：DC'=DC=2，∠ADC'=∠ADC=60°，
∴∠BDC'=180°-∠ADC'-∠ADC=180°-60°-60°=60°。
∵BD=DC'=2，且∠BDC'=60°，
∴△BDC'是等边三角形，
∴BC'=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；折叠的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考查了中线、折叠变换和等边三角形的相关知识，解题核心是通过已知条件推导出△BDC'为等边三角形，难度较低，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形中线的性质求出BD、DC的长度；再结合折叠的性质得到DC'与DC的等量关系，以及∠ADC'与∠ADC的等量关系，进而计算出∠BDC'的度数；最后通过边和角的关系判断△BDC'为等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出BC'的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，BC=4，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=2。
由折叠的性质可知：DC'=DC=2，∠ADC'=∠ADC=60°，
∴∠BDC'=180°-∠ADC'-∠ADC=180°-60°-60°=60°。
∵BD=DC'=2，且∠BDC'=60°，
∴△BDC'是等边三角形，
∴BC'=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的性质；折叠的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考查了中线、折叠变换和等边三角形的相关知识，解题核心是通过已知条件推导出△BDC'为等边三角形，难度较低，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
16. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CA=CB=3$，点$D$在边$BC$上. 将$△ ACD$沿$AD$折叠，使点$C$落在点$C'$处，连接$BC'$，则$BC'$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16. $3\sqrt{2}-3(\because ∠C=90°,CA=CB=3,\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}$. 由题意可知$AC=AC'=3$,$\because BC'≥ AB-AC',\therefore$ 当A,C',B三点在同一条直线时,$BC'$取最小值,最小值即为$BC'=AB-AC'=3\sqrt{2}-3$. 故答案为$3\sqrt{2}-3$)
解析
【分析】
解决本题首先要结合折叠的性质确定不变量：折叠前后对应边相等，因此AC'的长度始终等于AC=3，即点C'的运动轨迹是以点A为圆心、AC长为半径的圆弧。要求BC'的最小值，可根据三角形三边关系（两边之差小于第三边），可知当A、C'、B三点共线时，BC'的长度最小，此时BC'=AB-AC'，因此只需先利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CA=CB=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∵将$△ ACD$沿$AD$折叠，点$C$落在点$C'$处，
∴根据折叠的性质可得$AC'=AC=3$，
根据三角形三边关系可知$BC'≥ AB-AC'$，当且仅当$A$、$C'$、$B$三点共线时等号成立，此时$BC'$取得最小值，
∴$BC'$的最小值为$3\sqrt{2}-3$。
【答案】
$3\sqrt{2}-3$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段最值求解
【点评】
本题是折叠背景下的最值问题，解题核心是抓住折叠过程中的不变量，确定动点的运动规律，结合几何最值的基本原理求解，能有效考查对图形变换性质和最值问题的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要结合折叠的性质确定不变量：折叠前后对应边相等，因此AC'的长度始终等于AC=3，即点C'的运动轨迹是以点A为圆心、AC长为半径的圆弧。要求BC'的最小值，可根据三角形三边关系（两边之差小于第三边），可知当A、C'、B三点共线时，BC'的长度最小，此时BC'=AB-AC'，因此只需先利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CA=CB=3$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
∵将$△ ACD$沿$AD$折叠，点$C$落在点$C'$处，
∴根据折叠的性质可得$AC'=AC=3$，
根据三角形三边关系可知$BC'≥ AB-AC'$，当且仅当$A$、$C'$、$B$三点共线时等号成立，此时$BC'$取得最小值，
∴$BC'$的最小值为$3\sqrt{2}-3$。
【答案】
$3\sqrt{2}-3$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段最值求解
【点评】
本题是折叠背景下的最值问题，解题核心是抓住折叠过程中的不变量，确定动点的运动规律，结合几何最值的基本原理求解，能有效考查对图形变换性质和最值问题的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
17. 如图，∠MAN是一钢架，且∠MAN=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管BC,CD,DE…若添加钢管的长度都与AB相等，则最多能添这样的钢管
8
根。答案
17. 8
解析
【分析】
