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13 近年来，中国冰雪运动蓬勃发展，滑雪项目逐渐成为大众关注的焦点.图(1)是某滑雪赛道其中一段的侧面简化示意图，已知CD表示滑雪赛道的高度，斜坡AB是运动员滑行的一段坡道，斜坡AB的坡度为$1:\frac{4}{3}$，坡面AB长7.5 m，从A处测得C处的仰角为$22°$，从B处测得C处的仰角为$45°$，$AN⊥ DN$.
(1) 求滑雪赛道的高度 CD.（结果精确到 1 m，参考数据：$\sin22°\approx0.37$，$\cos22°\approx0.93$，$\tan22°\approx0.40$）
(2) 在设计赛道时，考虑到运动员的安全，要求在图(1)中两斜坡 CB 与 AB 之间增加平面缓冲区 BE，$1\ \mathrm{m}≤ BE≤3\ \mathrm{m}$，如图(2)所示. 求从 A 处观测 C 处的仰角$α$的范围.（结果精确到$1'$）
(第 13 题)
(1) 求滑雪赛道的高度 CD.（结果精确到 1 m，参考数据：$\sin22°\approx0.37$，$\cos22°\approx0.93$，$\tan22°\approx0.40$）
(2) 在设计赛道时，考虑到运动员的安全，要求在图(1)中两斜坡 CB 与 AB 之间增加平面缓冲区 BE，$1\ \mathrm{m}≤ BE≤3\ \mathrm{m}$，如图(2)所示. 求从 A 处观测 C 处的仰角$α$的范围.（结果精确到$1'$）
(第 13 题)
答案
13. (1) 滑雪赛道的高度 CD 约为 12 m. 提示：过点 A 作$AQ⊥DC$，垂足为 Q. 根据题意，得$AQ=DN$，$AN=DQ$，$CD⊥DN$，$AN⊥DN$. 在$\mathrm{Rt}△ ABN$中，$AB=7.5\ \mathrm{m}$，斜坡 AB 的坡度为$1:\frac{4}{3}$，可设$AN=3x\ \mathrm{m}$，$BN=4x\ \mathrm{m}$，由勾股定理，得$(3x)^2+(4x)^2=7.5^2$，解得$x=1.5$或$x=-1.5$(舍去). 所以，$AN=3x=4.5(\mathrm{m})$，$BN=4x=6(\mathrm{m})$. 设$CD=BD=y\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ACQ$中，$\frac{y-4.5}{y+6}=\tan 22°$，解得$y≈12$.
(2) 从 A 处观测 C 处的仰角$α$的范围约为$19°39'≤α≤21°32'$. 提示：仰角$α$的度数随着EB的增大而减小. 过点 A 作$AQ⊥DC$，垂足为 Q. 当$EB=1\ \mathrm{m}$时，$DN≈12+1+6=19(\mathrm{m})$，$CQ≈12-4.5=7.5(\mathrm{m})$，$\tanα≈\frac{7.5}{19}$，解得$α≈21°32'$. 同理，当$EB=3\ \mathrm{m}$时，$\tanα≈\frac{7.5}{21}$，解得$α≈19°39'$.
(2) 从 A 处观测 C 处的仰角$α$的范围约为$19°39'≤α≤21°32'$. 提示：仰角$α$的度数随着EB的增大而减小. 过点 A 作$AQ⊥DC$，垂足为 Q. 当$EB=1\ \mathrm{m}$时，$DN≈12+1+6=19(\mathrm{m})$，$CQ≈12-4.5=7.5(\mathrm{m})$，$\tanα≈\frac{7.5}{19}$，解得$α≈21°32'$. 同理，当$EB=3\ \mathrm{m}$时，$\tanα≈\frac{7.5}{21}$，解得$α≈19°39'$.
