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11. 一个长为120 m、宽为100 m的长方形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加x m，宽增加y m，则y与x的函数表达式是
$y=x+20$
，自变量的取值范围是$x≥0$
。答案
$y=x+20$，$x≥0$
解析
【分析】
解题时首先抓住“扩建成正方形场地”这一核心条件，正方形的边长相等，因此扩建后的长与扩建后的宽相等，以此作为等量关系列等式，即可推导y与x的函数关系；再结合实际意义，x表示长增加的长度，不能为负数，即可确定自变量的取值范围。
【解析】
∵ 长方形扩建成正方形后，长和宽相等
∴ 扩建后的长 = 扩建后的宽，即 $120 + x = 100 + y$
对等式移项整理可得：$y = x + 20$
又
∵ x是长增加的长度，实际问题中增加的长度不能为负
∴ 自变量x的取值范围为 $x ≥ 0$
【答案】
$y=x+20$，$x≥0$
【知识点】
正方形的性质，列一次函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，解题的核心是找到正方形边长相等的等量关系，同时要注意结合实际问题的背景，确定自变量的取值范围，避免忽略非负限制导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“扩建成正方形场地”这一核心条件，正方形的边长相等，因此扩建后的长与扩建后的宽相等，以此作为等量关系列等式，即可推导y与x的函数关系；再结合实际意义，x表示长增加的长度，不能为负数，即可确定自变量的取值范围。
【解析】
∵ 长方形扩建成正方形后，长和宽相等
∴ 扩建后的长 = 扩建后的宽，即 $120 + x = 100 + y$
对等式移项整理可得：$y = x + 20$
又
∵ x是长增加的长度，实际问题中增加的长度不能为负
∴ 自变量x的取值范围为 $x ≥ 0$
【答案】
$y=x+20$，$x≥0$
【知识点】
正方形的性质，列一次函数解析式，自变量取值范围确定
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，解题的核心是找到正方形边长相等的等量关系，同时要注意结合实际问题的背景，确定自变量的取值范围，避免忽略非负限制导致出错。
【难度系数】
0.8
12. 已知一次函数$y=kx+b$的图象与一次函数$y=\frac{2-x}{3}$的图象互相平行，且与一次函数$y=-\frac{2x+1}{3}$的图象相交于$y$轴上同一点，则该一次函数的表达式为
$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$
。答案
$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要分别求出参数$k$和$b$的值：①根据两直线平行的性质，互相平行的一次函数斜率$k$相等，因此先将已知平行的函数整理为斜截式，即可得到所求函数的$k$值；②根据“与另一函数相交于$y$轴上同一点”，$y$轴上的点横坐标为0，代入另一函数求出对应的$y$值，该值就是所求函数的截距$b$，最后代入即可得到函数表达式。
【解析】
1. 求参数$k$的值：
将与所求函数平行的一次函数$y=\frac{2-x}{3}$整理为斜截式：$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$，
因为互相平行的一次函数斜率$k$相等，所以所求一次函数的$k=-\frac{1}{3}$。
2. 求参数$b$的值：
一次函数与$y$轴相交时横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=-\frac{2x+1}{3}$得：
$y=-\frac{2×0+1}{3}=-\frac{1}{3}$，即两函数在$y$轴的交点为$(0,-\frac{1}{3})$，
一次函数$y=kx+b$与$y$轴交点的纵坐标就是常数项$b$，因此$b=-\frac{1}{3}$。