解题时我们利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形外角的性质来找规律：因为添加的钢管长度都等于AB，所以每一段钢管和之前的线段构成的三角形都是等腰三角形，每一个等腰三角形的底角会依次比前一个多10°，而三角形内角和为180°，等腰三角形的底角必须小于90°，否则无法构成三角形，据此计算最多能添加的钢管数量即可。
【解析】
已知$∠ MAN=10°$，$AB=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ BCA=∠ A=10°$。
根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，得$∠ CBD=∠ A+∠ BCA=20°$。
又因为$BC=CD$，所以$∠ CDB=∠ CBD=20°$，同理可得$∠ DCE=∠ A+∠ CDA=30°$。
以此类推，每添加1根钢管，对应等腰三角形的底角就增加$10°$，设添加第$n$根钢管时，对应等腰三角形的底角为$10n°$。
由于等腰三角形的两个底角之和必须小于$180°$，即单个底角$＜90°$，因此$10n＜90$，解得$n＜9$，$n$为正整数，故$n$最大取8。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于规律探究类几何题，解题的核心是通过等腰三角形和外角的性质推导出底角的变化规律，需要注意三角形内角和的限制，避免忽略底角不能等于或超过90°的情况而出错。
【难度系数】
0.6
解题时我们利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形外角的性质来找规律：因为添加的钢管长度都等于AB，所以每一段钢管和之前的线段构成的三角形都是等腰三角形，每一个等腰三角形的底角会依次比前一个多10°，而三角形内角和为180°，等腰三角形的底角必须小于90°，否则无法构成三角形，据此计算最多能添加的钢管数量即可。
【解析】
已知$∠ MAN=10°$，$AB=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ BCA=∠ A=10°$。
根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，得$∠ CBD=∠ A+∠ BCA=20°$。
又因为$BC=CD$，所以$∠ CDB=∠ CBD=20°$，同理可得$∠ DCE=∠ A+∠ CDA=30°$。
以此类推，每添加1根钢管，对应等腰三角形的底角就增加$10°$，设添加第$n$根钢管时，对应等腰三角形的底角为$10n°$。
由于等腰三角形的两个底角之和必须小于$180°$，即单个底角$＜90°$，因此$10n＜90$，解得$n＜9$，$n$为正整数，故$n$最大取8。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于规律探究类几何题，解题的核心是通过等腰三角形和外角的性质推导出底角的变化规律，需要注意三角形内角和的限制，避免忽略底角不能等于或超过90°的情况而出错。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共65分)
18. (8分)如图，现有两条高速公路$l_1,l_2$和两个城镇$A,B$.准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置(不写作法，保留作图痕迹).
18. (8分)如图，现有两条高速公路$l_1,l_2$和两个城镇$A,B$.准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置(不写作法，保留作图痕迹).
答案
18. $P$是线段$AB$的垂直平分线分别与$l_1,l_2$所成的两个角的平分线的交点，作图略
解析
【分析】
要确定中心站P的位置，需分别匹配两个要求对应的几何性质：①到两条公路$l_1$、$l_2$距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在$l_1$与$l_2$所夹角的角平分线上；②到城镇A、B距离相等，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P在线段AB的垂直平分线上。两类线的交点即为满足全部条件的P点，注意$l_1$、$l_2$相交形成2个角，对应2条角平分线，因此共有2个符合条件的交点。
【解析】
1. 作出直线$l_1$、$l_2$相交所成两个角的角平分线；
2. 连接AB，作出线段AB的垂直平分线；
3. 线段AB的垂直平分线与上述两条角平分线的交点即为所求的中心站P，保留作图痕迹即可。
【答案】
$P$是线段$AB$的垂直平分线分别与$l_1,l_2$所成的两个角的平分线的交点，作图略
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于实际场景下的几何作图题，核心是将实际需求转化为几何点的轨迹问题，结合两个基础性质即可定位所求点，解题时需注意相交直线对应两条角平分线，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要确定中心站P的位置，需分别匹配两个要求对应的几何性质：①到两条公路$l_1$、$l_2$距离相等，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P在$l_1$与$l_2$所夹角的角平分线上；②到城镇A、B距离相等，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此点P在线段AB的垂直平分线上。两类线的交点即为满足全部条件的P点，注意$l_1$、$l_2$相交形成2个角，对应2条角平分线，因此共有2个符合条件的交点。
【解析】
1. 作出直线$l_1$、$l_2$相交所成两个角的角平分线；
2. 连接AB，作出线段AB的垂直平分线；
3. 线段AB的垂直平分线与上述两条角平分线的交点即为所求的中心站P，保留作图痕迹即可。
【答案】
$P$是线段$AB$的垂直平分线分别与$l_1,l_2$所成的两个角的平分线的交点，作图略
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于实际场景下的几何作图题，核心是将实际需求转化为几何点的轨迹问题，结合两个基础性质即可定位所求点，解题时需注意相交直线对应两条角平分线，避免漏解。
【难度系数】
0.8
