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10.若$x,y$的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是（
A.$\frac{2+x}{x-y}$
B.$\frac{2y}{x^2}$
C.$\frac{2y^3}{3x^2}$
D.$\frac{2y^2}{(x-y)^2}$
D
）A.$\frac{2+x}{x-y}$
B.$\frac{2y}{x^2}$
C.$\frac{2y^3}{3x^2}$
D.$\frac{2y^2}{(x-y)^2}$
答案
10.D
解析
【分析】
解题的核心思路是利用分式的基本性质，将x、y均替换为3x、3y后代入每个选项的分式中化简，再将化简结果与原分式对比，若相等则符合题意。解题时需注意：替换变量时要将所有x、y都扩大3倍，带乘方的项要按照乘方法则正确计算，最后通过约分验证是否与原式一致。
【解析】
将x、y均扩大为原来的3倍，即把原式中的x替换为3x，y替换为3y，逐一分析选项：
A. 代入得$\frac{2+3x}{3x-3y}=\frac{2+3x}{3(x-y)}$，与原式$\frac{2+x}{x-y}$不相等，不符合要求；
B. 代入得$\frac{2×3y}{(3x)^2}=\frac{6y}{9x^2}=\frac{2y}{3x^2}$，与原式$\frac{2y}{x^2}$不相等，不符合要求；
C. 代入得$\frac{2×(3y)^3}{3×(3x)^2}=\frac{2×27y^3}{3×9x^2}=\frac{54y^3}{27x^2}=\frac{2y^3}{x^2}$，与原式$\frac{2y^3}{3x^2}$不相等，不符合要求；
D. 代入得$\frac{2×(3y)^2}{(3x-3y)^2}=\frac{2×9y^2}{[3(x-y)]^2}=\frac{18y^2}{9(x-y)^2}=\frac{2y^2}{(x-y)^2}$，与原式完全相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题时需注意变量替换的完整性，尤其是含乘方、括号的项要正确运算，避免漏乘或计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是利用分式的基本性质，将x、y均替换为3x、3y后代入每个选项的分式中化简，再将化简结果与原分式对比，若相等则符合题意。解题时需注意：替换变量时要将所有x、y都扩大3倍，带乘方的项要按照乘方法则正确计算，最后通过约分验证是否与原式一致。
【解析】
将x、y均扩大为原来的3倍，即把原式中的x替换为3x，y替换为3y，逐一分析选项：
A. 代入得$\frac{2+3x}{3x-3y}=\frac{2+3x}{3(x-y)}$，与原式$\frac{2+x}{x-y}$不相等，不符合要求；
B. 代入得$\frac{2×3y}{(3x)^2}=\frac{6y}{9x^2}=\frac{2y}{3x^2}$，与原式$\frac{2y}{x^2}$不相等，不符合要求；
C. 代入得$\frac{2×(3y)^3}{3×(3x)^2}=\frac{2×27y^3}{3×9x^2}=\frac{54y^3}{27x^2}=\frac{2y^3}{x^2}$，与原式$\frac{2y^3}{3x^2}$不相等，不符合要求；
D. 代入得$\frac{2×(3y)^2}{(3x-3y)^2}=\frac{2×9y^2}{[3(x-y)]^2}=\frac{18y^2}{9(x-y)^2}=\frac{2y^2}{(x-y)^2}$，与原式完全相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的典型应用题型，解题时需注意变量替换的完整性，尤其是含乘方、括号的项要正确运算，避免漏乘或计算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
11.不改变分式的值，把分式的分子和分母中的各项系数化为整数，则$\frac{\frac{2}{5}x+\frac{3}{10}}{0.4x-0.5}$=
$\frac{4x + 3}{4x - 5}$
.答案
11.$\frac{4x + 3}{4x - 5}$
解析
【分析】
解题的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。首先观察分式各项系数：分子含分数$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{10}$，分母含小数0.4、0.5，将小数转化为分数后可知所有系数的分母的最小公倍数是10，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质，给分式的分子和分母同时乘以10（10≠0，分式的值不变）：
分子计算：$(\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}) × 10 = \frac{2}{5}x × 10 + \frac{3}{10} × 10 = 4x + 3$
分母计算：$(0.4x - 0.5) × 10 = 0.4x × 10 - 0.5 × 10 = 4x - 5$
因此化简后得到$\frac{4x + 3}{4x - 5}$。
【答案】
