1.「2025甘肃中考，★☆」勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美.下图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有个正方形.

答案 31
解析 由题图可知,第一个图形中有1个正方形,
第2个图形中有1+2¹=3个正方形,
第3个图形中有1+2¹+2²=7个正方形,
……
所以第5个图形中有1+2¹+2²+2³+2⁴=31个正方形.

2.「2026 四川宜宾期末，★☆」如图所示的是一株美丽的“勾股树”，其中正方形A,B,C,D的面积分别为6,2,8,9，则最大正方形G的边长为。

答案 5
解析
∵ 正方形A,B,C,D的面积分别为6,2,8,9,
∴ 正方形F的面积为6+2=8,正方形E的面积为8+9=17,
∴ 正方形G的面积为8+17=25,
∵ 5²=25,
∴ 正方形G的边长为5.

3.「2026湖南常德期末，★★☆」“勾股树”因形状好似一棵树而得名.根据勾股树的形成过程假设如图所示的分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树、……,依次类推,如果原始正方形的面积为1,则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为.

第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树 …

答案 2 027
解析 如图,设第一代勾股树中间三角形的两条直角边长为a和b,斜边长为c,由勾股定理得a²+b²=c²=1,所以第一代勾股树中所有正方形的面积和=a²+b²+c²=2c²=2=1+1,
同理可得第二代勾股树中所有正方形的面积和=2a²+2b²+c²=3c²=3=2+1,第三代勾股树中所有正方形的面积和=4c²=4=3+1,……,
依次类推,第n代勾股树中所有正方形的面积和=(n+1)c²=n+1,所以第2 026代勾股树中所有正方形的面积和为2 026+1=2 027.