登录
三、解答题
11. 数学小组的学生要测量某灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处，测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3 m. 求灯塔的高度AD.（结果精确到1 m，参考数据：$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{3}≈1.73$）
11. 数学小组的学生要测量某灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处，测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3 m. 求灯塔的高度AD.（结果精确到1 m，参考数据：$\sqrt{2}≈1.41$，$\sqrt{3}≈1.73$）
答案
11. 灯塔的高度AD约为36 m.
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际测量问题，解题思路如下：首先由AD⊥BD可知△ABD、△ACD均为直角三角形；我们可以设灯塔高度AD为x m，利用特殊角的三角函数值分别用x表示出BD、CD的长度；再根据BC=BD-CD=15.3m建立方程，求解方程并取近似值即可得到AD的高度。
【解析】
解：设灯塔的高度AD为x m，由题意得AD⊥BD，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴BD=AD=x m。
在Rt△ACD中，∠ACD=60°，
∵tan∠ACD = $\frac{AD}{CD}$，
∴CD = $\frac{AD}{\tan60°}$ = $\frac{x}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}x}{3}$ m。
∵BC = BD - CD = 15.3 m，
∴$x - \frac{\sqrt{3}x}{3} = 15.3$，
整理得$x = \frac{15.3 × 3}{3 - \sqrt{3}}$，
分母有理化后得$x = \frac{15.3(3+\sqrt{3})}{2}$，
代入$\sqrt{3}≈1.73$计算：
$x≈\frac{15.3×(3+1.73)}{2} = \frac{15.3×4.73}{2}≈36$（m）。
【答案】
灯塔的高度AD约为36 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，方程思想
【点评】
本题属于仰角测量的典型题型，将实际问题转化为直角三角形问题求解，核心是利用两个直角三角形的公共边和边的差建立等量关系，既考查了特殊角三角函数的运用，也考查了方程思想在几何计算中的应用，计算时注意近似值的取舍规则。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形的实际测量问题，解题思路如下：首先由AD⊥BD可知△ABD、△ACD均为直角三角形；我们可以设灯塔高度AD为x m，利用特殊角的三角函数值分别用x表示出BD、CD的长度；再根据BC=BD-CD=15.3m建立方程，求解方程并取近似值即可得到AD的高度。
【解析】
解：设灯塔的高度AD为x m，由题意得AD⊥BD，即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴BD=AD=x m。
在Rt△ACD中，∠ACD=60°，
∵tan∠ACD = $\frac{AD}{CD}$，
∴CD = $\frac{AD}{\tan60°}$ = $\frac{x}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}x}{3}$ m。
∵BC = BD - CD = 15.3 m，
∴$x - \frac{\sqrt{3}x}{3} = 15.3$，
整理得$x = \frac{15.3 × 3}{3 - \sqrt{3}}$，
分母有理化后得$x = \frac{15.3(3+\sqrt{3})}{2}$，
代入$\sqrt{3}≈1.73$计算：
$x≈\frac{15.3×(3+1.73)}{2} = \frac{15.3×4.73}{2}≈36$（m）。
【答案】
灯塔的高度AD约为36 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，方程思想
【点评】
本题属于仰角测量的典型题型，将实际问题转化为直角三角形问题求解，核心是利用两个直角三角形的公共边和边的差建立等量关系，既考查了特殊角三角函数的运用，也考查了方程思想在几何计算中的应用，计算时注意近似值的取舍规则。
【难度系数】
0.7
12. 近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经被广泛应用于社会生活的各个方面. 一款智能送货机器人的侧面示意图如图所示，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20 cm，上部显示屏EF的长度为45 cm，侧面支架EC的长度为100 cm，$∠ ECD=80°$，$∠ FEC=130°$. 求该机器人的最高点F距地面AB的高度.（参考数据：$\sin 80° \approx 0.98$，$\cos 80° \approx 0.17$，$\tan 80° \approx 5.67$）
答案
12. 该机器人的最高点F距地面AB的高度约为140.5 cm. 提示：$45 · \sin 30°+100 · \sin 80°+20≈140.5(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】要计算最高点F到地面AB的高度，可将高度拆分为三部分：①矩形底座BC的高度；②点E到DC所在水平面的竖直高度；③点F相对于点E的竖直上升高度。首先利用矩形性质得到底座高度，再通过作辅助线构造直角三角形，结合已知角度和边长，用锐角三角函数求出后两部分的高度，最后将三部分相加即可得到结果。
【解析】解：
1. 已知ABCD是矩形，BC为底座的高，故BC=20cm，即DC所在水平面距离地面AB的高度为20cm。
2. 过点E作EG⊥DC于G，在Rt△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=80°，EC=100cm，
由正弦的定义可得：$EG = EC·\sin∠ECG = 100×\sin80° \approx 100×0.98 = 98\ \mathrm{cm}$，即点E比DC所在水平面高98cm。
3. 经角度推导可得，EF在竖直方向的投影长度为$45×\sin30° = 45×0.5 = 22.5\ \mathrm{cm}$，即点F比点E高22.5cm。
4. 故F到地面AB的总高度为：$20 + 98 + 22.5 = 140.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】该机器人的最高点F距地面AB的高度约为140.5 cm。
【知识点】解直角三角形的应用、锐角三角函数、矩形的性质
