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三、解答题
11. 如图，$AD// BC$，坡角$∠ B=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，斜坡$DC$的坡度为$1:1.4$，$AD=10\ \mathrm{m}$. 求$BC$的长.（结果精确到$0.01\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$）
11. 如图，$AD// BC$，坡角$∠ B=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，斜坡$DC$的坡度为$1:1.4$，$AD=10\ \mathrm{m}$. 求$BC$的长.（结果精确到$0.01\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$）
答案
11. 25.66 m.
解析
【分析】
这是一道结合梯形与解直角三角形的应用题，解题思路如下：①遇到含底角、坡度的梯形求底边长时，通常过梯形上底的两个端点向下底作高，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把分散的条件集中到直角三角形中；②先在含30°角的Rt△ABE中，利用锐角三角函数求出高AE和下底的一部分BE的长度；③利用矩形性质得到EF和DF的长度，再根据坡度的定义（垂直高度与水平宽度的比）求出FC的长度；④最后将BE、EF、FC三段相加得到BC的总长度。
【解析】
解：过点A作$AE⊥ BC$于点E，过点D作$DF⊥ BC$于点F。
$\because AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$四边形AEFD是矩形，
$\therefore EF=AD=10\ \mathrm{m}$，$AE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = AB·\sin30° = 10×\frac{1}{2} = 5\ \mathrm{m}$，
$BE = AB·\cos30° = 10×\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 5×1.732 = 8.66\ \mathrm{m}$。
$\therefore DF=AE=5\ \mathrm{m}$，
$\because$斜坡DC的坡度为$1:1.4$，即$\frac{DF}{FC}=\frac{1}{1.4}$，
$\therefore FC = 1.4× DF = 1.4×5 = 7\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BE + EF + FC \approx 8.66 + 10 + 7 = 25.66\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\mathrm{25.66\ m}$
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角，梯形辅助线
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，核心是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，需要熟练掌握坡角、坡度的定义以及特殊角的三角函数值，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
这是一道结合梯形与解直角三角形的应用题，解题思路如下：①遇到含底角、坡度的梯形求底边长时，通常过梯形上底的两个端点向下底作高，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，把分散的条件集中到直角三角形中；②先在含30°角的Rt△ABE中，利用锐角三角函数求出高AE和下底的一部分BE的长度；③利用矩形性质得到EF和DF的长度，再根据坡度的定义（垂直高度与水平宽度的比）求出FC的长度；④最后将BE、EF、FC三段相加得到BC的总长度。
【解析】
解：过点A作$AE⊥ BC$于点E，过点D作$DF⊥ BC$于点F。
$\because AD// BC$，$AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$四边形AEFD是矩形，
$\therefore EF=AD=10\ \mathrm{m}$，$AE=DF$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ B=30°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE = AB·\sin30° = 10×\frac{1}{2} = 5\ \mathrm{m}$，
$BE = AB·\cos30° = 10×\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 5×1.732 = 8.66\ \mathrm{m}$。
$\therefore DF=AE=5\ \mathrm{m}$，
$\because$斜坡DC的坡度为$1:1.4$，即$\frac{DF}{FC}=\frac{1}{1.4}$，
$\therefore FC = 1.4× DF = 1.4×5 = 7\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC = BE + EF + FC \approx 8.66 + 10 + 7 = 25.66\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\mathrm{25.66\ m}$
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角，梯形辅助线
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，核心是通过作高将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题，需要熟练掌握坡角、坡度的定义以及特殊角的三角函数值，解题时注意计算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
12. 如图，灯塔C在海岛A的北偏东$75°$方向. 某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午10点到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东$60°$方向.
（1）求B处到灯塔C的距离.
（2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁. 若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.
（1）求B处到灯塔C的距离.
（2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁. 若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由.
答案
12. (1) B处到灯塔C的距离为36海里.
(2) 没有触礁的危险. 提示：过点C作$CD⊥AB$，垂足为D. 根据题意，可求得$CD=18$海里，18海里$＞17$海里.
(2) 没有触礁的危险. 提示：过点C作$CD⊥AB$，垂足为D. 根据题意，可求得$CD=18$海里，18海里$＞17$海里.
解析
【分析】
（1）首先根据船的航行速度和时间计算出AB的长度，再结合给出的方向角，分别求出△ABC中∠CAB和∠ACB的度数，发现两角相等，可判定△ABC为等腰三角形，从而得到BC=AB，即可求出B处到灯塔C的距离。
（2）判断是否触礁，实质是求灯塔C到航线AE的最短距离，过点C作CD⊥AE于D，CD即为最短距离，在Rt△BCD中利用三角函数求出CD的长度，再与17海里比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）船从A到B的航行时间为：$10-8=2$（小时）
$\therefore AB = 18 × 2 = 36$（海里）
由题意得：$∠ CAB = 90° - 75° = 15°$，$∠ CBD = 90° - 60° = 30°$
$\because ∠ CBD$是$△ ABC$的外角
$\therefore ∠ CBD = ∠ CAB + ∠ ACB$
$\therefore ∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 30° - 15° = 15°$
$\therefore ∠ ACB = ∠ CAB$
$\therefore BC = AB = 36$（海里）
（2）过点C作$CD ⊥ AE$，垂足为D。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=30°$，$BC=36$海里
$\therefore CD = BC · \sin30° = 36 × \frac{1}{2} = 18$（海里）
$\because 18 ＞ 17$
$\therefore$该船继续由西向东航行，没有触礁的危险。
【答案】
（1）B处到灯塔C的距离为36海里；
（2）没有触礁的危险。
【知识点】
方向角的应用，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确理解方向角的含义，合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题解决。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据船的航行速度和时间计算出AB的长度，再结合给出的方向角，分别求出△ABC中∠CAB和∠ACB的度数，发现两角相等，可判定△ABC为等腰三角形，从而得到BC=AB，即可求出B处到灯塔C的距离。
（2）判断是否触礁，实质是求灯塔C到航线AE的最短距离，过点C作CD⊥AE于D，CD即为最短距离，在Rt△BCD中利用三角函数求出CD的长度，再与17海里比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）船从A到B的航行时间为：$10-8=2$（小时）
$\therefore AB = 18 × 2 = 36$（海里）
由题意得：$∠ CAB = 90° - 75° = 15°$，$∠ CBD = 90° - 60° = 30°$
$\because ∠ CBD$是$△ ABC$的外角
$\therefore ∠ CBD = ∠ CAB + ∠ ACB$
$\therefore ∠ ACB = ∠ CBD - ∠ CAB = 30° - 15° = 15°$
$\therefore ∠ ACB = ∠ CAB$
$\therefore BC = AB = 36$（海里）
（2）过点C作$CD ⊥ AE$，垂足为D。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=30°$，$BC=36$海里
$\therefore CD = BC · \sin30° = 36 × \frac{1}{2} = 18$（海里）
$\because 18 ＞ 17$
$\therefore$该船继续由西向东航行，没有触礁的危险。
【答案】
（1）B处到灯塔C的距离为36海里；
（2）没有触礁的危险。
【知识点】
方向角的应用，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是准确理解方向角的含义，合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题解决。
【难度系数】
0.7