$\frac{4x + 3}{4x - 5}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式系数化整
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题的核心是找准分子分母各项系数的最小公倍数，运算时需注意乘遍分子、分母的每一项，避免漏乘常数项出现错误。
【难度系数】
0.8
解题的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。首先观察分式各项系数：分子含分数$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{10}$，分母含小数0.4、0.5，将小数转化为分数后可知所有系数的分母的最小公倍数是10，因此给分子、分母同时乘10即可将所有系数化为整数，注意乘的时候要覆盖分子、分母的每一项，不能漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质，给分式的分子和分母同时乘以10（10≠0，分式的值不变）：
分子计算：$(\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}) × 10 = \frac{2}{5}x × 10 + \frac{3}{10} × 10 = 4x + 3$
分母计算：$(0.4x - 0.5) × 10 = 0.4x × 10 - 0.5 × 10 = 4x - 5$
因此化简后得到$\frac{4x + 3}{4x - 5}$。
【答案】
$\frac{4x + 3}{4x - 5}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式系数化整
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题的核心是找准分子分母各项系数的最小公倍数，运算时需注意乘遍分子、分母的每一项，避免漏乘常数项出现错误。
【难度系数】
0.8
12.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，则$\frac{xy + yz + zx}{x^2 + y^2 + z^2}$的值为
$\frac{26}{29}$
。答案
12.$\frac{26}{29}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常使用“设k法”求解：先设这个公共的比值为参数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的公因式k²可以利用分式的基本性质约去，最终就能求出分式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），则：
$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$
先计算分子：
$xy+yz+zx=2k·3k + 3k·4k + 4k·2k=6k^2+12k^2+8k^2=26k^2$
再计算分母：
$x^2+y^2+z^2=(2k)^2+(3k)^2+(4k)^2=4k^2+9k^2+16k^2=29k^2$
将分子分母代入原式：
$\frac{xy + yz + zx}{x^2 + y^2 + z^2}=\frac{26k^2}{29k^2}=\frac{26}{29}$（$k≠0$，约去公因式$k^2$）
【答案】
$\frac{26}{29}$
【知识点】
分式的基本性质、比例的性质、代数式求值
【点评】
本题是分式求值与比例结合的典型基础题，核心解题方法是设k法，计算过程中要注意整式乘方、乘法运算的准确性，最后利用分式基本性质约分即可得到结果。
【难度系数】
0.75
遇到连等的比例式时，我们通常使用“设k法”求解：先设这个公共的比值为参数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入所求分式中，分子分母的公因式k²可以利用分式的基本性质约去，最终就能求出分式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$（$k≠0$），则：
$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$
先计算分子：
$xy+yz+zx=2k·3k + 3k·4k + 4k·2k=6k^2+12k^2+8k^2=26k^2$
再计算分母：
$x^2+y^2+z^2=(2k)^2+(3k)^2+(4k)^2=4k^2+9k^2+16k^2=29k^2$
将分子分母代入原式：
$\frac{xy + yz + zx}{x^2 + y^2 + z^2}=\frac{26k^2}{29k^2}=\frac{26}{29}$（$k≠0$，约去公因式$k^2$）
【答案】
$\frac{26}{29}$
【知识点】
分式的基本性质、比例的性质、代数式求值
【点评】
本题是分式求值与比例结合的典型基础题，核心解题方法是设k法，计算过程中要注意整式乘方、乘法运算的准确性，最后利用分式基本性质约分即可得到结果。
【难度系数】
0.75
13. 不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中的各项系数化为整数.