解析
【分析】
(1) 要求CD的长度，首先处理已知的斜坡AB：先根据AB的坡度和坡面长度，求出AN、BN的长度；再由B处看C的仰角为45°，可知△CDB是等腰直角三角形，即CD=BD，设CD为y，过A作AQ⊥CD构造直角△ACQ，用A处的仰角22°的正切值列方程，即可求解CD。
(2) 增加缓冲区BE后，竖直方向的CQ长度不变，水平方向的AQ长度随BE增大而增大，而$\tanα=\frac{CQ}{AQ}$，因此α随BE增大而减小，只需分别计算BE取最小值1m和最大值3m时的α值，即可得到α的取值范围。
【解析】
(1) 过点A作$AQ⊥CD$，垂足为Q，易得四边形ANDQ是矩形，因此$AQ=DN$，$DQ=AN$。
在$\mathrm{Rt}△ABN$中，斜坡AB的坡度为$1:\frac{4}{3}=3:4$，即$AN:BN=3:4$，设$AN=3x\ \mathrm{m}$，$BN=4x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$(3x)^2+(4x)^2=AB^2$，代入$AB=7.5\ \mathrm{m}$，得$25x^2=7.5^2$，解得$x=1.5$（负值舍去）。
因此$AN=3×1.5=4.5\ \mathrm{m}$，$BN=4×1.5=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠CBD=45°$，$∠D=90°$，故$CD=BD$，设$CD=BD=y\ \mathrm{m}$，则$CQ=CD-DQ=y-4.5$，$AQ=DN=BD+BN=y+6$。
在$\mathrm{Rt}△ACQ$中，$∠CAQ=22°$，$\tan22°=\frac{CQ}{AQ}$，代入得：
$\frac{y-4.5}{y+6}\approx0.40$
解得$y=11.5≈12$。
(2) 由(1)得$CQ=CD-AN=12-4.5=7.5\ \mathrm{m}$，设BE长为$t\ \mathrm{m}$（$1≤t≤3$），则$AQ=DN=BD+BE+BN=12+t+6=18+t$。
$\tanα=\frac{CQ}{AQ}=\frac{7.5}{18+t}$，可知t越大，$\tanα$越小，即α越小。
①当$t=1\ \mathrm{m}$时，$\tanα=\frac{7.5}{18+1}=\frac{7.5}{19}≈0.3947$，解得$α≈21°32'$；
②当$t=3\ \mathrm{m}$时，$\tanα=\frac{7.5}{18+3}=\frac{7.5}{21}≈0.3571$，解得$α≈19°39'$。
因此α的取值范围是$19°39'≤α≤21°32'$。
【答案】
(1) 滑雪赛道的高度CD约为12 m；
(2) 从A处观测C处的仰角α的范围约为$19°39'≤α≤21°32'$。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题结合冰雪运动的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的性质建立边长关系，第二问需注意分析自变量BE的变化对仰角α的影响，体现了函数思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求CD的长度，首先处理已知的斜坡AB：先根据AB的坡度和坡面长度，求出AN、BN的长度；再由B处看C的仰角为45°，可知△CDB是等腰直角三角形，即CD=BD，设CD为y，过A作AQ⊥CD构造直角△ACQ，用A处的仰角22°的正切值列方程，即可求解CD。
(2) 增加缓冲区BE后，竖直方向的CQ长度不变，水平方向的AQ长度随BE增大而增大，而$\tanα=\frac{CQ}{AQ}$，因此α随BE增大而减小，只需分别计算BE取最小值1m和最大值3m时的α值，即可得到α的取值范围。
【解析】
(1) 过点A作$AQ⊥CD$，垂足为Q，易得四边形ANDQ是矩形，因此$AQ=DN$，$DQ=AN$。
在$\mathrm{Rt}△ABN$中，斜坡AB的坡度为$1:\frac{4}{3}=3:4$，即$AN:BN=3:4$，设$AN=3x\ \mathrm{m}$，$BN=4x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$(3x)^2+(4x)^2=AB^2$，代入$AB=7.5\ \mathrm{m}$，得$25x^2=7.5^2$，解得$x=1.5$（负值舍去）。
因此$AN=3×1.5=4.5\ \mathrm{m}$，$BN=4×1.5=6\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠CBD=45°$，$∠D=90°$，故$CD=BD$，设$CD=BD=y\ \mathrm{m}$，则$CQ=CD-DQ=y-4.5$，$AQ=DN=BD+BN=y+6$。
在$\mathrm{Rt}△ACQ$中，$∠CAQ=22°$，$\tan22°=\frac{CQ}{AQ}$，代入得：
$\frac{y-4.5}{y+6}\approx0.40$
解得$y=11.5≈12$。
(2) 由(1)得$CQ=CD-AN=12-4.5=7.5\ \mathrm{m}$，设BE长为$t\ \mathrm{m}$（$1≤t≤3$），则$AQ=DN=BD+BE+BN=12+t+6=18+t$。
$\tanα=\frac{CQ}{AQ}=\frac{7.5}{18+t}$，可知t越大，$\tanα$越小，即α越小。
①当$t=1\ \mathrm{m}$时，$\tanα=\frac{7.5}{18+1}=\frac{7.5}{19}≈0.3947$，解得$α≈21°32'$；
②当$t=3\ \mathrm{m}$时，$\tanα=\frac{7.5}{18+3}=\frac{7.5}{21}≈0.3571$，解得$α≈19°39'$。
因此α的取值范围是$19°39'≤α≤21°32'$。
【答案】
(1) 滑雪赛道的高度CD约为12 m；
(2) 从A处观测C处的仰角α的范围约为$19°39'≤α≤21°32'$。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题结合冰雪运动的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，结合坡度、仰角的性质建立边长关系，第二问需注意分析自变量BE的变化对仰角α的影响，体现了函数思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.6