3. 代入$k$、$b$得所求一次函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 一次函数与坐标轴交点特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是抓住一次函数平行的特征和$y$轴截距的含义，熟练掌握相关性质即可快速求解，没有复杂的计算。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的表达式，需要分别求出参数$k$和$b$的值：①根据两直线平行的性质，互相平行的一次函数斜率$k$相等，因此先将已知平行的函数整理为斜截式，即可得到所求函数的$k$值；②根据“与另一函数相交于$y$轴上同一点”，$y$轴上的点横坐标为0，代入另一函数求出对应的$y$值，该值就是所求函数的截距$b$，最后代入即可得到函数表达式。
【解析】
1. 求参数$k$的值：
将与所求函数平行的一次函数$y=\frac{2-x}{3}$整理为斜截式：$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$，
因为互相平行的一次函数斜率$k$相等，所以所求一次函数的$k=-\frac{1}{3}$。
2. 求参数$b$的值：
一次函数与$y$轴相交时横坐标$x=0$，将$x=0$代入$y=-\frac{2x+1}{3}$得：
$y=-\frac{2×0+1}{3}=-\frac{1}{3}$，即两函数在$y$轴的交点为$(0,-\frac{1}{3})$，
一次函数$y=kx+b$与$y$轴交点的纵坐标就是常数项$b$，因此$b=-\frac{1}{3}$。
3. 代入$k$、$b$得所求一次函数表达式为$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 两直线平行的性质
2. 一次函数与坐标轴交点特征
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是抓住一次函数平行的特征和$y$轴截距的含义，熟练掌握相关性质即可快速求解，没有复杂的计算。
【难度系数】
0.8
三、解答题（共40分）
13. (12分)已知一次函数$y=(2m+4)x+(3-n)$.
（1）当$m,n$满足什么条件时，$y$随$x$的增大而增大？
（2）当$m,n$满足什么条件时，函数图象经过原点？
（3）若函数图象经过第一、二、三象限，求$m,n$的取值范围.
13. (12分)已知一次函数$y=(2m+4)x+(3-n)$.
（1）当$m,n$满足什么条件时，$y$随$x$的增大而增大？
（2）当$m,n$满足什么条件时，函数图象经过原点？
（3）若函数图象经过第一、二、三象限，求$m,n$的取值范围.
答案
(1) $m＞-2$，$n$为任意实数
(2) $m≠-2$，$n=3$
(3) $m＞-2$，$n＜3$
(2) $m≠-2$，$n=3$
(3) $m＞-2$，$n＜3$
解析
【分析】
本题围绕一次函数$y=kx+b(k≠ 0)$的图象与性质展开考查，解题时可结合系数$k$、$b$的作用逐一分析：
1. 若$y$随$x$的增大而增大，只需满足一次项系数$k＞0$，常数项$b$无限制，据此列不等式求解即可；
2. 若函数图象过原点，首先要保证是一次函数（即$k≠ 0$），其次常数项$b=0$，据此列条件求解；
3. 若函数图象过第一、二、三象限，需要满足一次项系数$k＞0$、常数项$b＞0$，分别列不等式求解即可。
【解析】
题干中一次函数的一次项系数$k=2m+4$，常数项$b=3-n$。
（1）当$y$随$x$的增大而增大时，需满足$k＞0$，对$n$无要求：
列不等式：$2m+4＞0$，解得$m＞-2$，因此$m＞-2$，$n$为任意实数。
（2）当函数图象经过原点时，需满足$k≠ 0$且$b=0$：
列条件$\begin{cases}2m+4≠ 0 \\3-n=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m≠ -2 \\n=3 \end{cases}$。
（3）当函数图象经过第一、二、三象限时，需满足$k＞0$且$b＞0$：
列不等式组$\begin{cases}2m+4＞0 \\3-n＞0 \end{cases}$，分别解得$m＞-2$，$n＜3$。
【答案】
(1) $m＞-2$，$n$为任意实数
(2) $m≠-2$，$n=3$
(3) $m＞-2$，$n＜3$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值对函数增减性、图象过定点、图象所在象限的影响，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题围绕一次函数$y=kx+b(k≠ 0)$的图象与性质展开考查，解题时可结合系数$k$、$b$的作用逐一分析：
1. 若$y$随$x$的增大而增大，只需满足一次项系数$k＞0$，常数项$b$无限制，据此列不等式求解即可；
