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4.「2026河南平顶山期末，★☆」我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把此图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，如图，已知$AB=2BC$，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为
13
。答案
答案 13
解析 如图,因为小正方形的面积为1,所以BC=1,因为AB=2BC,所以AB=2,所以AC=3,所以BE=AC=3,在Rt△ABE中,由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=2²+3²=13,即大正方形的面积为13.
5.「★★☆」如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$.如图2,现将与$Rt△ ABC$全等的四个直角三角形拼成一个正方形$EFMN$.
(1)根据勾股定理的知识,请直接写出$a,b,c$之间的数量关系.
(2)若正方形$EFMN$的面积为$64$,$Rt△ ABC$的周长为$18$,求$Rt△ ABC$的面积.
(1)根据勾股定理的知识,请直接写出$a,b,c$之间的数量关系.
(2)若正方形$EFMN$的面积为$64$,$Rt△ ABC$的周长为$18$,求$Rt△ ABC$的面积.
答案
5.解析 (1)由勾股定理得a²+b²=c².
(2)因为正方形EFMN的面积为64,
所以c²=64,因为8²=64,所以c=8,
因为Rt△ABC的周长为18,所以a+b+c=18,
所以a+b=10,所以Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=9$.
(2)因为正方形EFMN的面积为64,
所以c²=64,因为8²=64,所以c=8,
因为Rt△ABC的周长为18,所以a+b+c=18,
所以a+b=10,所以Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=9$.
