1. 在$△ ABC$中，$AB=AC$.
（1）已知$∠ A=70°$，则$∠ C=$，$∠ B=$；
（2）已知$∠ B=30°$，则$∠ A=$，$∠ C=$；
（3）已知有一个角等于$55°$，则其余两个角分别是.

(1) 55°，55°
(2) 120°，30°
(3) 62.5°,62.5°或70°,55°

【分析】
本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理的应用，解题思路如下：
1. 先根据已知条件AB=AC，判定△ABC是等腰三角形，得到底角相等的结论：∠B=∠C；
2. 对于（1）（2）小问，明确已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为180°直接计算即可；
3. 对于（3）小问，由于没有明确55°的角是顶角还是底角，需要分两种情况讨论，计算后验证是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，且∠B=∠C，三角形内角和为180°。
（1）已知∠A=70°（为顶角），则：
$∠ B=∠ C=(180°-∠ A)÷2=(180°-70°)÷2=55°$；
（2）已知∠B=30°（为底角），则：
$∠ C=∠ B=30°$，
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$；
（3）分两种情况讨论：
① 若已知的55°角为顶角，则其余两个底角相等，度数为：
$(180°-55°)÷2=62.5°$，即其余两角为62.5°、62.5°；
② 若已知的55°角为底角，则另一个底角也为55°，顶角为：
$180°-55°×2=70°$，即其余两角为55°、70°。
两种情况均符合三角形内角和要求，均成立。
【答案】
(1) 55°，55°
(2) 120°，30°
(3) 62.5°,62.5°或70°,55°
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础题型，重点考查等腰三角形的性质及三角形内角和的应用，解题时需注意：当题目没有明确说明已知角是等腰三角形的顶角还是底角时，要分情况讨论，防止漏解。
【难度系数】
0.8

(1) 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$是边$AC$上的高,则$∠ DBC$的度数是（）
A. $18°$
B. $24°$
C. $30°$
D. $36°$
(2) 等腰三角形的一边长为10,另一边长为7,它的周长是（）
A. $27$
B. $24$
C. $17$
D. $27$或$24$

(1) A
(2) D

【分析】
(1) 解题思路：首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠A的度数，先求出底角∠C的度数；再由BD是AC边上的高，可得△BDC是直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余，即可求出∠DBC的度数。
(2) 解题思路：题目未明确给出长度为10和7的边是等腰三角形的腰还是底，因此需要分两种情况讨论：①10为腰长，7为底边长；②7为腰长，10为底边长。两种情况都需要先根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算对应周长，最终得到所有符合条件的周长。
【解析】
(1) 解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{1}{2}(180°-∠A)$=$\frac{1}{2}×(180°-36°)$=72°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，即∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC+∠C=90°，
∴∠DBC=90°-72°=18°，
故选A。
(2) 解：分两种情况讨论：
①当腰长为10，底边长为7时，三角形三边长为10、10、7，
∵10+7＞10，满足三角形三边关系，
∴此时周长为10+10+7=27；
②当腰长为7，底边长为10时，三角形三边长为7、7、10，
∵7+7＞10，满足三角形三边关系，
∴此时周长为7+7+10=24；
综上，该等腰三角形的周长为27或24，故选D。
【答案】
(1)A；(2)D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形三边关系
【点评】
这两道题是等腰三角形的基础常考题，第一题融合了等腰三角形角度计算和直角三角形的性质，解题核心是先求等腰三角形底角度数；第二题易错点是忽略分类讨论，解题时要注意先明确腰和底，再验证三边是否满足构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，点$E$在$CA$的延长线上，$AE=AF$.试判断$EF$与$AD$的位置关系，并说明理由.

解：$EF// AD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
$\because AE=AF$，
$\therefore ∠ E = ∠ AFE$。
又$\because ∠ BAC$是$△ EAF$的外角，
$\therefore ∠ BAC = ∠ E + ∠ AFE = 2∠ E$，
即$∠ E = \frac{1}{2}∠ BAC$。
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，
$\therefore EF// AD$（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
要判断EF与AD的位置关系，首先观察图形可初步猜测两直线平行，需通过角的等量关系证明。首先利用等腰三角形三线合一的性质，可得到AD平分∠BAC；再由AE=AF可知△AEF为等腰三角形，两底角相等，结合三角形外角的性质推导∠BAC与∠E的数量关系，即可得到∠CAD与∠E相等，最后根据平行线的判定定理证得两直线平行。
【解析】
$EF// AD$，理由如下：
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$。
$\because AE=AF$，
$\therefore ∠ E = ∠ AFE$。
又$\because ∠ BAC$是$△ EAF$的外角，
$\therefore ∠ BAC = ∠ E + ∠ AFE = 2∠ E$，
即$∠ E = \frac{1}{2}∠ BAC$。
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，
$\therefore EF// AD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$EF// AD$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形外角的性质推导角的等量关系，再结合平行线的判定定理得出结论，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

1. 填空题：
（1）如图，$AB=AC$，$BD=BC$，$∠ A=40°$，则$∠ ABD=$；

（2）已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为12和15两部分，则它的底边长是。

(1) 30°
(2) 7或11

【分析】
（1）本题可先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和算出△ABC的底角度数，再根据BD=BC得出△BDC的底角度数，进而算出∠DBC的度数，最后用∠ABC减去∠DBC即可得到∠ABD的度数。
（2）本题需要分类讨论：腰上的中线将周长分成的两部分，分别是“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”，两种情况分别列方程求解腰长和底边长，最后验证得到的三边长是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
（1）解：
∵$AB=AC$，$∠ A=40°$
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
又
∵$BD=BC$
∴$∠ BDC=∠ C=70°$
在$△ BDC$中，$∠ DBC=180°-∠ BDC-∠ C=180°-70°-70°=40°$
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ DBC=70°-40°=30°$
（2）解：设等腰三角形的腰长为$2x$，底边长为$y$，根据题意分两种情况：
① 当腰长与半腰长的和为12时：
$\begin{cases}2x+x=12 \\ x+y=15 \end{cases}$
解得$x=4$，$y=11$，此时三边长为8，8，11，满足$8+8＞11$，可构成三角形，底边长为11。
② 当腰长与半腰长的和为15时：
$\begin{cases}2x+x=15 \\ x+y=12 \end{cases}$
解得$x=5$，$y=7$，此时三边长为10，10，7，满足$10+7＞10$，可构成三角形，底边长为7。
综上，底边长为7或11。
【答案】
（1）$\boldsymbol{30°}$；（2）$\boldsymbol{7或11}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系
【点评】
这两道题是等腰三角形的基础应用题型，第一问需熟练运用等腰三角形等边对等角的性质逐步推导角度；第二问要注意分类讨论思想的应用，求解后务必要验证三边是否能构成三角形，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7