【点评】本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的核心是合理拆分所求高度，将实际问题转化为直角三角形中的三角函数计算问题，需要准确推导角度，正确选择三角函数进行计算。
【难度系数】0.7
【解析】解：
1. 已知ABCD是矩形，BC为底座的高，故BC=20cm，即DC所在水平面距离地面AB的高度为20cm。
2. 过点E作EG⊥DC于G，在Rt△EGC中，∠EGC=90°，∠ECG=80°，EC=100cm，
由正弦的定义可得：$EG = EC·\sin∠ECG = 100×\sin80° \approx 100×0.98 = 98\ \mathrm{cm}$，即点E比DC所在水平面高98cm。
3. 经角度推导可得，EF在竖直方向的投影长度为$45×\sin30° = 45×0.5 = 22.5\ \mathrm{cm}$，即点F比点E高22.5cm。
4. 故F到地面AB的总高度为：$20 + 98 + 22.5 = 140.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】该机器人的最高点F距地面AB的高度约为140.5 cm。
【知识点】解直角三角形的应用、锐角三角函数、矩形的性质
【点评】本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的核心是合理拆分所求高度，将实际问题转化为直角三角形中的三角函数计算问题，需要准确推导角度，正确选择三角函数进行计算。
【难度系数】0.7
13 如图(1)，在锐角三角形ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，过点A作$AD⊥BC$，垂足为D，有$\sin C=\frac{AD}{AC}$，则
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}BC· AC· \sin C=\frac{1}{2}ab\sin C$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$。
同理，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$。
通过推理，还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理——余弦定理：
在锐角三角形ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
利用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图(2)，在锐角三角形DEF中，∠F＝60°，∠D、∠E的对边分别是4和5.求$S_{△ DEF}$和DE的值.
（2）如图(3)，已知：在锐角三角形ABC中，AC＞BC，∠C＝60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为一边的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$.求证：$S_1+S_2=S_3+S_4$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}BC· AC· \sin C=\frac{1}{2}ab\sin C$，
即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$。
同理，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$。
通过推理，还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理——余弦定理：
在锐角三角形ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
利用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图(2)，在锐角三角形DEF中，∠F＝60°，∠D、∠E的对边分别是4和5.求$S_{△ DEF}$和DE的值.
（2）如图(3)，已知：在锐角三角形ABC中，AC＞BC，∠C＝60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为一边的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$.求证：$S_1+S_2=S_3+S_4$。
答案
13. (1) $S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DF·\sin F=\frac{1}{2}×4×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.
$DE=\sqrt{EF^2+DF^2-2EF·DF·\cos F}=\sqrt{4^2+5^2-2×4×5×\frac{1}{2}}=\sqrt{21}$.
(2) $\because ∠ACB=60°$,
$\therefore AB^2=AC^2+BC^2-2AC·BC·\cos 60°=AC^2+BC^2-AC·BC$.
$\therefore \frac{1}{2}AB^2\sin 60°=\frac{1}{2}AC^2\sin 60°+\frac{1}{2}BC^2\sin 60°-\frac{1}{2}AC·BC·\sin 60°$.
$\because △ABC'$、$△BCA'$、$△ACB'$是等边三角形，
$\therefore S_1=\frac{1}{2}AC·BC·\sin 60°$, $S_2=\frac{1}{2}AB^2·\sin 60°$, $S_3=\frac{1}{2}BC^2·\sin 60°$, $S_4=\frac{1}{2}AC^2·\sin 60°$.
$\therefore S_2=S_4+S_3-S_1$, 即$S_1+S_2=S_3+S_4$.
$DE=\sqrt{EF^2+DF^2-2EF·DF·\cos F}=\sqrt{4^2+5^2-2×4×5×\frac{1}{2}}=\sqrt{21}$.
(2) $\because ∠ACB=60°$,
$\therefore AB^2=AC^2+BC^2-2AC·BC·\cos 60°=AC^2+BC^2-AC·BC$.
$\therefore \frac{1}{2}AB^2\sin 60°=\frac{1}{2}AC^2\sin 60°+\frac{1}{2}BC^2\sin 60°-\frac{1}{2}AC·BC·\sin 60°$.
$\because △ABC'$、$△BCA'$、$△ACB'$是等边三角形，
$\therefore S_1=\frac{1}{2}AC·BC·\sin 60°$, $S_2=\frac{1}{2}AB^2·\sin 60°$, $S_3=\frac{1}{2}BC^2·\sin 60°$, $S_4=\frac{1}{2}AC^2·\sin 60°$.
$\therefore S_2=S_4+S_3-S_1$, 即$S_1+S_2=S_3+S_4$.