2. 若函数图象过原点，首先要保证是一次函数（即$k≠ 0$），其次常数项$b=0$，据此列条件求解；
3. 若函数图象过第一、二、三象限，需要满足一次项系数$k＞0$、常数项$b＞0$，分别列不等式求解即可。
【解析】
题干中一次函数的一次项系数$k=2m+4$，常数项$b=3-n$。
（1）当$y$随$x$的增大而增大时，需满足$k＞0$，对$n$无要求：
列不等式：$2m+4＞0$，解得$m＞-2$，因此$m＞-2$，$n$为任意实数。
（2）当函数图象经过原点时，需满足$k≠ 0$且$b=0$：
列条件$\begin{cases}2m+4≠ 0 \\3-n=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m≠ -2 \\n=3 \end{cases}$。
（3）当函数图象经过第一、二、三象限时，需满足$k＞0$且$b＞0$：
列不等式组$\begin{cases}2m+4＞0 \\3-n＞0 \end{cases}$，分别解得$m＞-2$，$n＜3$。
【答案】
(1) $m＞-2$，$n$为任意实数
(2) $m≠-2$，$n=3$
(3) $m＞-2$，$n＜3$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的性质；一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，核心是掌握一次函数中$k$、$b$的取值对函数增减性、图象过定点、图象所在象限的影响，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
14. (14分)如图,已知函数$y=-\frac{1}{2}x+b$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,与函数$y=x$的图象交于点M,点M的横坐标为2,在x轴上有一点P(a,0)(其中$a＞2$),过点P作x轴的垂线,分别交函数$y=-\frac{1}{2}x+b$和$y=x$的图象于点C,D.
(1) 求点A的坐标;
(2) 若$CD=3$,求a的值;
(3) 当$a=5$时,求四边形OMCP的面积.
(1) 求点A的坐标;
(2) 若$CD=3$,求a的值;
(3) 当$a=5$时,求四边形OMCP的面积.
答案
(1) $(6,0)$
(2) $a=4$
(3) $\frac{23}{4}$
(2) $a=4$
(3) $\frac{23}{4}$
解析
【分析】
(1) 先利用点M在$y=x$上且横坐标为2，求出M的坐标，将其代入一次函数解析式求出$b$的值，再令一次函数$y=0$即可求出点A的坐标。
(2) 过点$P(a,0)$作x轴的垂线，可得C、D两点横坐标均为$a$，分别代入两个函数解析式得到两点纵坐标，结合$a＞2$可知D在C上方，根据$CD=3$列方程即可求解$a$的值。
(3) 当$a=5$时先求出点C的坐标，采用割补法，用$△ OAM$的面积减去$△ ACP$的面积，即可求出四边形$OMCP$的面积。
【解析】
(1) $\because$点M在$y=x$的图象上，横坐标为2，
$\therefore$当$x=2$时，$y=2$，即$M(2,2)$。
将$M(2,2)$代入$y=-\frac{1}{2}x+b$，得：
$2=-\frac{1}{2}×2+b$，解得$b=3$，
$\therefore$一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，
$\therefore$点A的坐标为$(6,0)$。
(2) $\because P(a,0)$，$PC⊥ x$轴，分别交两个函数图象于C、D，
$\therefore C(a,-\frac{1}{2}a+3)$，$D(a,a)$，
$\because a＞2$，$\therefore$D点在C点上方，
$\therefore CD=a-(-\frac{1}{2}a+3)=\frac{3}{2}a-3$，
$\because CD=3$，$\therefore \frac{3}{2}a-3=3$，
解得$a=4$。
(3) 当$a=5$时，$P(5,0)$，
将$x=5$代入$y=-\frac{1}{2}x+3$，得$y=-\frac{1}{2}×5+3=\frac{1}{2}$，即$C(5,\frac{1}{2})$，
$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}× OA× y_M=\frac{1}{2}×6×2=6$，
