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1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=4$，折叠$△ ABC$，使点$A$与点$B$重合，折痕$DE$与$AB$交于点$D$，与$AC$交于点$E$，则$CE$的长为
3
。答案
1. 3.根据题意,得$AE=BE$.设$CE=x$,则$AE=BE=8-x$.由勾股定理,得$BC^2+CE^2=BE^2$,即$4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$.故答案为: 3
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，可得AE=BE，此时可以把BE和CE放到直角△BCE中，我们已知BC的长度，AC的长度也已知，因此可以设CE的长为x，用含x的式子表示BE的长度，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AE=BE$。
设$CE=x$，已知$AC=8$，则$AE=AC-CE=8-x$，即$BE=8-x$。
$\because ∠C=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，根据勾股定理得：
$BC^2+CE^2=BE^2$
代入已知条件得：$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开计算：$16+x^2=64-16x+x^2$
消去$x^2$后移项得：$16x=64-16$
解得$x=3$
【答案】
3
【知识点】
翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的基础典型题，解题核心是通过折叠的性质得到相等线段，将已知量和未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了几何计算中常用的方程思想。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，可得AE=BE，此时可以把BE和CE放到直角△BCE中，我们已知BC的长度，AC的长度也已知，因此可以设CE的长为x，用含x的式子表示BE的长度，再根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得$AE=BE$。
设$CE=x$，已知$AC=8$，则$AE=AC-CE=8-x$，即$BE=8-x$。
$\because ∠C=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，根据勾股定理得：
$BC^2+CE^2=BE^2$
代入已知条件得：$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开计算：$16+x^2=64-16x+x^2$
消去$x^2$后移项得：$16x=64-16$
解得$x=3$
【答案】
3
【知识点】
翻折的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的基础典型题，解题核心是通过折叠的性质得到相等线段，将已知量和未知量转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，体现了几何计算中常用的方程思想。
【难度系数】
0.7
2. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地，种了一些蔬菜. 爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量. 小明测得$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，$DA=12\ \mathrm{m}$，又测得$∠ B=90°$. 求这块土地的面积.
答案
2. $36\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过添加辅助线将其转化为规则三角形面积之和求解。首先连接AC，已知∠B=90°，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、AD、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
连接AC，
∵ ∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $AC=5\ \mathrm{m}$（边长为正数）。
在△ACD中，AC=5m，AD=12m，CD=13m，
∵ $AC^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AC^2 + AD^2 = CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得∠CAD=90°，即△ACD为直角三角形。
∴ 四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × AD$
$= \frac{1}{2} × 4 × 3 + \frac{1}{2} × 5 × 12$
$= 6 + 30 = 36\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$36\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理逆定理 3.不规则图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为两个直角三角形，再结合勾股定理及其逆定理计算面积，解题时要注意辅助线的合理构造，灵活运用勾股相关定理。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过添加辅助线将其转化为规则三角形面积之和求解。首先连接AC，已知∠B=90°，可先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；再根据AC、AD、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
连接AC，
∵ ∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $AC=5\ \mathrm{m}$（边长为正数）。
在△ACD中，AC=5m，AD=12m，CD=13m，
∵ $AC^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$CD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AC^2 + AD^2 = CD^2$，
由勾股定理的逆定理可得∠CAD=90°，即△ACD为直角三角形。
∴ 四边形ABCD的面积为：
$S_{ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$
$= \frac{1}{2} × AB × BC + \frac{1}{2} × AC × AD$
$= \frac{1}{2} × 4 × 3 + \frac{1}{2} × 5 × 12$
$= 6 + 30 = 36\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$36\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
1.勾股定理 2.勾股定理逆定理 3.不规则图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是通过添加辅助线将四边形分割为两个直角三角形，再结合勾股定理及其逆定理计算面积，解题时要注意辅助线的合理构造，灵活运用勾股相关定理。
【难度系数】
0.7
3. 问题:如图①,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且 $PA^2=4$, $PB^2=3$, $PC^2=1$. 求∠BPC 的度数.
李明的思路:将△BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 $60°$,画出旋转后的图形(图②).连接 $PP'$,可得△$P'PB$ 是等边三角形(可证),而△$PP'A$ 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而可求出∠BPC 的度数.
