登录
22.「2026山东潍坊月考，★★」（12分）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会标
，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.
【知识探索】
(1)请用验证勾股定理：$c^2=a^2+b^2$.
【知识迁移】
(2)①如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数，我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$.请证明$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$是勾股数.
②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数：
【知识应用】
(3)鹿鸣社团计划在学校菜园里种青菜，使之构成所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）
，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.【知识探索】
(1)请用验证勾股定理：$c^2=a^2+b^2$.
【知识迁移】
(2)①如果满足等式$a^2+b^2=c^2$的$a,b,c$是三个正整数，我们称$a,b,c$为勾股数.已知$m,n$是正整数且$m＞n$.请证明$2mn,m^2+n^2,m^2-n^2$是勾股数.
②根据①中的结论，写出一组符合条件的勾股数：
20,48,52
.【知识应用】
(3)鹿鸣社团计划在学校菜园里种青菜，使之构成所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）
答案
22.解析 (1)大正方形的面积可以表示为c²,还可以表示为4×1/2 ab+(b-a)²=2ab+b²-2ab+a²=a²+b²,所以a²+b²=c².
(2)①证明:因为m,n是正整数,且m＞n,所以2mn,m²+n²,m²-n²也是正整数.因为(2mn)²=4m²n²,(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴,(m²-n²)²=m⁴-2m²n²+n⁴,
所以(2mn)²+(m²-n²)²=(m²+n²)²,
所以2mn,m²+n²,m²-n²是勾股数.
②答案不唯一,如:20,48,52.
(3)这块菜园最少需要种植140棵青菜.
(2)①证明:因为m,n是正整数,且m＞n,所以2mn,m²+n²,m²-n²也是正整数.因为(2mn)²=4m²n²,(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴,(m²-n²)²=m⁴-2m²n²+n⁴,
所以(2mn)²+(m²-n²)²=(m²+n²)²,
所以2mn,m²+n²,m²-n²是勾股数.
②答案不唯一,如:20,48,52.
(3)这块菜园最少需要种植140棵青菜.