(1)$\frac{0.01m+\frac{1}{4}n}{0.001m+\frac{1}{8}n}$；
(2)$\frac{0.1x+\frac{1}{2}ab}{0.05x-\frac{1}{20}ab}$；
(3)$\frac{1.5 - x - \frac{1}{2}x^2}{0.2x^3 - \frac{4}{5}x^2 + x}$。
(1)$\frac{0.01m+\frac{1}{4}n}{0.001m+\frac{1}{8}n}$；
(2)$\frac{0.1x+\frac{1}{2}ab}{0.05x-\frac{1}{20}ab}$；
(3)$\frac{1.5 - x - \frac{1}{2}x^2}{0.2x^3 - \frac{4}{5}x^2 + x}$。
答案
13.(1)$\frac{10m + 250n}{m + 125n}$
(2)$\frac{2x + 10ab}{x - ab}$
(3)$\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
(2)$\frac{2x + 10ab}{x - ab}$
(3)$\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
解析
【分析】
本题考查分式各项系数化整的方法，解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路：首先观察分子、分母中所有系数的类型（小数、分数），把小数转化为分数后，找到所有系数分母的最小公倍数，再将分子、分母的每一项同时乘这个最小公倍数，就能把各项系数化为整数；运算时注意不要漏乘任何一项，保留原式各项的符号不变。
【解析】
(1) 观察分式系数：小数0.01、0.001可化为$\frac{1}{100}$、$\frac{1}{1000}$，分数分母为4、8，所有系数分母的最小公倍数是1000，分子分母同时乘1000：
原式=$\frac{(0.01m+\frac{1}{4}n)×1000}{(0.001m+\frac{1}{8}n)×1000}=\frac{0.01m×1000+\frac{1}{4}n×1000}{0.001m×1000+\frac{1}{8}n×1000}=\frac{10m+250n}{m+125n}$
(2) 观察分式系数：小数0.1、0.05可化为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}$，分数分母为2、20，所有系数分母的最小公倍数是20，分子分母同时乘20：
原式=$\frac{(0.1x+\frac{1}{2}ab)×20}{(0.05x-\frac{1}{20}ab)×20}=\frac{0.1x×20+\frac{1}{2}ab×20}{0.05x×20-\frac{1}{20}ab×20}=\frac{2x+10ab}{x-ab}$
(3) 观察分式系数：小数1.5、0.2可化为$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{5}$，分数分母为2、5，所有系数分母的最小公倍数是10，分子分母同时乘10：
原式=$\frac{(1.5 - x - \frac{1}{2}x^2)×10}{(0.2x^3 - \frac{4}{5}x^2 + x)×10}=\frac{1.5×10 - x×10 - \frac{1}{2}x^2×10}{0.2x^3×10 - \frac{4}{5}x^2×10 + x×10}=\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
【答案】
(1)$\frac{10m + 250n}{m + 125n}$
(2)$\frac{2x + 10ab}{x - ab}$
(3)$\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
【知识点】
分式的基本性质、分式恒等变形
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确找到分子分母所有项系数的公共倍数，运算时注意不要漏乘常数项，同时要注意原式各项的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题考查分式各项系数化整的方法，解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。解题思路：首先观察分子、分母中所有系数的类型（小数、分数），把小数转化为分数后，找到所有系数分母的最小公倍数，再将分子、分母的每一项同时乘这个最小公倍数，就能把各项系数化为整数；运算时注意不要漏乘任何一项，保留原式各项的符号不变。
【解析】
(1) 观察分式系数：小数0.01、0.001可化为$\frac{1}{100}$、$\frac{1}{1000}$，分数分母为4、8，所有系数分母的最小公倍数是1000，分子分母同时乘1000：
原式=$\frac{(0.01m+\frac{1}{4}n)×1000}{(0.001m+\frac{1}{8}n)×1000}=\frac{0.01m×1000+\frac{1}{4}n×1000}{0.001m×1000+\frac{1}{8}n×1000}=\frac{10m+250n}{m+125n}$
(2) 观察分式系数：小数0.1、0.05可化为$\frac{1}{10}$、$\frac{1}{20}$，分数分母为2、20，所有系数分母的最小公倍数是20，分子分母同时乘20：
原式=$\frac{(0.1x+\frac{1}{2}ab)×20}{(0.05x-\frac{1}{20}ab)×20}=\frac{0.1x×20+\frac{1}{2}ab×20}{0.05x×20-\frac{1}{20}ab×20}=\frac{2x+10ab}{x-ab}$
