19.（8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件：.试证明.

19. 答案不唯一，如$AE=AF$,证明略

【分析】
要证明△AED≌△AFD，首先梳理已知条件：已知AD是△ABC的角平分线，可得∠EAD=∠FAD，同时AD是两个三角形的公共边，即AD=AD，此时已经具备一组角对应相等、一组边对应相等。结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS等），我们只需补充缺少的判定要素即可：若用SAS判定可添加AE=AF，若用ASA判定可添加∠ADE=∠ADF，若用AAS判定可添加∠AED=∠AFD，本题答案不唯一，我们以添加AE=AF为例进行证明。
【解析】
以添加条件$\boldsymbol{AE=AF}$为例，证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$∠ EAD = ∠ FAD$。
在$△ AED$和$△ AFD$中：
$\begin{cases}AE = AF (\mathrm{添加的条件}) \\∠ EAD = ∠ FAD (\mathrm{已证}) \\AD = AD (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ AED ≌ △ AFD (\mathrm{SAS})$。
【答案】
答案不唯一，如$AE=AF$（$∠ AED=∠ AFD$、$∠ ADE=∠ ADF$等合理即可）
【知识点】
1. 角平分线的定义 2. 全等三角形的判定
【点评】
本题是开放性几何题，需要结合已知条件推导可用于全等判定的要素，再对应全等判定定理补充合适的条件，解题时注意不要添加SSA这类无法判定三角形全等的错误条件。
【难度系数】
0.7

20. (8分)如图,点C,E分别在直线AB,DF上,CF和BE相交于点O,CO=FO,EO=BO.若∠ACE=70°,求∠DEC的度数.

20. $110°$

【分析】
解题时先从已知的边相等条件入手，结合对顶角相等，可利用SAS证明△COB和△FOE全等，根据全等三角形对应角相等得到一组内错角相等，进而推出AB//DF，最后利用平行线的同旁内角互补的性质即可求出∠DEC的度数。
【解析】
在△COB和△FOE中：
$\{\begin{array}{l}CO=FO(\mathrm{已知})\\∠ COB=∠ FOE(\mathrm{对顶角相等})\\BO=EO(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ COB ≌ △ FOE$（SAS）
∴$∠ B = ∠ OEF$（全等三角形的对应角相等）
∴$AB // DF$（内错角相等，两直线平行）
∵$AB // DF$，
∴$∠ ACE + ∠ DEC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ ACE=70°$，代入得：
$∠ DEC = 180° - 70° = 110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的判定与性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的核心是先利用边角边判定证明三角形全等，得到角相等后推导两直线平行，再结合平行线的性质求解角度，是全等三角形与平行线知识结合的典型考法。
【难度系数】
0.7

21. (8分)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作. 掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 若直角三角形的三边长$a,b,c$,且都是正整数,则$a,b,c$为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3,4,5
7,24,25
11,60,61
15,112,113
19,180,181
4,3,5
8,15,17
12,35,37
16,63,65
20,21,29
5,12,13
9,12,15

17,144,145
21,28,35
6,8,10
10,,26
14,48,50
18,80,82
22,120,122
(1) 请补全表格中的勾股数.
(2) 根据表格中的数据,用代数式分别表示$a,b,c$,使该组代数式能表示表格中所有的勾股数,并证明.
(3) 某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花?

21. (1) 24 （2）由题意,得$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$,其中$k,m,n$都是正整数,$m＞n$,证明过程如下:$\because a=k(m^2-n^2)$,$b=2kmn,c=k(m^2+n^2),\therefore a^2=k^2(m^2-n^2)^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)=k^2m^4-2k^2m^2n^2+k^2n^4$,$b^2=4k^2m^2n^2$,$c^2=k^2(m^2+n^2)^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$.$\because a^2+b^2=k^2m^4-2k^2m^2n^2+k^2n^4+4k^2m^2n^2=k^2m^4+2k^2m^2n^2+k^2n^4$,$\therefore a^2+b^2=c^2$ （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成,只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可,如图,,设$AC＜BC$,即直角三角形中最短边为$AC$. 因为仅在三角形边上种花,三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m,三角形最短边种21株花,所以$AC=20$ m. 由题意可知,$BC$最小为21 m,那么$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=29$ m,那么这块绿地最少需要种植$(20+21+29)×4=280$株花

【分析】
(1) 补全勾股数时，已知10和26两个数，26是最大数即直角三角形的斜边，直接利用勾股定理计算第三边即可。
(2) 先观察表格中所有勾股数的特征，归纳出通用的勾股数表达式，要证明该表达式符合要求，只需验证两短边的平方和等于最长边的平方，利用完全平方公式展开计算即可完成证明。
(3) 解决实际种植问题时，首先明确：两端都种花、间隔为1m的情况下，边长=株数-1。已知最短边种21株，可算出最短边长为20m。要让总种植株数最少，需使直角三角形三边长度和最小，因此另一条直角边取最小整数21m，再用勾股定理算出斜边长，最后结合四个全等三角形的结构计算总株数即可。
【解析】
(1) 设空缺的数为$x$，由勾股数的定义可得$x^2+10^2=26^2$，计算得：
$x^2=26^2-10^2=676-100=576$
因为$x$是正整数，所以$x=24$。
(2) 观察表格中勾股数的规律，可得通用表达式：$a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$，其中$k,m,n$均为正整数，且$m＞n$。
证明如下：
分别计算三边的平方：
$a^2=[k(m^2-n^2)]^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)$
$b^2=(2kmn)^2=4k^2m^2n^2$
$c^2=[k(m^2+n^2)]^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)$
计算$a^2+b^2$：
$a^2+b^2=k^2(m^4-2m^2n^2+n^4)+4k^2m^2n^2=k^2(m^4+2m^2n^2+n^4)=c^2$
满足勾股定理，因此该代数式表示的三个数为勾股数，符合要求。
(3)
已知最短边种21株花，相邻花间隔1m，且顶点处都种花，因此最短边长度$AC=21-1=20\ \mathrm{m}$。
要使总种植株数最少，需直角三角形三边长度之和最小，因此另一条直角边取最小正整数$BC=21\ \mathrm{m}$，由勾股定理得斜边长：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\ \mathrm{m}$
绿地由四个全等的直角三角形组成，因此总种植株数为：
$(20+21+29)×4=280$株
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) $a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)$（$k,m,n$为正整数，$m＞n$），证明见解析
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理、勾股数、完全平方公式
【点评】
本题结合传统数学著作《九章算术》设置问题，涵盖勾股数规律探究、勾股定理证明及实际应用三个模块，既考查了归纳推理能力，又考查了运用数学知识解决实际问题的能力，综合性较好。
【难度系数】
0.6