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1. 在$△ ABC$中，$∠ A$、$∠ B$是锐角，已知$\sin A=\dfrac{2}{3}$，$\sin B=\dfrac{1}{3}$，且$BC=4$，那么$AC=$（
A.$8$；
B.$\dfrac{1}{2}$；
C.$2$；
D.$\dfrac{1}{8}$。
C
）A.$8$；
B.$\dfrac{1}{2}$；
C.$2$；
D.$\dfrac{1}{8}$。
答案
1. C.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形，利用锐角正弦的定义找到公共高CD与两条边AC、BC的关系，进而建立等式求解AC的长度。首先明确正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，我们过C作AB的垂线，就能分别在两个直角三角形中用AC、BC和对应角的正弦表示出公共高CD，联立等式即可求出未知边。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在$Rt△ ACD$中，$\sin A = \frac{CD}{AC}$，因此$CD = AC · \sin A$；
在$Rt△ BCD$中，$\sin B = \frac{CD}{BC}$，因此$CD = BC · \sin B$。
联立两个式子可得：$AC · \sin A = BC · \sin B$。
将$\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{1}{3}$，$BC=4$代入上式：
$AC × \frac{2}{3} = 4 × \frac{1}{3}$
两边同时乘以3得：$2AC = 4$，解得$AC=2$。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过作辅助线（高）将斜三角形转化为直角三角形，利用锐角三角函数的定义建立边的关系求解，掌握直角三角形中锐角三角函数的定义是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形，利用锐角正弦的定义找到公共高CD与两条边AC、BC的关系，进而建立等式求解AC的长度。首先明确正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，我们过C作AB的垂线，就能分别在两个直角三角形中用AC、BC和对应角的正弦表示出公共高CD，联立等式即可求出未知边。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在$Rt△ ACD$中，$\sin A = \frac{CD}{AC}$，因此$CD = AC · \sin A$；
在$Rt△ BCD$中，$\sin B = \frac{CD}{BC}$，因此$CD = BC · \sin B$。
联立两个式子可得：$AC · \sin A = BC · \sin B$。
将$\sin A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\frac{1}{3}$，$BC=4$代入上式：
$AC × \frac{2}{3} = 4 × \frac{1}{3}$
两边同时乘以3得：$2AC = 4$，解得$AC=2$。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是通过作辅助线（高）将斜三角形转化为直角三角形，利用锐角三角函数的定义建立边的关系求解，掌握直角三角形中锐角三角函数的定义是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.7
2. 在$△ ABC$中，$AB=30$，$∠ A=37°$，$∠ C=33°$，那么点A到直线BC的距离为（
A.$30\sin70°$；
B.$30\cos70°$；
C.$30\tan70°$；
D.$\dfrac{30}{\sin70°}$。
A
）A.$30\sin70°$；
B.$30\cos70°$；
C.$30\tan70°$；
D.$\dfrac{30}{\sin70°}$。
答案
2. A.
解析
【分析】
要计算点A到直线BC的距离，本质是求点A到BC的垂线段长度，解题思路如下：1. 过点A作BC的垂线，构造含已知边AB的直角三角形；2. 利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B的度数，进而得到直角三角形中的锐角大小；3. 根据锐角三角函数中正弦的定义，列式求出垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，线段AD的长就是点A到直线BC的距离。
① 先求∠ABC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 37° - 33° = 110°$
∴ 直角△ABD中的锐角$∠ ABD = 180° - ∠ ABC = 70°$
② 再根据三角函数定义求AD：
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$AB=30$，
由正弦函数定义：$\sin∠ ABD = \frac{对边}{斜边} = \frac{AD}{AB}$
∴ $AD = AB · \sin∠ ABD = 30\sin70°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，锐角三角函数的定义，点到直线的距离
【点评】
本题是三角函数在三角形中的基础应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，避免直接在原三角形内构造直角导致角度计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算点A到直线BC的距离，本质是求点A到BC的垂线段长度，解题思路如下：1. 过点A作BC的垂线，构造含已知边AB的直角三角形；2. 利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B的度数，进而得到直角三角形中的锐角大小；3. 根据锐角三角函数中正弦的定义，列式求出垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，线段AD的长就是点A到直线BC的距离。
① 先求∠ABC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 37° - 33° = 110°$
∴ 直角△ABD中的锐角$∠ ABD = 180° - ∠ ABC = 70°$
② 再根据三角函数定义求AD：
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$AB=30$，
由正弦函数定义：$\sin∠ ABD = \frac{对边}{斜边} = \frac{AD}{AB}$
∴ $AD = AB · \sin∠ ABD = 30\sin70°$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理，锐角三角函数的定义，点到直线的距离
【点评】
本题是三角函数在三角形中的基础应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，注意钝角三角形的高可能落在三角形外部，避免直接在原三角形内构造直角导致角度计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 图(1)是从正面看到的一个“汤碗”的形状示意图，碗体部分由半圆和直径AB围成，$AB=10\ \mathrm{cm}$，碗底CD与AB平行. 如图(2)，倒汤时，汤面表示为BE，碗底CD与桌面MN的夹角为$30°$，则BE的长为 （
A.$5\ \mathrm{cm}$；
B.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
D.$\frac{25\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}$.
