15.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:$\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}$.在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,称之为“真分式”.例如:像$\frac{x+5}{x+2},\frac{x^2}{x-1},···$,这样的分式是假分式;像$\frac{3}{x-4},\frac{x}{x^2-1},···$,这样的分式是真分式.类似地,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.例如:$\frac{x+5}{x+2}=\frac{(x+2)+3}{x+2}=1+\frac{3}{x+2};\frac{x^2}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$.
根据以上材料,解决下列问题.
(1)写出一个假分式:________;
(2)将分式$\frac{x+1}{x-3}$化为整式与真分式的和的形式:________(直接写出结果即可);
(3)如果分式$\frac{x^2 - x}{x - 2}$的值为整数,求$x$的整数值.

15.(1)略
(2)$1+\frac{4}{x-3}$
(3)$x=0,1,3,4$

【分析】
解决本题首先要准确理解题目给出的新定义：只含一个字母的分式中，分子次数大于等于分母次数的为假分式，小于的为真分式。各小问思考路径如下：(1)根据假分式的定义，构造分子次数≥分母次数的单字母分式即可；(2)参照题目给出的假分式拆分方法，将分子凑成含分母因式的形式，再拆分即可；(3)先将给定假分式拆分为整式与真分式的和，由于整式部分的值一定是整数，因此只需真分式部分的值为整数即可，即分母是真分式分子的整数约数，结合分母不为0的条件筛选出符合要求的整数x。
【解析】
(1) 根据假分式的定义，可写出如$\frac{x+2}{x-1}$（答案不唯一，满足分子次数≥分母次数、只含一个字母的分式即可）。
(2) 对分子变形凑出分母因式：
$\frac{x+1}{x-3}=\frac{(x-3)+4}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{4}{x-3}=1+\frac{4}{x-3}$。
(3) 先将分式$\frac{x^2 - x}{x - 2}$拆分为整式与真分式的和：
将分子变形：$x^2 - x = x(x-2) + x = x(x-2) + (x-2) + 2 = (x-2)(x+1) + 2$，
因此$\frac{x^2 - x}{x - 2}=\frac{(x-2)(x+1)+2}{x-2}=x+1+\frac{2}{x-2}$。
要使分式的值为整数，且x为整数，则$\frac{2}{x-2}$必须为整数，即$x-2$是2的整数约数。
2的整数约数有$\pm1,\pm2$，因此：
当$x-2=1$时，$x=3$；
当$x-2=-1$时，$x=1$；
当$x-2=2$时，$x=4$；
当$x-2=-2$时，$x=0$。
又因为分式有意义时分母不为0，即$x-2≠0$，$x≠2$，上述四个解均符合要求。
【答案】
(1) 示例：$\frac{x+2}{x-1}$（答案不唯一）
(2) $1+\frac{4}{x-3}$
(3) $x=0,1,3,4$
【知识点】
分式的分类，分式的基本性质，分式有意义的条件
【点评】
本题是新定义类题型，需要先读懂材料给出的概念和转化方法，再迁移应用到解题中，核心考查对分式变形的掌握以及整数性质的应用，解题时注意不要遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.7