20. 情境 数学文化 发展史「2026山西运城期末，★★☆」（10分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：在直立于地面的一根木杆AC的顶端A处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）.在距木杆底端8尺处的地面上的点B处拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2），问绳索AB有多长？
（1）请通过已学知识解决这个实际问题.
（2）将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾（较短的直角边）长为a，弦（斜边）长与股（较长的直角边）长的差为d，弦长为c，请用a，d表示c，其结果为.

20.解析 (1)设绳索长为x尺,则AB=x尺,AC=(x-3)尺,
根据题意可知AC²+BC²=AB²,
∴(x-3)²+8²=x²,
解得x=73/6,
∴绳索长为73/6尺.
(2)由题意可得a²+(c-d)²=c²,整理可得a²+c²-2cd+d²=c²,
∴c=(a²+d²)/(2d).

21.「★☆」(10分)若直角三角形存在一边上的中线恰好等于这边的长,则我们称这个直角三角形为“等边中三角形”.如图,Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若AC²=3,BC=2,试说明Rt△ABC是“等边中三角形”.
(2)若BC=2且Rt△ABC是“等边中三角形”,求AC²的值.

21.解析 (1)如图,取BC的中点D,连接AD,则CD=BD=1/2 BC=1,由勾股定理得AD²=AC²+CD²=3+1=4,
∴AD=2,
∴AD=BC,
∴Rt△ABC是“等边中三角形”.

(2)如图1,取BC的中点D,连接AD,则CD=BD=1/2 BC=1,当AD=BC=2时,AC²=AD²-CD²=3.

如图2,取AC的中点E,连接BE,则CE=1/2 AC,当BE=AC时,由勾股定理得CE²+BC²=BE²,
∴(1/2 AC)²+2²=AC²,
∴AC²=16/3.

综上所述,AC²=3或AC²=16/3.