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4. 如图15.1-9，在△ABC中，AB=AC=20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，连接BD，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为
图15.1-9
图15.1-10
15
cm.图15.1-9
图15.1-10
答案
4. 15
解析
【分析】
看到题目中出现线段的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来观察△DBC的周长构成，将周长中的BD用相等的线段AD代换，即可把△DBC的周长转化为AC与BC的长度和，结合已知的AC长度和△DBC的周长，就能求出BC的长。
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD。
∵△DBC的周长为35 cm，
∴BD + DC + BC = 35 cm，
将BD替换为AD，可得AD + DC + BC = 35 cm。
又
∵AD + DC = AC，且已知AC=20 cm，
∴20 + BC = 35，
解得BC=15 cm。
【答案】
15
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，把未知的周长关系转化为已知线段与待求线段的和，即可快速求解，解题时要注意准确识别垂直平分线上的点对应的等长线段。
【难度系数】
0.8
看到题目中出现线段的垂直平分线，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来观察△DBC的周长构成，将周长中的BD用相等的线段AD代换，即可把△DBC的周长转化为AC与BC的长度和，结合已知的AC长度和△DBC的周长，就能求出BC的长。
【解析】
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD。
∵△DBC的周长为35 cm，
∴BD + DC + BC = 35 cm，
将BD替换为AD，可得AD + DC + BC = 35 cm。
又
∵AD + DC = AC，且已知AC=20 cm，
∴20 + BC = 35，
解得BC=15 cm。
【答案】
15
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，把未知的周长关系转化为已知线段与待求线段的和，即可快速求解，解题时要注意准确识别垂直平分线上的点对应的等长线段。
【难度系数】
0.8
5. 如图15.1-10，在$△ ABC$中，DE是AB的垂直平分线。若$AC=5$，$BC=7$，则$△ ACD$的周长为
12
。答案
5. 12
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到“DE是AB的垂直平分线”，第一时间联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD=BD的等量关系。接下来明确△ACD的周长组成是AC+CD+AD，其中仅AC长度已知，此时利用刚才得到的AD=BD做等量替换，可将周长转化为AC+CD+BD，而CD+BD正好是BC的长度，代入已知的AC、BC数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ACD的周长 = AC + CD + AD
将AD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = AC + CD + BD = AC + BC
已知AC=5，BC=7，代入得：
△ACD的周长 = 5 + 7 = 12
【答案】
12
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用性质完成线段的等量转换，将未知周长转化为已知线段的和，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察题干条件，看到“DE是AB的垂直平分线”，第一时间联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到AD=BD的等量关系。接下来明确△ACD的周长组成是AC+CD+AD，其中仅AC长度已知，此时利用刚才得到的AD=BD做等量替换，可将周长转化为AC+CD+BD，而CD+BD正好是BC的长度，代入已知的AC、BC数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
△ACD的周长 = AC + CD + AD
将AD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = AC + CD + BD = AC + BC
已知AC=5，BC=7，代入得：
△ACD的周长 = 5 + 7 = 12
【答案】
12
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用性质完成线段的等量转换，将未知周长转化为已知线段的和，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6. 如图15.1-11，在Rt△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交边BC，AB于点P，Q. 已知∠C=90°，∠B=20°，AF平分∠BAC. 若AF与MN的夹角为α，则∠α的度数是
55°
. 答案
6. 55°
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的结果：题目中作直线MN的方法是作线段AB的垂直平分线，因此可得MN垂直于AB。接下来先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAF的度数，最后在直角三角形AQF中求出与∠α为对顶角的∠AFQ的度数，即可得到∠α的大小。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-20°=70°$
2. 已知$AF$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
3. 由尺规作图的特征可知，$MN$是线段$AB$的垂直平分线，因此$MN⊥ AB$，即$∠ AQF=90°$。
4. 在$Rt△ AQF$中，两锐角互余，因此：
$∠ AFQ=90°-∠ BAF=90°-35°=55°$