$AP=OA-OP=6-5=1$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× AP× y_C=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$\therefore S_{四边形OMCP}=S_{△ OAM}-S_{△ ACP}=6-\frac{1}{4}=\frac{23}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{(6,0)}$
(2) $\boxed{a=4}$
(3) $\boxed{\dfrac{23}{4}}$
【知识点】
一次函数图象与性质，一次函数与方程，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的综合题型，考查了一次函数交点求解、线段长度与坐标的转化、不规则图形面积的计算，解题时要注意结合图象分析点的位置关系，灵活运用割补法简化面积计算，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.65
(1) 先利用点M在$y=x$上且横坐标为2，求出M的坐标，将其代入一次函数解析式求出$b$的值，再令一次函数$y=0$即可求出点A的坐标。
(2) 过点$P(a,0)$作x轴的垂线，可得C、D两点横坐标均为$a$，分别代入两个函数解析式得到两点纵坐标，结合$a＞2$可知D在C上方，根据$CD=3$列方程即可求解$a$的值。
(3) 当$a=5$时先求出点C的坐标，采用割补法，用$△ OAM$的面积减去$△ ACP$的面积，即可求出四边形$OMCP$的面积。
【解析】
(1) $\because$点M在$y=x$的图象上，横坐标为2，
$\therefore$当$x=2$时，$y=2$，即$M(2,2)$。
将$M(2,2)$代入$y=-\frac{1}{2}x+b$，得：
$2=-\frac{1}{2}×2+b$，解得$b=3$，
$\therefore$一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，
$\therefore$点A的坐标为$(6,0)$。
(2) $\because P(a,0)$，$PC⊥ x$轴，分别交两个函数图象于C、D，
$\therefore C(a,-\frac{1}{2}a+3)$，$D(a,a)$，
$\because a＞2$，$\therefore$D点在C点上方，
$\therefore CD=a-(-\frac{1}{2}a+3)=\frac{3}{2}a-3$，
$\because CD=3$，$\therefore \frac{3}{2}a-3=3$，
解得$a=4$。
(3) 当$a=5$时，$P(5,0)$，
将$x=5$代入$y=-\frac{1}{2}x+3$，得$y=-\frac{1}{2}×5+3=\frac{1}{2}$，即$C(5,\frac{1}{2})$，
$S_{△ OAM}=\frac{1}{2}× OA× y_M=\frac{1}{2}×6×2=6$，
$AP=OA-OP=6-5=1$，$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× AP× y_C=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$\therefore S_{四边形OMCP}=S_{△ OAM}-S_{△ ACP}=6-\frac{1}{4}=\frac{23}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{(6,0)}$
(2) $\boxed{a=4}$
(3) $\boxed{\dfrac{23}{4}}$
【知识点】
一次函数图象与性质，一次函数与方程，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的综合题型，考查了一次函数交点求解、线段长度与坐标的转化、不规则图形面积的计算，解题时要注意结合图象分析点的位置关系，灵活运用割补法简化面积计算，是一次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.65
15. (14分)某块试验田的农作物每天的需水量y kg与生长时间x天之间的关系如图所示.这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2 000 kg, 3 000 kg,在第40天后每天的需水量比前一天增加100 kg.
