1. 数形结合思想的运用.
（1）如图3-4,在△ABC中,∠B=90°,一直角边为a,斜边为b,则另一直角边c满足$c^2=$.
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,∠C=90°,若$a=6,c=10$,则$b=$;若$b=3,∠A=30°$,则$a^2=$.

1.（1）$b^2-a^2$ （2）8 3

【分析】
这道题考查直角三角形的勾股定理及特殊角性质的应用，解题思路如下：（1）首先明确直角三角形中直角所对的边为斜边，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，移项即可得到未知直角边的平方表达式；（2）第一小问先确定斜边为c，代入勾股公式计算即可得到b的值；第二小问先利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得到斜边和a的关系，再代入勾股定理整理即可求出a²的值。
【解析】
（1）在△ABC中，∠B=90°，因此斜边为∠B的对边b，两条直角边为a和c。
根据勾股定理得：$a^2 + c^2 = b^2$，移项可得$c^2 = b^2 - a^2$。
（2）①在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠C=90°，因此斜边为c，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
代入$a=6,c=10$，得$6^2 + b^2 = 10^2$，即$36 + b^2 = 100$，解得$b^2=64$，因为b为边长大于0，所以$b=8$。
②在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，∠C=90°，∠A=30°，则∠A对的直角边为a，根据直角三角形30°角的性质，斜边$c=2a$。
代入勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，得$a^2 + 3^2 = (2a)^2$，整理得$a^2 + 9 = 4a^2$，移项得$3a^2=9$，因此$a^2=3$。
【答案】
（1）$b^2-a^2$；（2）8；3
【知识点】
勾股定理；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题，结合数形结合思想，解题时需先明确直角对应的斜边，再选择对应的公式计算，属于基础巩固类题型，熟练掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

2. 方程思想的运用.
(1) 如图3-5,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,若$AB=x$,$BC=4$,$AC=8-x$,则$AB=$, $AC=$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$c=34$,$a:b=8:15$,则$a=$, $b=$.
思考:根据勾股定理,已知直角三角形两边可以求第三边,但在第(1)题中,只有一个已知量,为什么也能求得相应的边长?

2.(1) 3 5 (2) 16 30

【分析】
本题考查勾股定理结合方程思想求解直角三角形边长，解题思路如下：
1. 第(1)题：已知△ABC是直角三角形，∠B为直角，因此斜边为AC，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”可建立等量关系。虽然只有BC的长度已知，但AB和AC都用含同一个未知数x的代数式表示，代入等量关系可得到关于x的方程，解方程就能求出x的值，进而得到AB、AC的长度。
2. 第(2)题：已知直角三角形斜边长度和两条直角边的比例，可根据比例设参数，将两条直角边用含同一个参数的代数式表示，再代入勾股定理列方程求解参数，即可得到两条直角边的长度。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AB=x$，$BC=4$，$AC=8-x$代入上式：
$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$
展开右边得：$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$
消去两边的$x^2$，移项计算：
$16x = 64 - 16$
$16x = 48$
解得$x=3$
因此$AB=3$，$AC=8-3=5$。
(2) 已知$a:b=8:15$，设$a=8k$（$k＞0$），则$b=15k$，
在Rt△ABC中，∠C=90°，$c=34$，由勾股定理得：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入得：$(8k)^2 + (15k)^2 = 34^2$
计算得：$64k^2 + 225k^2 = 1156$
合并同类项：$289k^2 = 1156$
化简得：$k^2=4$，因为$k＞0$，所以$k=2$
因此$a=8×2=16$，$b=15×2=30$。
【答案】
(1) 3；5 (2) 16；30
【知识点】
1. 勾股定理
2. 方程思想
3. 比例设参
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是利用方程思想将未知边长用同一个参数表示，再通过勾股定理建立等量关系求解，掌握这种方法可以解决仅知一边长或边长比例的直角三角形求边长问题。
【难度系数】
0.8

3. 分类讨论思想的运用.
（1）已知直角三角形的两边长分别是3和4，小明认为第三边长为5，小刚认为小明的说法不正确.你知道小刚的理由是什么吗？
（2）在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=13$，高$AD=12$，求$△ ABC$的面积.
活动二:想一想 选一选
下列各组线段中不能组成直角三角形的是 （）
A. $a=8,b=15,c=17$
B. $a=9,b=12,c=15$
C. $a=6,b=8,c=10$
D. $a:b:c=2:3:4$

3.（1）长为4的边可能是直角边，也可能是斜边 （2）66或126 活动二:D

【分析】
（1）直角三角形已知两边求第三边时，若未明确说明已知边是直角边还是斜边，需分类讨论。本题仅给出两边长为3和4，未说明4是直角边还是斜边，小明仅考虑了4为直角边的情况，结论不全面。
（2）求△ABC的面积需先求出底BC的长度，已知高AD=12，需注意三角形的高可能在三角形内部（对应锐角三角形），也可能在三角形外部（对应钝角三角形），因此要分两种情况计算BC的长度，再代入三角形面积公式求解。
活动二：判断三条线段能否组成直角三角形，可利用勾股定理逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方即可，对于成比例的边长可设参数简化计算。
【解析】
（1）分两种情况讨论第三边长度：
①当长为4的边是直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；
②当长为4的边是斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
因此第三边长可能是5或$\sqrt{7}$，小明仅考虑了第一种情况，说法不正确，小刚的理由是未明确长为4的边是直角边还是斜边，需分类讨论。
（2）
∵AD是△ABC的高，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形：
在$Rt△ ABD$中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$；
在$Rt△ ACD$中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
分两种情况计算BC的长度：
①当高AD在△ABC内部时，$BC=BD+CD=16+5=21$，此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×12=126$；
②当高AD在△ABC外部时，$BC=BD-CD=16-5=11$，此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×11×12=66$。
综上，△ABC的面积为66或126。
活动二：根据勾股定理逆定理逐一验证选项：
A选项：$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，可组成直角三角形；
B选项：$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，可组成直角三角形；
C选项：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，可组成直角三角形；
D选项：设三边长分别为$2k、3k、4k（k＞0）$，则$(2k)^2+(3k)^2=4k^2+9k^2=13k^2$，$(4k)^2=16k^2$，$13k^2≠16k^2$，不能组成直角三角形。
故选D。
【答案】
3.（1）长为4的边可能是直角边，也可能是斜边 （2）66或126 活动二:D
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想，勾股定理逆定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在勾股定理相关问题中的应用，解题时要注意：若题目未明确直角三角形边的类型、三角形高的位置时，需全面考虑所有可能的情况，避免漏解，同时要熟练掌握勾股定理及逆定理的计算和应用方法。
【难度系数】
0.65