登录
如图3-6,在$6×7$的网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$和$△ DFE$的顶点都在格点上.求证:$∠ ABC=∠ DFE$. 
答案
如图,每个小正方形的边长均为1.
在$\mathrm{Rt}△BCE$和$\mathrm{Rt}△DGF$中,$\because BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$,$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$,$\therefore BC=DF$.同理可得,$DE=AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$EF=AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.在$△ABC$和$△EFD$中,$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \\ BC=FD, \end{cases}$$\therefore △ABC≌△EFD(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ABC=∠DFE$解析
【分析】
要证明∠ABC=∠DFE，可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到结论。观察到两个三角形的顶点都在格点上，我们可以先借助勾股定理分别计算△ABC和△DFE的各边长度，验证两组三角形的三边是否对应相等，若三边对应相等，即可通过SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
设每个小正方形的边长均为1。
由勾股定理计算各边长度：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，故$BC=DF$；
同理可得，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$DE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，故$AC=DE$；
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故$AB=EF$。
在$△ABC$和$△EFD$中，
$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \\ BC=FD, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△EFD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABC=∠DFE$。
【答案】
如图，每个小正方形的边长均为1.在$\mathrm{Rt}△BCE$和$\mathrm{Rt}△DGF$中,$\because BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$,$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$,$\therefore BC=DF$.同理可得,$DE=AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$EF=AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.在$△ABC$和$△EFD$中,$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \\ BC=FD, \end{cases}$$\therefore △ABC≌△EFD(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ABC=∠DFE$
【知识点】
勾股定理；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于格点类几何证明题，解题关键是正确运用勾股定理计算各条格点线段的长度，再通过三边对应相等判定三角形全等，进而得到对应角相等，能很好地训练学生对格点问题的处理能力和全等相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠ABC=∠DFE，可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到结论。观察到两个三角形的顶点都在格点上，我们可以先借助勾股定理分别计算△ABC和△DFE的各边长度，验证两组三角形的三边是否对应相等，若三边对应相等，即可通过SSS判定两三角形全等，进而得到对应角相等。
【解析】
设每个小正方形的边长均为1。
由勾股定理计算各边长度：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，故$BC=DF$；
同理可得，$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$DE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，故$AC=DE$；
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，故$AB=EF$。
在$△ABC$和$△EFD$中，
$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \\ BC=FD, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌△EFD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABC=∠DFE$。
【答案】
如图，每个小正方形的边长均为1.
在$\mathrm{Rt}△BCE$和$\mathrm{Rt}△DGF$中,$\because BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$,$DF=\sqrt{DG^2+GF^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$,$\therefore BC=DF$.同理可得,$DE=AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$EF=AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.在$△ABC$和$△EFD$中,$\begin{cases} AC=ED, \\ AB=EF, \\ BC=FD, \end{cases}$$\therefore △ABC≌△EFD(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ABC=∠DFE$【知识点】
勾股定理；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于格点类几何证明题，解题关键是正确运用勾股定理计算各条格点线段的长度，再通过三边对应相等判定三角形全等，进而得到对应角相等，能很好地训练学生对格点问题的处理能力和全等相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是 （
A.9,16,25
B.$\sqrt{2},\sqrt{2},2$
C.6,8,10
D.5,12,13
A
）A.9,16,25
B.$\sqrt{2},\sqrt{2},2$
C.6,8,10
D.5,12,13
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一组数能不能作为直角三角形的三边长，解题依据是勾股定理的逆定理：若三角形的三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时我们需要对每个选项分别计算：先找出每组数中的最长边，再计算另外两条边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则可以作为直角三角形三边长，否则不可以。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：三边长为9，16，25，最长边为25。
计算得：$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，因为$337 ≠ 625$，不满足勾股定理的逆定理，所以不能作为直角三角形三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，最长边为2。
计算得：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$，$2^2 = 4$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