B
）A.$5\ \mathrm{cm}$；
B.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
D.$\frac{25\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}$.
答案
3. B.
解析
【分析】
解题首先明确碗体是直径为AB的半圆，AB中点为半圆的圆心，半径为5cm。第一步结合已知条件：CD与桌面MN夹角30°、CD平行AB、汤面BE为水平面（平行于MN），可推导得到AB与BE的夹角为30°；第二步过圆心作BE的垂线，利用垂径定理可知BE长度为半弦长的2倍；第三步在直角三角形中用三角函数求出半弦长，即可得到BE的总长度。
【解析】
设AB的中点为O（即半圆的圆心），连接OB，过O作OF⊥BE于点F。
已知AB=10cm，因此半圆半径OB=5cm。
由题意得：CD//AB，CD与水平桌面MN的夹角为30°，汤面BE为水平面，故BE//MN，因此∠OBF=30°。
在Rt△OBF中，∠OFB=90°，∠OBF=30°，OB=5cm，
$\therefore BF=OB· \cos30°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，OF垂直平分BE，即$BE=2BF$，
$\therefore BE=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，平行线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是结合生活常识判断汤面为水平面，进而推导角度关系，再结合垂径定理求解弦长，能锻炼学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.6
解题首先明确碗体是直径为AB的半圆，AB中点为半圆的圆心，半径为5cm。第一步结合已知条件：CD与桌面MN夹角30°、CD平行AB、汤面BE为水平面（平行于MN），可推导得到AB与BE的夹角为30°；第二步过圆心作BE的垂线，利用垂径定理可知BE长度为半弦长的2倍；第三步在直角三角形中用三角函数求出半弦长，即可得到BE的总长度。
【解析】
设AB的中点为O（即半圆的圆心），连接OB，过O作OF⊥BE于点F。
已知AB=10cm，因此半圆半径OB=5cm。
由题意得：CD//AB，CD与水平桌面MN的夹角为30°，汤面BE为水平面，故BE//MN，因此∠OBF=30°。
在Rt△OBF中，∠OFB=90°，∠OBF=30°，OB=5cm，
$\therefore BF=OB· \cos30°=5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，OF垂直平分BE，即$BE=2BF$，
$\therefore BE=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，平行线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的性质与解直角三角形的综合应用，解题的关键是结合生活常识判断汤面为水平面，进而推导角度关系，再结合垂径定理求解弦长，能锻炼学生的几何建模能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=a$，$∠ B=α$，那么$S_{△ ABC}=$
（用含字母$a$、$α$的式子表示）
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，已知$BC=a$，$∠ B=α$，那么$S_{△ ABC}=$
$\frac{1}{2}a^2\tan α$
.（用含字母$a$、$α$的式子表示）
答案
4. $\frac{1}{2}a^2\tan α$.
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，已知一条直角边$BC=a$，需先求出另一条直角边$AC$的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。已知$∠ B=α$、$∠ C=90°$，根据锐角三角函数中正切的定义，$∠ B$的正切值等于对边$AC$与邻边$BC$的比值，可通过该关系求出$AC$的长度，进而求出三角形面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan B = \frac{AC}{BC}$，
将$BC=a$、$∠ B=α$代入上式，得：$AC = BC · \tanα = a\tanα$，
根据直角三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高$，代入两条直角边的长度：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × BC × AC = \frac{1}{2} × a × a\tanα = \frac{1}{2}a^2\tanα$。
【答案】
$\frac{1}{2}a^2\tan α$
【知识点】
正切的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟记正切的定义和直角三角形面积公式，结合已知条件求出未知直角边的长度后代入公式即可求解。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的面积，已知一条直角边$BC=a$，需先求出另一条直角边$AC$的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。已知$∠ B=α$、$∠ C=90°$，根据锐角三角函数中正切的定义，$∠ B$的正切值等于对边$AC$与邻边$BC$的比值，可通过该关系求出$AC$的长度，进而求出三角形面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan B = \frac{AC}{BC}$，
将$BC=a$、$∠ B=α$代入上式，得：$AC = BC · \tanα = a\tanα$，
根据直角三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高$，代入两条直角边的长度：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2} × BC × AC = \frac{1}{2} × a × a\tanα = \frac{1}{2}a^2\tanα$。
【答案】
$\frac{1}{2}a^2\tan α$
【知识点】
正切的定义；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟记正切的定义和直角三角形面积公式，结合已知条件求出未知直角边的长度后代入公式即可求解。
【难度系数】
0.8
5. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，如果 $AC - BC = 1$，那么 $BC=\_\_\_\_\_\_$.
