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7. 等腰三角形底角的正弦值为$\frac{1}{3}$，其周长为10，那么底边上的高为
$15-10\sqrt{2}$
。答案
7. $15-10\sqrt{2}$.
解析
【分析】
遇到等腰三角形相关计算问题，优先作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形求解。首先结合底角的正弦值，把腰长、底边的一半都用待求的底边上的高h表示，再根据周长为10的条件列方程，最后求解方程并对二次根式有理化即可得到结果。
【解析】
设该等腰三角形的底边上的高为$ h $，底角为$ α $，已知$ \sinα=\frac{1}{3} $。
1. 表示腰长：在底边上的高分割出的直角三角形中，腰是直角三角形的斜边，由锐角正弦的定义$ \sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{h}{\mathrm{腰长}} $，可得腰长$ l=\frac{h}{\sinα}=3h $。
2. 表示底边长：由勾股定理，底边的一半长度为$ \sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{(3h)^2 - h^2}=\sqrt{8h^2}=2\sqrt{2}h $，因此底边长为$ 2×2\sqrt{2}h=4\sqrt{2}h $。
3. 列方程求解：已知三角形周长为10，即2倍腰长+底边长=10，代入得：
$ 2×3h + 4\sqrt{2}h =10 $
整理得$ h(6+4\sqrt{2})=10 $
解得$ h=\frac{10}{6+4\sqrt{2}} $
对分母有理化，分子分母同乘$ 6-4\sqrt{2} $：
$ h=\frac{10×(6-4\sqrt{2})}{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})}=\frac{60-40\sqrt{2}}{36-32}=\frac{60-40\sqrt{2}}{4}=15-10\sqrt{2} $
【答案】
$ 15-10\sqrt{2} $
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次根式的运算
【点评】
本题是三角形与三角函数结合的基础计算题，解题关键是通过作高将等腰三角形转化为直角三角形，用待求量表示各边长后结合周长列方程求解，计算时需注意二次根式分母有理化的正确运算。
【难度系数】
0.6
遇到等腰三角形相关计算问题，优先作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形求解。首先结合底角的正弦值，把腰长、底边的一半都用待求的底边上的高h表示，再根据周长为10的条件列方程，最后求解方程并对二次根式有理化即可得到结果。
【解析】
设该等腰三角形的底边上的高为$ h $，底角为$ α $，已知$ \sinα=\frac{1}{3} $。
1. 表示腰长：在底边上的高分割出的直角三角形中，腰是直角三角形的斜边，由锐角正弦的定义$ \sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{h}{\mathrm{腰长}} $，可得腰长$ l=\frac{h}{\sinα}=3h $。
2. 表示底边长：由勾股定理，底边的一半长度为$ \sqrt{l^2 - h^2}=\sqrt{(3h)^2 - h^2}=\sqrt{8h^2}=2\sqrt{2}h $，因此底边长为$ 2×2\sqrt{2}h=4\sqrt{2}h $。
3. 列方程求解：已知三角形周长为10，即2倍腰长+底边长=10，代入得：
$ 2×3h + 4\sqrt{2}h =10 $
整理得$ h(6+4\sqrt{2})=10 $
解得$ h=\frac{10}{6+4\sqrt{2}} $
对分母有理化，分子分母同乘$ 6-4\sqrt{2} $：
$ h=\frac{10×(6-4\sqrt{2})}{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})}=\frac{60-40\sqrt{2}}{36-32}=\frac{60-40\sqrt{2}}{4}=15-10\sqrt{2} $
【答案】
$ 15-10\sqrt{2} $
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；二次根式的运算
【点评】
本题是三角形与三角函数结合的基础计算题，解题关键是通过作高将等腰三角形转化为直角三角形，用待求量表示各边长后结合周长列方程求解，计算时需注意二次根式分母有理化的正确运算。
【难度系数】
0.6
8. 某小组学生为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图(1)所示，此时观测视线与水平线的夹角为
60
°. 若观测者与楼的距离BN为10 m，如图(2)所示，则MC的长为17.3 m
.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$）答案
8. 60；17.3 m.