C选项：三边长为6，8，10，最长边为10。
计算得：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
D选项：三边长为5，12，13，最长边为13。
计算得：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意要先确定每组数的最大边，再验证平方和的关系，避免直接将边长相加导致的错误。
【难度系数】
0.8
要判断一组数能不能作为直角三角形的三边长，解题依据是勾股定理的逆定理：若三角形的三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时我们需要对每个选项分别计算：先找出每组数中的最长边，再计算另外两条边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则可以作为直角三角形三边长，否则不可以。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：三边长为9，16，25，最长边为25。
计算得：$9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337$，$25^2 = 625$，因为$337 ≠ 625$，不满足勾股定理的逆定理，所以不能作为直角三角形三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2，最长边为2。
计算得：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$，$2^2 = 4$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
C选项：三边长为6，8，10，最长边为10。
计算得：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
D选项：三边长为5，12，13，最长边为13。
计算得：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意要先确定每组数的最大边，再验证平方和的关系，避免直接将边长相加导致的错误。
【难度系数】
0.8
（1）若直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长是
$13或\sqrt{119}$
.答案
（1）13或$\sqrt{119}$
解析
【分析】
本题考查直角三角形的边长求解，核心依据是勾股定理。解题时首先要注意题干仅说明是直角三角形的两边长，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此必须分两种情况讨论：①12为斜边，5为直角边，求另一条直角边；②5和12均为直角边，求斜边，分别计算后验证是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
解：已知直角三角形的两边长为5和12，未明确两边是直角边还是斜边，分两种情况计算：
① 当长为12的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
第三边长 = $\sqrt{12^2 - 5^2}$ = $\sqrt{144 - 25}$ = $\sqrt{119}$；
② 当长为12的边是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长 = $\sqrt{5^2 + 12^2}$ = $\sqrt{25 + 144}$ = $\sqrt{169}$ = 13。
两种情况均满足三角形三边关系，因此第三边长为13或$\sqrt{119}$。
【答案】
13或$\sqrt{119}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认12为直角边直接求斜边，导致漏解。做此类题型时，若题干未明确直角边、斜边，一定要分情况讨论，计算后还要验证结果是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形的边长求解，核心依据是勾股定理。解题时首先要注意题干仅说明是直角三角形的两边长，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此必须分两种情况讨论：①12为斜边，5为直角边，求另一条直角边；②5和12均为直角边，求斜边，分别计算后验证是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
解：已知直角三角形的两边长为5和12，未明确两边是直角边还是斜边，分两种情况计算：
① 当长为12的边是斜边时，第三边为直角边，根据勾股定理：
第三边长 = $\sqrt{12^2 - 5^2}$ = $\sqrt{144 - 25}$ = $\sqrt{119}$；
② 当长为12的边是直角边时，第三边为斜边，根据勾股定理：
第三边长 = $\sqrt{5^2 + 12^2}$ = $\sqrt{25 + 144}$ = $\sqrt{169}$ = 13。
两种情况均满足三角形三边关系，因此第三边长为13或$\sqrt{119}$。
【答案】
13或$\sqrt{119}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认12为直角边直接求斜边，导致漏解。做此类题型时，若题干未明确直角边、斜边，一定要分情况讨论，计算后还要验证结果是否符合三角形三边关系。
【难度系数】
0.6
(2) 请写出未完成的勾股数：9,40，
41
；8，15
，17.答案
(2) 41 15
解析
【分析】
解题的核心是掌握勾股数的定义：三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，就称为勾股数。解题时先判断已知数中的最大数，再根据勾股定理列式计算第三个数，最后验证结果是否为正整数即可。
【解析】
1. 求9，40对应的第三个数：
设第三个数为$ x $，分两种情况讨论：
① 若$ x $是最大数，则根据勾股定理：
$ x^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 $
解得$ x = \sqrt{1681} = 41 $，是正整数，符合勾股数要求；
② 若40是最大数，则$ x^2 = 40^2 - 9^2 = 1600 - 81 = 1519 $，1519不是完全平方数，$ x $不是正整数，不符合要求。
故第一个空填41。
2. 求8，？，17对应的中间数：
已知最大数是17，设中间数为$ y $，根据勾股定理：
$ y^2 + 8^2 = 17^2 $
则$ y^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 $
解得$ y = \sqrt{225} = 15 $，是正整数，符合勾股数要求。
故第二个空填15。
【答案】
41；15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础题，解题时注意先确定三个数中的最大数，再代入勾股定理计算，同时要记得勾股数必须都是正整数，排除非整数的结果即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握勾股数的定义：三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，就称为勾股数。解题时先判断已知数中的最大数，再根据勾股定理列式计算第三个数，最后验证结果是否为正整数即可。
【解析】
1. 求9，40对应的第三个数：
设第三个数为$ x $，分两种情况讨论：
① 若$ x $是最大数，则根据勾股定理：
$ x^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 $
解得$ x = \sqrt{1681} = 41 $，是正整数，符合勾股数要求；
② 若40是最大数，则$ x^2 = 40^2 - 9^2 = 1600 - 81 = 1519 $，1519不是完全平方数，$ x $不是正整数，不符合要求。
故第一个空填41。
2. 求8，？，17对应的中间数：
已知最大数是17，设中间数为$ y $，根据勾股定理：
$ y^2 + 8^2 = 17^2 $
则$ y^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 $
解得$ y = \sqrt{225} = 15 $，是正整数，符合勾股数要求。
故第二个空填15。
【答案】
41；15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础题，解题时注意先确定三个数中的最大数，再代入勾股定理计算，同时要记得勾股数必须都是正整数，排除非整数的结果即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在钝角三角形ABC中,CB=9,AB=17,AC=10,AD⊥BC,垂足为D.求CD的长. 