请你写出李明求∠BPC 度数的完整过程.
李明的思路:将△BPC 绕点 B 按逆时针方向旋转 $60°$,画出旋转后的图形(图②).连接 $PP'$,可得△$P'PB$ 是等边三角形(可证),而△$PP'A$ 又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),从而可求出∠BPC 的度数.
请你写出李明求∠BPC 度数的完整过程.
答案
3. $\because$ 将$△BPC$绕点$B$按逆时针方向旋转$60°$,得$△BP'A$,则$△BPC≌△BP'A$.$\therefore BP'=BP$,$AP'=CP$,$∠PBP'=60°$,$∠BP'A=∠BPC$.$\therefore △BPP'$是等边三角形.$\therefore PP'=BP$.$\because PA^2=4$,$PB^2=3$,$PC^2=1$,$\therefore P'A^2+P'P^2=PC^2+BP^2=1+3=4=PA^2$.$\therefore ∠AP'P=90°$.$\therefore ∠BP'A=150°$,$∠BPC=∠BP'A=150°$
解析
【分析】
要解决本题，我们可以利用旋转将分散的已知线段转化到同一个三角形中：首先按照题中提示将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，根据旋转的性质可得全等三角形，对应边、对应角相等；再结合∠PBP'=60°且BP'=BP，可证△BPP'是等边三角形，得到PP'=PB，此时PC、PB、PA的长度就转化为△AP'P的三条边长，利用勾股定理的逆定理可判断△AP'P是直角三角形，最后结合角度和差关系即可求出∠BPC的度数。
【解析】
∵ 将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°，得△BP'A，
∴ △BPC≌△BP'A，
∴ $BP'=BP$，$AP'=CP$，$∠PBP'=60°$，$∠BP'A=∠BPC$。
∵ $BP'=BP$，$∠PBP'=60°$，
∴ △BPP'是等边三角形，
∴ $PP'=BP$，$∠BP'P=60°$。
已知$PA^2=4$，$PB^2=3$，$PC^2=1$，
∴ $P'A^2+P'P^2=PC^2+BP^2=1+3=4=PA^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△AP'P是直角三角形，且$∠AP'P=90°$。
∴ $∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=60°+90°=150°$，
又
∵ $∠BPC=∠BP'A$，
∴ $∠BPC=150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题通过旋转构造全等三角形和等边三角形，将原本分散的三条线段集中到同一个三角形中，结合勾股定理的逆定理求解角度，是解决三角形内点相关的边长、角度问题的常用思路，掌握旋转构造辅助线的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以利用旋转将分散的已知线段转化到同一个三角形中：首先按照题中提示将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，根据旋转的性质可得全等三角形，对应边、对应角相等；再结合∠PBP'=60°且BP'=BP，可证△BPP'是等边三角形，得到PP'=PB，此时PC、PB、PA的长度就转化为△AP'P的三条边长，利用勾股定理的逆定理可判断△AP'P是直角三角形，最后结合角度和差关系即可求出∠BPC的度数。
【解析】
∵ 将△BPC绕点B按逆时针方向旋转60°，得△BP'A，
∴ △BPC≌△BP'A，
∴ $BP'=BP$，$AP'=CP$，$∠PBP'=60°$，$∠BP'A=∠BPC$。
∵ $BP'=BP$，$∠PBP'=60°$，
∴ △BPP'是等边三角形，
∴ $PP'=BP$，$∠BP'P=60°$。
已知$PA^2=4$，$PB^2=3$，$PC^2=1$，
∴ $P'A^2+P'P^2=PC^2+BP^2=1+3=4=PA^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△AP'P是直角三角形，且$∠AP'P=90°$。
∴ $∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=60°+90°=150°$，
又
∵ $∠BPC=∠BP'A$，
∴ $∠BPC=150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题通过旋转构造全等三角形和等边三角形，将原本分散的三条线段集中到同一个三角形中，结合勾股定理的逆定理求解角度，是解决三角形内点相关的边长、角度问题的常用思路，掌握旋转构造辅助线的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