解析
【分析】
（1）第一问可直接套用题目给出的新公式求解：求△DEF的面积时，已知夹60°角的两条边长，代入两边及夹角的三角形面积公式即可；求DE的长时，DE是60°角的对边，代入余弦定理计算即可。
（2）第二问先利用余弦定理写出AB²与AC、BC的等量关系，再结合四个三角形的面积都可以用“两边夹60°”的面积公式表示，对余弦定理的等式做变形，代入各面积表达式即可推导出要证明的结论。
【解析】
(1) 在锐角△DEF中，∠F=60°，∠D的对边EF=4，∠E的对边DF=5：
① 计算面积，根据两边及夹角的三角形面积公式：
$S_{△DEF}=\frac{1}{2}·EF·DF·\sin F=\frac{1}{2}×4×5×\sin60°=\frac{1}{2}×4×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
② 计算DE的长，根据余弦定理：
$DE^2=EF^2+DF^2-2·EF·DF·\cos F$
代入数值得：$DE^2=4^2+5^2-2×4×5×\cos60°=16+25-20=21$
因为DE为三角形边长，为正数，所以$DE=\sqrt{21}$
(2) 证明：
已知锐角△ABC中∠ACB=60°，根据余弦定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2-2·AC·BC·\cos60°=AC^2+BC^2-AC·BC$
等式两边同时乘$\frac{1}{2}\sin60°$，得：
$\frac{1}{2}AB^2\sin60°=\frac{1}{2}AC^2\sin60°+\frac{1}{2}BC^2\sin60°-\frac{1}{2}AC·BC\sin60°$
因为△ABC'、△BCA'、△ACB'均为等边三角形，内角都是60°，结合面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}·AC·BC·\sin60°$，$S_2=\frac{1}{2}·AB^2·\sin60°$，$S_3=\frac{1}{2}·BC^2·\sin60°$，$S_4=\frac{1}{2}·AC^2·\sin60°$
将上述面积表达式代入变形后的等式，得$S_2=S_4+S_3-S_1$，移项后即得$S_1+S_2=S_3+S_4$，得证。
【答案】
(1) $S_{△DEF}=5\sqrt{3}$，$DE=\sqrt{21}$；
(2) $S_1+S_2=S_3+S_4$，证明成立。
【知识点】
1. 两边及夹角三角形面积公式
2. 余弦定理
3. 等边三角形性质
【点评】
本题是典型的材料探究类题型，侧重考查对新知识的理解迁移能力，第一问直接套用公式即可求解，第二问需要结合代数变形完成面积代换，能够有效考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可直接套用题目给出的新公式求解：求△DEF的面积时，已知夹60°角的两条边长，代入两边及夹角的三角形面积公式即可；求DE的长时，DE是60°角的对边，代入余弦定理计算即可。
（2）第二问先利用余弦定理写出AB²与AC、BC的等量关系，再结合四个三角形的面积都可以用“两边夹60°”的面积公式表示，对余弦定理的等式做变形，代入各面积表达式即可推导出要证明的结论。
【解析】
(1) 在锐角△DEF中，∠F=60°，∠D的对边EF=4，∠E的对边DF=5：
① 计算面积，根据两边及夹角的三角形面积公式：
$S_{△DEF}=\frac{1}{2}·EF·DF·\sin F=\frac{1}{2}×4×5×\sin60°=\frac{1}{2}×4×5×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$
② 计算DE的长，根据余弦定理：
$DE^2=EF^2+DF^2-2·EF·DF·\cos F$
代入数值得：$DE^2=4^2+5^2-2×4×5×\cos60°=16+25-20=21$
因为DE为三角形边长，为正数，所以$DE=\sqrt{21}$
(2) 证明：
已知锐角△ABC中∠ACB=60°，根据余弦定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2-2·AC·BC·\cos60°=AC^2+BC^2-AC·BC$
等式两边同时乘$\frac{1}{2}\sin60°$，得：
$\frac{1}{2}AB^2\sin60°=\frac{1}{2}AC^2\sin60°+\frac{1}{2}BC^2\sin60°-\frac{1}{2}AC·BC\sin60°$
因为△ABC'、△BCA'、△ACB'均为等边三角形，内角都是60°，结合面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}·AC·BC·\sin60°$，$S_2=\frac{1}{2}·AB^2·\sin60°$，$S_3=\frac{1}{2}·BC^2·\sin60°$，$S_4=\frac{1}{2}·AC^2·\sin60°$
将上述面积表达式代入变形后的等式，得$S_2=S_4+S_3-S_1$，移项后即得$S_1+S_2=S_3+S_4$，得证。
【答案】
(1) $S_{△DEF}=5\sqrt{3}$，$DE=\sqrt{21}$；
(2) $S_1+S_2=S_3+S_4$，证明成立。
【知识点】
1. 两边及夹角三角形面积公式
2. 余弦定理
3. 等边三角形性质
【点评】
本题是典型的材料探究类题型，侧重考查对新知识的理解迁移能力，第一问直接套用公式即可求解，第二问需要结合代数变形完成面积代换，能够有效考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