答案
3. CD的长为6
解析
【分析】
本题存在两个共直角边AD的直角三角形，可利用勾股定理建立等量关系求解。解题思路：①设CD的长为未知数x；②分别在Rt△ADC和Rt△ADB中，用勾股定理表示出公共边AD的平方；③根据两个AD²的表达式相等列方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
设$CD=x$，
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=10^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$BD=CD+CB=x+9$，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=17^2-(x+9)^2$，
联立两个表达式可得：
$10^2-x^2=17^2-(x+9)^2$
展开计算：
$100-x^2=289-(x^2+18x+81)$
$100-x^2=208-x^2-18x$
消去同类项后解得：
$18x=108$，$x=6$
【答案】
CD的长为6
【知识点】
勾股定理；方程求解；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，核心是借助两个直角三角形的公共边搭建等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，需要注意钝角三角形中线段BD的长度表示，避免出现长度符号错误。
【难度系数】
0.7
本题存在两个共直角边AD的直角三角形，可利用勾股定理建立等量关系求解。解题思路：①设CD的长为未知数x；②分别在Rt△ADC和Rt△ADB中，用勾股定理表示出公共边AD的平方；③根据两个AD²的表达式相等列方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
设$CD=x$，
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AD^2=AC^2-CD^2=10^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$BD=CD+CB=x+9$，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=17^2-(x+9)^2$，
联立两个表达式可得：
$10^2-x^2=17^2-(x+9)^2$
展开计算：
$100-x^2=289-(x^2+18x+81)$
$100-x^2=208-x^2-18x$
消去同类项后解得：
$18x=108$，$x=6$
【答案】
CD的长为6
【知识点】
勾股定理；方程求解；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理的经典应用题型，核心是借助两个直角三角形的公共边搭建等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，需要注意钝角三角形中线段BD的长度表示，避免出现长度符号错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，一架长10 m 的梯子 AB 斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8 m. 如果梯子顶端下滑2 m，那么它的底端是否也滑动2 m？请说明理由.
答案
4. 是.理由如下:
如图,在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,点A下滑到点$A'$时,在$\mathrm{Rt}△A'CB'$中,$AA'=2,CA'=6,CB'=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore BB'=2$.$\therefore$ 底端滑动2 m解析
【分析】
解题核心是抓住梯子滑动过程中长度不变这一隐含条件，分三步思考：第一步，先利用勾股定理计算梯子滑动前底端到墙面的水平距离；第二步，计算顶端下滑2m后，新的竖直高度，再次用勾股定理计算此时底端到墙面的水平距离；第三步，将两次计算的水平距离作差，得到底端滑动的距离，和2m比较即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子总长度不变，即$AB=A'B'=10\ \mathrm{m}$，$∠ C=90°$。
1. 计算滑动前底端到墙的距离$BC$：
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=8\ \mathrm{m}$，$AB=10\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
2. 计算顶端下滑后底端到墙的距离$CB'$：
顶端下滑2m后，$A'C=AC-AA'=8-2=6\ \mathrm{m}$，$A'B'=10\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ A'CB'$中，根据勾股定理：
$CB'=\sqrt{A'B'^2-A'C^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
3. 计算底端滑动距离：
$BB'=CB'-BC=8-6=2\ \mathrm{m}$
因此梯子底端也滑动了2m。
【答案】
是.理由如下:如图,在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,点A下滑到点$A'$时,在$\mathrm{Rt}△A'CB'$中,$AA'=2,CA'=6,CB'=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore BB'=2$.$\therefore$ 底端滑动2 m
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题目，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，两次运用勾股定理计算边长即可求解，计算时要注意平方、开方的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题核心是抓住梯子滑动过程中长度不变这一隐含条件，分三步思考：第一步，先利用勾股定理计算梯子滑动前底端到墙面的水平距离；第二步，计算顶端下滑2m后，新的竖直高度，再次用勾股定理计算此时底端到墙面的水平距离；第三步，将两次计算的水平距离作差，得到底端滑动的距离，和2m比较即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，梯子总长度不变，即$AB=A'B'=10\ \mathrm{m}$，$∠ C=90°$。
1. 计算滑动前底端到墙的距离$BC$：
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=8\ \mathrm{m}$，$AB=10\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
2. 计算顶端下滑后底端到墙的距离$CB'$：
顶端下滑2m后，$A'C=AC-AA'=8-2=6\ \mathrm{m}$，$A'B'=10\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ A'CB'$中，根据勾股定理：
$CB'=\sqrt{A'B'^2-A'C^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
3. 计算底端滑动距离：
$BB'=CB'-BC=8-6=2\ \mathrm{m}$
因此梯子底端也滑动了2m。
【答案】
是.理由如下:
如图,在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$BC=\sqrt{10^2-8^2}=6$,点A下滑到点$A'$时,在$\mathrm{Rt}△A'CB'$中,$AA'=2,CA'=6,CB'=\sqrt{10^2-6^2}=8$,$\therefore BB'=2$.$\therefore$ 底端滑动2 m【知识点】
勾股定理，解直角三角形，实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题目，解题关键是抓住梯子长度不变的隐含条件，两次运用勾股定理计算边长即可求解，计算时要注意平方、开方的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