答案
5. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是含30°角的直角三角形求边长的问题，解题思路如下：首先需要找到AC与BC的数量关系，可利用特殊角的三角函数值，结合直角三角形的边角关系推导AC和BC的倍数关系；再将推导结果代入已知条件AC-BC=1，建立关于BC的方程，最后解方程并化简二次根式即可得到BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$
根据正切的定义：$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{BC}{AC}$
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$AC=\sqrt{3}BC$
已知$AC - BC = 1$，将$AC=\sqrt{3}BC$代入得：
$\sqrt{3}BC - BC = 1$
提取公因式得：$BC(\sqrt{3}-1)=1$
解得：$BC=\frac{1}{\sqrt{3}-1}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$BC=\frac{1×(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解直角三角形；二次根式化简
【点评】
本题核心是利用特殊角的三角函数值得到两条直角边的数量关系，结合方程思想求解线段长度，解题的关键是熟练掌握30°角的三角函数值，同时要注意二次根式分母有理化的规范运算。
【难度系数】
0.7
本题是含30°角的直角三角形求边长的问题，解题思路如下：首先需要找到AC与BC的数量关系，可利用特殊角的三角函数值，结合直角三角形的边角关系推导AC和BC的倍数关系；再将推导结果代入已知条件AC-BC=1，建立关于BC的方程，最后解方程并化简二次根式即可得到BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$
根据正切的定义：$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{BC}{AC}$
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$AC=\sqrt{3}BC$
已知$AC - BC = 1$，将$AC=\sqrt{3}BC$代入得：
$\sqrt{3}BC - BC = 1$
提取公因式得：$BC(\sqrt{3}-1)=1$
解得：$BC=\frac{1}{\sqrt{3}-1}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+1$：
$BC=\frac{1×(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解直角三角形；二次根式化简
【点评】
本题核心是利用特殊角的三角函数值得到两条直角边的数量关系，结合方程思想求解线段长度，解题的关键是熟练掌握30°角的三角函数值，同时要注意二次根式分母有理化的规范运算。
【难度系数】
0.7
6. 某等腰三角形其中两条边长分别为4和9，那么该三角形的底角的余弦值等于
$\frac{2}{9}$
。答案
6. $\frac{2}{9}$.
解析
【分析】
解题时首先需确定等腰三角形的三边长：先根据等腰三角形两腰相等的特点分两种情况讨论边长组合，再结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况；之后求底角的余弦值时，利用等腰三角形三线合一的性质作底边上的高，构造出包含底角的直角三角形，最后根据锐角余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值）计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为4，底边长为9，此时三边长为4、4、9
∵ 4+4=8＜9，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故舍去该情况；
② 若腰长为9，底边长为4，此时三边长为9、9、4
∵ 9+4＞9，9+9＞4，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，因此底边的一半长为：$4÷2=2$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长9，根据余弦的定义可得：
底角的余弦值 = 邻边÷斜边 = $\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，锐角三角函数的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略先验证三边关系直接计算，导致出现错解，熟练掌握等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先需确定等腰三角形的三边长：先根据等腰三角形两腰相等的特点分两种情况讨论边长组合，再结合三角形三边关系排除无法构成三角形的情况；之后求底角的余弦值时，利用等腰三角形三线合一的性质作底边上的高，构造出包含底角的直角三角形，最后根据锐角余弦的定义（锐角的邻边与斜边的比值）计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若腰长为4，底边长为9，此时三边长为4、4、9
∵ 4+4=8＜9，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故舍去该情况；
② 若腰长为9，底边长为4，此时三边长为9、9、4
∵ 9+4＞9，9+9＞4，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
过等腰三角形的顶角顶点作底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，高平分底边，因此底边的一半长为：$4÷2=2$。
在底角所在的直角三角形中，底角的邻边长为2，斜边长为腰长9，根据余弦的定义可得：
底角的余弦值 = 邻边÷斜边 = $\frac{2}{9}$。
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，锐角三角函数的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略先验证三边关系直接计算，导致出现错解，熟练掌握等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
