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7. 河堤的横断面如图所示，堤高BC是5 m，迎水坡AB的长是10 m，那么斜坡AB的坡角为
30
°。答案
7. 30.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，首先明确坡角是斜坡AB与水平地面AC的夹角即∠A。观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知坡高BC（∠A的对边）和斜坡AB（斜边）的长度，我们可以通过锐角三角函数中的正弦函数计算∠A的正弦值，再结合特殊角的三角函数值即可求出坡角的度数。
【解析】
解：由题意得△ABC为直角三角形，∠C=90°，斜坡AB的坡角为∠A。
已知BC=5m，AB=10m，
在Rt△ABC中，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$，
又
∵∠A为锐角，
∴∠A=30°。
【答案】
30
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用型题目，结合实际场景考察直角三角形的边角关系，只要掌握坡角的定义和特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的实际应用题，首先明确坡角是斜坡AB与水平地面AC的夹角即∠A。观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知坡高BC（∠A的对边）和斜坡AB（斜边）的长度，我们可以通过锐角三角函数中的正弦函数计算∠A的正弦值，再结合特殊角的三角函数值即可求出坡角的度数。
【解析】
解：由题意得△ABC为直角三角形，∠C=90°，斜坡AB的坡角为∠A。
已知BC=5m，AB=10m，
在Rt△ABC中，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$，
又
∵∠A为锐角，
∴∠A=30°。
【答案】
30
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用型题目，结合实际场景考察直角三角形的边角关系，只要掌握坡角的定义和特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 长尾夹的侧面可近似地看作一个等腰三角形，一个长尾夹的侧平面示意图如图(1)所示，已知$BC=23\ \mathrm{mm}$，$∠ ACB=70°$. 按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图(2)所示的侧平面示意图. 测量得$∠ GED=∠ HDE=80°$，则此时这个长尾夹可夹纸的厚度$GH$约为
11.5
mm. (参考数据：$\sin70°\approx0.94$，$\cos70°\approx0.34$，$\tan70°\approx2.75$，$\sin80°\approx0.98$，$\cos80°\approx0.17$，$\tan80°\approx5.67$)答案
8. 11.5.
解析
【分析】
解题首先抓住长尾夹的边长固定这一特点：等腰△ABC的腰长等于撑开后等腰梯形EDHG的腰长，且梯形下底ED与原三角形底边BC长度相等。步骤如下：1. 对等腰△ABC作底边上的高，利用解直角三角形求出腰长；2. 对等腰梯形EDHG作底边上的高，构造直角三角形，求出腰在底边ED上的投影长度；3. 结合等腰梯形上下底的关系计算GH的长度。
【解析】
解：在等腰△ABC中，过A作AP⊥BC于点P。
∵△ABC为等腰三角形，AP⊥BC，
∴$PC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×23=11.5\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ ACB=70°$，由$\cos∠ ACB=\frac{PC}{AC}$得：
$AC=\frac{PC}{\cos70°}=\frac{11.5}{\cos70°}$。
由题意可知：$GE=AC$，$ED=BC=23\ \mathrm{mm}$，四边形EDHG为等腰梯形。
过G作GM⊥ED于点M，过H作HN⊥ED于点N，则$EM=ND$，$GH=MN$。
在$\mathrm{Rt}△ GEM$中，$∠ GED=80°$，由$\cos∠ GED=\frac{EM}{GE}$得：
$EM=GE·\cos80°=\frac{11.5}{\cos70°}×\cos80°$。
代入参考数据$\cos70°\approx0.34$，$\cos80°\approx0.17$，得：
$EM\approx\frac{11.5×0.17}{0.34}=5.75\ \mathrm{mm}$。
∴$GH=ED-2EM\approx23-2×5.75=11.5\ \mathrm{mm}$。
【答案】
$\boxed{11.5}$
【知识点】
解直角三角形应用，等腰三角形性质，等腰梯形性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是明确几何变换前后边长不变的特点，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数即可求解，贴近生活，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题首先抓住长尾夹的边长固定这一特点：等腰△ABC的腰长等于撑开后等腰梯形EDHG的腰长，且梯形下底ED与原三角形底边BC长度相等。步骤如下：1. 对等腰△ABC作底边上的高，利用解直角三角形求出腰长；2. 对等腰梯形EDHG作底边上的高，构造直角三角形，求出腰在底边ED上的投影长度；3. 结合等腰梯形上下底的关系计算GH的长度。
【解析】
解：在等腰△ABC中，过A作AP⊥BC于点P。
