6.「★★☆」如图,在直角三角形纸片$ABC$中,$∠ A=90°$,折叠纸片使得点$A$落在$BC$边上的点$D$处,折痕是$BE$(),将纸片复原,再次折叠纸片,使得点$B$落在边$AC$上的点$E$处,折痕是$MN$().若$AB=6$,$AC=8$,则$CN$的长为.

答案 $\frac{25}{4}$
解析
∵ AB=6,AC=8,∠A=90°,
∴ BC²=AB²+AC²=6²+8²=100=10²,
∴ BC=10.由折叠的性质可知AB=BD=6,AE=DE,∠BDE=∠A=90°,∠ABE=∠CBE,
∴ ∠CDE=90°,CD=BC-BD=4,
∴ DE²+CD²=CE²,即AE²+4²=(8-AE)²,
∴ AE=3,由折叠的性质可知BM=ME,BN=EN,
∴ ∠NBE=∠NEB,
∴ ∠ABE=∠NEB,
∴ EN//AB,
∴ ∠CEN=∠A=90°,
∴ CN²=NE²+CE²,
∴ CN²=(10-CN)²+(8-3)²,
∴ CN=$\frac{25}{4}$.

7.「2026福建漳州月考，★★☆」如图,在长方形ABCD中,AB=CD=10,BC=AD=6.
(1)如图1,将长方形ABCD沿EF翻折,使点A与点C重合,点D落在点D'处,求BF的长.
(2)如图2,将△ABD沿BD翻折,使点A落在点A'处,若A'B交CD于点E,求△BDE的面积.
(3)如图3,P为AD边上的一点,将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B,A'P分别交CD边于点E,F,且DF=A'F,求CE的长.

7.解析 (1)根据折叠的性质得AF=CF.
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠B=90°.
设BF=x,则AF=CF=AB-BF=10-x,
在Rt△BFC中,BF²+BC²=FC²,
∴ x²+6²=(10-x)²,解得x=$\frac{16}{5}$,
∴ BF=$\frac{16}{5}$.
(2)
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠A=∠C=90°.
根据折叠的性质得∠A=∠A'=90°,AD=A'D,
∴ ∠A'=∠C,
∵ BC=AD,
∴ A'D=BC,
又
∵ ∠A'ED=∠CEB,
∴ △A'ED≌△CEB(AAS),
∴ ED=EB.
设CE=y,则ED=EB=DC-CE=10-y.
在Rt△BCE中,CE²+BC²=BE²,
∴ y²+6²=(10-y)²,解得y=$\frac{16}{5}$,
∴ CE=$\frac{16}{5}$,
∴ DE=10-$\frac{16}{5}$=$\frac{34}{5}$,
∴ $S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×DE×BC=\frac{1}{2}×\frac{34}{5}×6=\frac{102}{5}$.
(3)
∵ 四边形ABCD是长方形,
∴ ∠A=∠D=90°.
由折叠的性质得∠A'=∠A=90°,AP=A'P,AB=A'B=10,
∴ ∠D=∠A'=90°.又
∵ DF=A'F,∠DFP=∠A'FE,
∴ △DFP≌△A'FE(ASA),
∴ DP=A'E,PF=EF,
∴ DE=DF+FE=A'F+FP=PA'.设PA=m,
则DP=A'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m,
∴ EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m.
在Rt△ECB中,(4+m)²=6²+(10-m)²,
解得m=$\frac{30}{7}$,
∴ CE=10-$\frac{30}{7}$=$\frac{40}{7}$.
技巧归纳 利用勾股定理求折叠问题中线段长的思路
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x);
(2)用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长;(3)在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程;(4)解这个方程,从而求出线段的长.