(3) 观察分式系数：小数1.5、0.2可化为$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{5}$，分数分母为2、5，所有系数分母的最小公倍数是10，分子分母同时乘10：
原式=$\frac{(1.5 - x - \frac{1}{2}x^2)×10}{(0.2x^3 - \frac{4}{5}x^2 + x)×10}=\frac{1.5×10 - x×10 - \frac{1}{2}x^2×10}{0.2x^3×10 - \frac{4}{5}x^2×10 + x×10}=\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
【答案】
(1)$\frac{10m + 250n}{m + 125n}$
(2)$\frac{2x + 10ab}{x - ab}$
(3)$\frac{15 - 10x - 5x^2}{2x^3 - 8x^2 + 10x}$
【知识点】
分式的基本性质、分式恒等变形
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是准确找到分子分母所有项系数的公共倍数，运算时注意不要漏乘常数项，同时要注意原式各项的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
14.已知$x^2 -5x +1=0$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
答案
14.$\frac{1}{23}$
解析
【分析】
首先观察已知方程和所求分式的结构特点：已知是关于x的二次方程，所求分式是分子分母均为x的偶次幂的分式。首先可判断x≠0（若x=0，代入已知方程左边为1≠0，矛盾），因此可先将已知方程两边同时除以x，得到x与1/x的和；再将所求分式的分子分母同时除以x²，将其转化为含x²+1/x²的形式，而x²+1/x²可通过完全平方公式由x+1/x推导得出，最后代入计算即可得到结果，无需解出x的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵$x^2 -5x +1=0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0-0+1=1≠0$，故$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 5$。
∵$x≠0$，
∴$x^2≠0$，将所求分式$\frac{x^2}{x^4 +1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2}{x^4 +1} = \frac{x^2 ÷ x^2}{(x^4 +1) ÷ x^2} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 · x · \frac{1}{x}$，
将$x + \frac{1}{x} =5$代入，得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5^2 - 2 = 25 - 2 =23$。
∴$\frac{x^2}{x^4 +1} = \frac{1}{23}$。
【答案】
$\frac{1}{23}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.完全平方公式
3.整体代入求值
【点评】
本题解题核心是利用“x≠0”的隐含条件，对已知方程和所求分式进行同除变形，构造出$x+\frac{1}{x}$的整体，再结合完全平方公式求解，避开了直接解二次方程的繁琐步骤，很好地体现了代数变形中的整体思想。
【难度系数】
0.6
首先观察已知方程和所求分式的结构特点：已知是关于x的二次方程，所求分式是分子分母均为x的偶次幂的分式。首先可判断x≠0（若x=0，代入已知方程左边为1≠0，矛盾），因此可先将已知方程两边同时除以x，得到x与1/x的和；再将所求分式的分子分母同时除以x²，将其转化为含x²+1/x²的形式，而x²+1/x²可通过完全平方公式由x+1/x推导得出，最后代入计算即可得到结果，无需解出x的具体值，简化计算。
【解析】
解：
∵$x^2 -5x +1=0$，
若$x=0$，代入方程左边得$0-0+1=1≠0$，故$x≠0$，
将方程两边同时除以$x$，得：
$x - 5 + \frac{1}{x} = 0$，即$x + \frac{1}{x} = 5$。
∵$x≠0$，
∴$x^2≠0$，将所求分式$\frac{x^2}{x^4 +1}$的分子、分母同时除以$x^2$，得：
$\frac{x^2}{x^4 +1} = \frac{x^2 ÷ x^2}{(x^4 +1) ÷ x^2} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 · x · \frac{1}{x}$，
将$x + \frac{1}{x} =5$代入，得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5^2 - 2 = 25 - 2 =23$。
∴$\frac{x^2}{x^4 +1} = \frac{1}{23}$。
【答案】
$\frac{1}{23}$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.完全平方公式
3.整体代入求值
【点评】
本题解题核心是利用“x≠0”的隐含条件，对已知方程和所求分式进行同除变形，构造出$x+\frac{1}{x}$的整体，再结合完全平方公式求解，避开了直接解二次方程的繁琐步骤，很好地体现了代数变形中的整体思想。
【难度系数】
0.6