∵△ABC为等腰三角形，AP⊥BC，
∴$PC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×23=11.5\ \mathrm{mm}$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ ACB=70°$，由$\cos∠ ACB=\frac{PC}{AC}$得：
$AC=\frac{PC}{\cos70°}=\frac{11.5}{\cos70°}$。
由题意可知：$GE=AC$，$ED=BC=23\ \mathrm{mm}$，四边形EDHG为等腰梯形。
过G作GM⊥ED于点M，过H作HN⊥ED于点N，则$EM=ND$，$GH=MN$。
在$\mathrm{Rt}△ GEM$中，$∠ GED=80°$，由$\cos∠ GED=\frac{EM}{GE}$得：
$EM=GE·\cos80°=\frac{11.5}{\cos70°}×\cos80°$。
代入参考数据$\cos70°\approx0.34$，$\cos80°\approx0.17$，得：
$EM\approx\frac{11.5×0.17}{0.34}=5.75\ \mathrm{mm}$。
∴$GH=ED-2EM\approx23-2×5.75=11.5\ \mathrm{mm}$。
【答案】
$\boxed{11.5}$
【知识点】
解直角三角形应用，等腰三角形性质，等腰梯形性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是明确几何变换前后边长不变的特点，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数即可求解，贴近生活，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 一个太阳能面板的侧面示意图如图所示. 已知太阳光与地面的夹角为 $53°$，当太阳光与面板垂直时，太阳能面板吸收光能的效率最高，则此时太阳能面板AB的坡度为1：
1.3
.（结果保留一位小数，参考数据：$\sin53°\approx0.80$，$\cos53°\approx0.60$，$\tan53°\approx1.33$）答案
9. 1.3.
解析
【分析】
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比，形式为1:m，其中m为水平宽度与垂直高度的比值，即m等于坡角的余切值。接下来根据题意，太阳光与面板AB垂直，且太阳光与地面夹角为53°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出坡面AB的坡角与53°角互余，得到坡角的度数后，结合三角函数关系即可求出m的值。
【解析】
解：设坡面AB与地面的夹角（坡角）为$α$，所求坡度对应的比值为$m$（即坡度为$1:m$）。
根据坡度的定义可知：$\tanα=\frac{\mathrm{垂直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{1}{m}$，因此$m=\frac{1}{\tanα}=\cotα$。
∵太阳光与面板AB垂直，且太阳光与地面的夹角为$53°$，
∴$α + 53° = 90°$，解得$α=37°$。
∴$m=\cot37°=\tan53°\approx1.33$，保留一位小数得$m\approx1.3$。
【答案】
1.3
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，三角函数计算
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是准确理解坡度的定义，结合光线垂直的条件推导坡角的度数，再代入三角函数计算即可，属于基础的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比，形式为1:m，其中m为水平宽度与垂直高度的比值，即m等于坡角的余切值。接下来根据题意，太阳光与面板AB垂直，且太阳光与地面夹角为53°，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出坡面AB的坡角与53°角互余，得到坡角的度数后，结合三角函数关系即可求出m的值。
【解析】
解：设坡面AB与地面的夹角（坡角）为$α$，所求坡度对应的比值为$m$（即坡度为$1:m$）。
根据坡度的定义可知：$\tanα=\frac{\mathrm{垂直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{1}{m}$，因此$m=\frac{1}{\tanα}=\cotα$。
∵太阳光与面板AB垂直，且太阳光与地面的夹角为$53°$，
∴$α + 53° = 90°$，解得$α=37°$。
∴$m=\cot37°=\tan53°\approx1.33$，保留一位小数得$m\approx1.3$。
【答案】
1.3
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，三角函数计算
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题的核心是准确理解坡度的定义，结合光线垂直的条件推导坡角的度数，再代入三角函数计算即可，属于基础的实际应用类题型。
【难度系数】
0.7
10 如图，在由四个全等的直角三角形（$△ DAE$、$△ ABF$、$△ BCG$、$△ CDH$）和中间一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$中，$∠ ABF ＞ ∠ BAF$，连接$BE$。设$∠ BAF=α$，$∠ BEF=β$，如果正方形$EFGH$与正方形$ABCD$的面积之比为$\frac{1}{n}$，$\tan α = \tan^2 β$，那么$n$的值为
（第10题）
3
。（第10题）答案
10. 3.