解析
【分析】
首先解决第一问：观察自制仰角测量仪的量角器刻度，水平线与观测视线分别对应两个刻度，二者的差值就是观测视线与水平线的夹角，可直接读出夹角为60°。其次解决第二问：先判断四边形ABNC为矩形，得到AC的长度等于BN的长度，再将求MC的问题转化为解直角三角形的问题，在Rt△ACM中，已知锐角∠MAC的度数和邻边AC的长，利用正切函数即可求出对边MC的长度。
【解析】
1. 求观测视线与水平线的夹角：
观察图(1)的量角器，水平线对准120°刻度线，观测视线对准180°刻度线，二者的差值为$180°-120°=60°$，即观测视线与水平线的夹角为$60°$。
2. 求MC的长度：
由图(2)可知，$AB⊥ BN$，$CN⊥ BN$，$AC⊥ CN$，因此四边形$ABNC$是矩形，可得$AC=BN=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ ACM=90°$，$∠ MAC=60°$，根据正切的定义：
$\tan∠ MAC=\frac{MC}{AC}$
代入数据得：
$MC=AC·\tan60°=10×\sqrt{3}\approx10×1.732\approx17.3\ \mathrm{m}$
【答案】
$60$；$17.3\ \mathrm{m}$
【知识点】
仰角的识别；解直角三角形的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量的场景，考查了锐角三角函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确读取仰角的度数，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题。
【难度系数】
0.7
首先解决第一问：观察自制仰角测量仪的量角器刻度，水平线与观测视线分别对应两个刻度，二者的差值就是观测视线与水平线的夹角，可直接读出夹角为60°。其次解决第二问：先判断四边形ABNC为矩形，得到AC的长度等于BN的长度，再将求MC的问题转化为解直角三角形的问题，在Rt△ACM中，已知锐角∠MAC的度数和邻边AC的长，利用正切函数即可求出对边MC的长度。
【解析】
1. 求观测视线与水平线的夹角：
观察图(1)的量角器，水平线对准120°刻度线，观测视线对准180°刻度线，二者的差值为$180°-120°=60°$，即观测视线与水平线的夹角为$60°$。
2. 求MC的长度：
由图(2)可知，$AB⊥ BN$，$CN⊥ BN$，$AC⊥ CN$，因此四边形$ABNC$是矩形，可得$AC=BN=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ ACM=90°$，$∠ MAC=60°$，根据正切的定义：
$\tan∠ MAC=\frac{MC}{AC}$
代入数据得：
$MC=AC·\tan60°=10×\sqrt{3}\approx10×1.732\approx17.3\ \mathrm{m}$
【答案】
$60$；$17.3\ \mathrm{m}$
【知识点】
仰角的识别；解直角三角形的应用；矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量的场景，考查了锐角三角函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确读取仰角的度数，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图，某天然气公司的主输气管道从A处的北偏东$60°$方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的小区M在A处北偏东$30°$方向，测绘员沿主输气管道步行2 000 m到达C处，测得小区M位于C处的北偏西$60°$方向. 现要在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道MN最短，则AN的长为
1 500
m.答案
9. 1 500.
解析
【分析】
要使铺设的管道MN最短，根据垂线段最短可知，需过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短，对应AN即为所求。解题时先根据方向角的定义计算△AMC的各内角度数，判定△AMC为直角三角形，求出AM的长度，再在Rt△AMN中利用三角函数计算AN的长度即可。
【解析】
解：过点M作MN⊥AC于点N，根据垂线段最短，此时MN最短，AN即为所求。
由方向角的定义可知：
$∠ MAC = 60° - 30° = 30°$，
∵A处正北方向与C处正北方向平行，
∴$∠ ACM = 180° - 60° - 60° = 60°$，
在$△ AMC$中，$∠ AMC = 180° - 30° - 60° = 90°$，即$△ AMC$是直角三角形，
已知$AC=2000\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AMC$中：
$AM = AC·\cos∠ MAC = 2000×\cos30° = 2000×\frac{\sqrt{3}}{2} = 1000\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$∠ MAN=30°$，$∠ ANM=90°$：
$AN = AM·\cos∠ MAN = 1000\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1000×3}{2} = 1500\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1500
【知识点】
垂线段最短；方向角的应用；解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查几何应用，解题关键是先利用垂线段最短确定点N的位置，再结合方向角得到三角形内角的度数，最后通过解直角三角形求出线段长度，锻炼了学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
要使铺设的管道MN最短，根据垂线段最短可知，需过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短，对应AN即为所求。解题时先根据方向角的定义计算△AMC的各内角度数，判定△AMC为直角三角形，求出AM的长度，再在Rt△AMN中利用三角函数计算AN的长度即可。
【解析】
解：过点M作MN⊥AC于点N，根据垂线段最短，此时MN最短，AN即为所求。
由方向角的定义可知：
$∠ MAC = 60° - 30° = 30°$，
∵A处正北方向与C处正北方向平行，
∴$∠ ACM = 180° - 60° - 60° = 60°$，
在$△ AMC$中，$∠ AMC = 180° - 30° - 60° = 90°$，即$△ AMC$是直角三角形，
已知$AC=2000\mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AMC$中：
$AM = AC·\cos∠ MAC = 2000×\cos30° = 2000×\frac{\sqrt{3}}{2} = 1000\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$∠ MAN=30°$，$∠ ANM=90°$：
$AN = AM·\cos∠ MAN = 1000\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1000×3}{2} = 1500\ (\mathrm{m})$。
【答案】
1500
【知识点】
垂线段最短；方向角的应用；解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查几何应用，解题关键是先利用垂线段最短确定点N的位置，再结合方向角得到三角形内角的度数，最后通过解直角三角形求出线段长度，锻炼了学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
10 如图，菱形ABCD的边长为5，$\cos B=\frac{4}{5}$，E是边CD上一点(不与点C、D重合)，把$△ ADE$沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形其中一条边的延长线上，那么CE的长为
1或$\frac{40}{13}$
。答案
10. 1或$\frac{40}{13}$. 提示：当点D落在DC的延长线上时(落到点$D'$处)，点E的位置如图(1)所示，则$DE=5\cos B=4$，则$CE=5-4=1$. 当点D落在BC的延长线上时(落到点$D'$处)，点E的位置如图(2)所示，过点A作$AF⊥BD'$，过点D作$DG⊥BC$，垂足分别为F、G，则$FC=1$，$CD'=3$，$D'G=1$. 连接$DD'$，延长AE交BG的延长线于点H，交$DD'$于点O. 易知$AO⊥DD'$，$D'H=AD=5$. 又由$△AED∽△HEC$，得$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{HC}=\frac{5}{8}$，故$CE=5×\frac{8}{8+5}=\frac{40}{13}$.