(1) 分别求出$x＜40$和$x≥40$时y关于x的函数表达式；
(2) 如果这些农作物每天的需水量大于或等于4 000 kg时,就需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉？
(1) 分别求出$x＜40$和$x≥40$时y关于x的函数表达式；
(2) 如果这些农作物每天的需水量大于或等于4 000 kg时,就需要进行人工灌溉,那么应从第几天开始进行人工灌溉？
答案
(1) 当$x＜40$时，$y=50x+1500$；当$x≥40$时，$y=100x-500$
(2) 第45天
(2) 第45天
解析
【分析】
(1) 本题是分段函数求解问题：①$x＜40$时，函数为一次函数，已知图像经过$(10,2000)$、$(30,3000)$两个点，采用待定系数法设解析式为$y=kx+b$，代入两点解方程组即可得到该段解析式；②先计算$x=40$时对应的需水量，$x≥40$时每天需水量比前一天增加100kg，说明该段函数斜率为100，代入$x=40$的点即可求出该段解析式。
(2) 需水量≥4000kg时需要灌溉，先判断$x=40$时的需水量小于4000，因此代入$x≥40$的解析式列不等式求解，取最小正整数即为开始灌溉的天数。
【解析】
(1) ①当$x＜40$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$
将$(10,2000)$、$(30,3000)$代入表达式得：
$\begin{cases}10k+b=2000\\30k+b=3000\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$20k=1000$，解得$k=50$
将$k=50$代入$10k+b=2000$得：$500+b=2000$，解得$b=1500$
因此$x＜40$时，函数表达式为$y=50x+1500$
当$x=40$时，代入上式得$y=50×40+1500=3500$
②当$x≥40$时，由题意可知每天需水量增加100kg，即函数斜率为100，设该段表达式为$y=100x+m$
将$(40,3500)$代入得：$100×40+m=3500$，解得$m=-500$
因此$x≥40$时，函数表达式为$y=100x-500$
(2) 当$x=40$时，需水量为3500kg＜4000kg，因此需水量≥4000kg对应$x≥40$的区间
令$100x-500≥4000$
移项得：$100x≥4500$
解得：$x≥45$
即应从第45天开始进行人工灌溉。
【答案】
(1) 当$x＜40$时，$y=50x+1500$；当$x≥40$时，$y=100x-500$
(2) 第45天
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以农业实际问题为背景，考查分段一次函数的应用，解题关键是明确不同区间的函数类型，结合已知条件准确求出各段解析式，再根据需求列不等式求解，解题时要注意分段函数自变量的取值范围，避免代错解析式。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分段函数求解问题：①$x＜40$时，函数为一次函数，已知图像经过$(10,2000)$、$(30,3000)$两个点，采用待定系数法设解析式为$y=kx+b$，代入两点解方程组即可得到该段解析式；②先计算$x=40$时对应的需水量，$x≥40$时每天需水量比前一天增加100kg，说明该段函数斜率为100，代入$x=40$的点即可求出该段解析式。
(2) 需水量≥4000kg时需要灌溉，先判断$x=40$时的需水量小于4000，因此代入$x≥40$的解析式列不等式求解，取最小正整数即为开始灌溉的天数。
【解析】
(1) ①当$x＜40$时，设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$
将$(10,2000)$、$(30,3000)$代入表达式得：
$\begin{cases}10k+b=2000\\30k+b=3000\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$20k=1000$，解得$k=50$
将$k=50$代入$10k+b=2000$得：$500+b=2000$，解得$b=1500$
因此$x＜40$时，函数表达式为$y=50x+1500$
当$x=40$时，代入上式得$y=50×40+1500=3500$
②当$x≥40$时，由题意可知每天需水量增加100kg，即函数斜率为100，设该段表达式为$y=100x+m$
将$(40,3500)$代入得：$100×40+m=3500$，解得$m=-500$
因此$x≥40$时，函数表达式为$y=100x-500$
(2) 当$x=40$时，需水量为3500kg＜4000kg，因此需水量≥4000kg对应$x≥40$的区间
令$100x-500≥4000$
移项得：$100x≥4500$
解得：$x≥45$
即应从第45天开始进行人工灌溉。
【答案】
(1) 当$x＜40$时，$y=50x+1500$；当$x≥40$时，$y=100x-500$
(2) 第45天
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以农业实际问题为背景，考查分段一次函数的应用，解题关键是明确不同区间的函数类型，结合已知条件准确求出各段解析式，再根据需求列不等式求解，解题时要注意分段函数自变量的取值范围，避免代错解析式。
【难度系数】
0.7