解析
【分析】
我们可以先设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，分别表示出大、小正方形的面积，得到面积比与$a$、$b$的关系式；再根据锐角三角函数的定义，分别写出$\tanα$和$\tanβ$的表达式，结合$\tanα=\tan^2β$的条件推导$a$和$b$的数量关系，最后代入面积比的式子即可求出$n$的值。
【解析】
设四个全等直角三角形的短直角边$BF=AE=CG=DH=a$，长直角边$AF=BG=CH=DE=b$（由$∠ ABF＞∠ BAF$可得$b＞a$）：
1. 表示正方形面积：
小正方形$EFGH$的边长为$EF=AF-AE=b-a$，面积$S_{\mathrm{小}}=(b-a)^2$；
大正方形$ABCD$的边长为$AB=\sqrt{a^2+b^2}$，面积$S_{\mathrm{大}}=a^2+b^2$，
由题意得$\frac{S_{\mathrm{小}}}{S_{\mathrm{大}}}=\frac{(b-a)^2}{a^2+b^2}=\frac{1}{n}$ ①。
2. 根据三角函数定义列关系式：
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAF=α$，故$\tanα=\frac{BF}{AF}=\frac{a}{b}$ ②；
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BFE=90°$，$∠ BEF=β$，故$\tanβ=\frac{BF}{EF}=\frac{a}{b-a}$ ③。
3. 结合已知条件化简：
由$\tanα=\tan^2β$，将②③代入得：
$\frac{a}{b}=(\frac{a}{b-a})^2$，
因为$a≠0$，两边约去$a$得$\frac{1}{b}=\frac{a}{(b-a)^2}$，交叉相乘得$(b-a)^2=ab$，
展开左边：$b^2-2ab+a^2=ab$，整理得$a^2+b^2=3ab$ ④。
4. 求$n$的值：
将$(b-a)^2=ab$和$a^2+b^2=3ab$代入①得：
$\frac{ab}{3ab}=\frac{1}{n}$，约去$ab$得$\frac{1}{3}=\frac{1}{n}$，故$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
锐角三角函数定义，正方形的性质，代数式化简
【点评】
本题结合了几何图形性质、锐角三角函数与代数化简知识，解题关键是合理设参数表示边长，利用已知条件建立边长的等量关系求解面积比，能有效考察数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.3
我们可以先设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，分别表示出大、小正方形的面积，得到面积比与$a$、$b$的关系式；再根据锐角三角函数的定义，分别写出$\tanα$和$\tanβ$的表达式，结合$\tanα=\tan^2β$的条件推导$a$和$b$的数量关系，最后代入面积比的式子即可求出$n$的值。
【解析】
设四个全等直角三角形的短直角边$BF=AE=CG=DH=a$，长直角边$AF=BG=CH=DE=b$（由$∠ ABF＞∠ BAF$可得$b＞a$）：
1. 表示正方形面积：
小正方形$EFGH$的边长为$EF=AF-AE=b-a$，面积$S_{\mathrm{小}}=(b-a)^2$；
大正方形$ABCD$的边长为$AB=\sqrt{a^2+b^2}$，面积$S_{\mathrm{大}}=a^2+b^2$，
由题意得$\frac{S_{\mathrm{小}}}{S_{\mathrm{大}}}=\frac{(b-a)^2}{a^2+b^2}=\frac{1}{n}$ ①。
2. 根据三角函数定义列关系式：
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAF=α$，故$\tanα=\frac{BF}{AF}=\frac{a}{b}$ ②；
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BFE=90°$，$∠ BEF=β$，故$\tanβ=\frac{BF}{EF}=\frac{a}{b-a}$ ③。
3. 结合已知条件化简：
由$\tanα=\tan^2β$，将②③代入得：
$\frac{a}{b}=(\frac{a}{b-a})^2$，
因为$a≠0$，两边约去$a$得$\frac{1}{b}=\frac{a}{(b-a)^2}$，交叉相乘得$(b-a)^2=ab$，
展开左边：$b^2-2ab+a^2=ab$，整理得$a^2+b^2=3ab$ ④。
4. 求$n$的值：
将$(b-a)^2=ab$和$a^2+b^2=3ab$代入①得：
$\frac{ab}{3ab}=\frac{1}{n}$，约去$ab$得$\frac{1}{3}=\frac{1}{n}$，故$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
锐角三角函数定义，正方形的性质，代数式化简
【点评】
本题结合了几何图形性质、锐角三角函数与代数化简知识，解题关键是合理设参数表示边长，利用已知条件建立边长的等量关系求解面积比，能有效考察数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.3