(第10题)
解析
【分析】
本题需结合菱形的性质与翻折的轴对称性，分类讨论点D翻折后的落点：①落在DC边的延长线上；②落在BC边的延长线上。利用翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，结合三角函数、相似三角形的性质分别计算DE的长度，再通过CE=CD-DE求出结果。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当点D落在DC的延长线上（对应图(1)）：
由翻折的性质可知AE垂直平分DD'，AD=AD'=5，△ADD'为等腰三角形。
∵菱形ABCD中AB//CD，
∴∠ADE=∠B，即$\cos∠ADE=\cos B=\frac{4}{5}$。
在$Rt△ADE$中，$DE=AD·\cos∠ADE=5×\frac{4}{5}=4$，
∵菱形边长CD=5，
∴$CE=CD-DE=5-4=1$。
2. 当点D落在BC的延长线上（对应图(2)）：
过点A作$AF⊥BC$于点F，在$Rt△ABF$中，AB=5，$\cos B=\frac{4}{5}$，
∴$BF=AB·\cos B=4$，$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=3$，$FC=BC-BF=5-4=1$。
由翻折性质得$AD'=AD=5$，在$Rt△AFD'$中，$FD'=\sqrt{AD'^2-AF^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴$CD'=FD'-FC=4-1=3$。
由翻折可知AE垂直平分$DD'$，又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠H，
∵∠DAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠H，即$AD'=D'H=5$，
∴$HC=HD'+CD'=5+3=8$。
∵AD//CH，
∴$△AED∽△HEC$，相似比为$\frac{AD}{HC}=\frac{5}{8}$，即$\frac{DE}{CE}=\frac{5}{8}$。
又
∵$DE+CE=CD=5$，
∴$CE=5×\frac{8}{5+8}=\frac{40}{13}$。
【答案】
1或$\frac{40}{13}$
(第10题)
【知识点】
菱形的性质；翻折的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何折叠综合题，核心考查分类讨论思想，需注意折叠后落点存在两种可能，结合图形性质、三角函数、相似三角形即可求解，对学生的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
本题需结合菱形的性质与翻折的轴对称性，分类讨论点D翻折后的落点：①落在DC边的延长线上；②落在BC边的延长线上。利用翻折前后对应边相等、对应角相等的性质，结合三角函数、相似三角形的性质分别计算DE的长度，再通过CE=CD-DE求出结果。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当点D落在DC的延长线上（对应图(1)）：
由翻折的性质可知AE垂直平分DD'，AD=AD'=5，△ADD'为等腰三角形。
∵菱形ABCD中AB//CD，
∴∠ADE=∠B，即$\cos∠ADE=\cos B=\frac{4}{5}$。
在$Rt△ADE$中，$DE=AD·\cos∠ADE=5×\frac{4}{5}=4$，
∵菱形边长CD=5，
∴$CE=CD-DE=5-4=1$。
2. 当点D落在BC的延长线上（对应图(2)）：
过点A作$AF⊥BC$于点F，在$Rt△ABF$中，AB=5，$\cos B=\frac{4}{5}$，
∴$BF=AB·\cos B=4$，$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=3$，$FC=BC-BF=5-4=1$。
由翻折性质得$AD'=AD=5$，在$Rt△AFD'$中，$FD'=\sqrt{AD'^2-AF^2}=\sqrt{25-9}=4$，
∴$CD'=FD'-FC=4-1=3$。
由翻折可知AE垂直平分$DD'$，又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠H，
∵∠DAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠H，即$AD'=D'H=5$，
∴$HC=HD'+CD'=5+3=8$。
∵AD//CH，
∴$△AED∽△HEC$，相似比为$\frac{AD}{HC}=\frac{5}{8}$，即$\frac{DE}{CE}=\frac{5}{8}$。
又
∵$DE+CE=CD=5$，
∴$CE=5×\frac{8}{5+8}=\frac{40}{13}$。
【答案】
1或$\frac{40}{13}$
(第10题)
【知识点】
菱形的性质；翻折的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何折叠综合题，核心考查分类讨论思想，需注意折叠后落点存在两种可能，结合图形性质、三角函数、相似三角形即可求解，对学生的图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.35