5. $∠α$与$∠ AFQ$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠α=∠ AFQ=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
线段垂直平分线、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何角度计算，解题的核心是正确识别MN是AB的垂直平分线，再结合角平分线、直角三角形的角度性质逐步推导，难度不大，需要注意对基础尺规作图特征的识记。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的结果：题目中作直线MN的方法是作线段AB的垂直平分线，因此可得MN垂直于AB。接下来先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAF的度数，最后在直角三角形AQF中求出与∠α为对顶角的∠AFQ的度数，即可得到∠α的大小。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=20°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ BAC=90°-∠ B=90°-20°=70°$
2. 已知$AF$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$
3. 由尺规作图的特征可知，$MN$是线段$AB$的垂直平分线，因此$MN⊥ AB$，即$∠ AQF=90°$。
4. 在$Rt△ AQF$中，两锐角互余，因此：
$∠ AFQ=90°-∠ BAF=90°-35°=55°$
5. $∠α$与$∠ AFQ$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠α=∠ AFQ=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
线段垂直平分线、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何角度计算，解题的核心是正确识别MN是AB的垂直平分线，再结合角平分线、直角三角形的角度性质逐步推导，难度不大，需要注意对基础尺规作图特征的识记。
【难度系数】
0.7
7. 如图15.1-12，在$△ ABC$中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于$\frac{1}{2}AB$)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD。已知$△ CDE$的面积比$△ CDB$的面积小5，则$△ ADE$的面积为
图15.1-12
5
。图15.1-12
答案
7. 5
解析
【分析】首先根据题目描述的尺规作图特征，可判断直线MN是AB的垂直平分线，因此点D是AB中点，可得△ADC和△CDB是等底同高的三角形，二者面积相等；再结合△CDB比△CDE面积大5的已知条件，通过面积的和差运算就能求出△ADE的面积。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，即$AD=BD$，
△ADC和△CDB中，底$AD=BD$，高均为点C到AB的垂线段长度，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ADC}=S_{△ CDB}$。
已知$S_{△ CDB}-S_{△ CDE}=5$，
将$S_{△ CDB}$替换为$S_{△ ADC}$，得$S_{△ ADC}-S_{△ CDE}=5$，
由图可知$S_{△ ADC}-S_{△ CDE}=S_{△ ADE}$，
∴$S_{△ ADE}=5$。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别、垂直平分线的性质以及三角形面积的和差关系，解题关键是先通过作图特征得到D是AB中点，推出等底同高的三角形面积相等，再结合已知面积差推导结果，是对基础几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点，即$AD=BD$，
△ADC和△CDB中，底$AD=BD$，高均为点C到AB的垂线段长度，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ADC}=S_{△ CDB}$。
已知$S_{△ CDB}-S_{△ CDE}=5$，
将$S_{△ CDB}$替换为$S_{△ ADC}$，得$S_{△ ADC}-S_{△ CDE}=5$，
由图可知$S_{△ ADC}-S_{△ CDE}=S_{△ ADE}$，
∴$S_{△ ADE}=5$。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查尺规作图的识别、垂直平分线的性质以及三角形面积的和差关系，解题关键是先通过作图特征得到D是AB中点，推出等底同高的三角形面积相等，再结合已知面积差推导结果，是对基础几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图15.1-13，一工厂要在阴影区域内建一个仓库P. 按照设计要求，仓库P与这一工厂的两个分厂M，N的距离相等，且到两条道路AB和AC的距离也相等. 仓库P应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
图15.1-13
图15.1-13
答案
8. 解：作$∠ BAC$的平分线和线段$MN$的垂直平分线相交于点$P$，如图所示，点$P$即为所求。
解析
【分析】
要确定仓库P的位置，我们可分别对应题目给出的两个条件推导符合要求的点的轨迹：①到M、N两点距离相等的点，都在线段MN的垂直平分线上；②到道路AB、AC距离相等的点，都在∠BAC的角平分线上。同时满足两个条件的点为两条轨迹的交点，且该交点位于阴影区域内，即为所求的P点。
【解析】
第一步，根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，用尺规作出线段MN的垂直平分线；第二步，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，用尺规作出∠BAC的角平分线；两条线的交点P同时满足“到M、N距离相等”和“到AB、AC距离相等”两个设计要求，且位于阴影区域内，就是仓库的修建位置。
【答案】
作$∠ BAC$的平分线和线段$MN$的垂直平分线相交于点$P$，如图所示，点$P$即为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于典型的多条件定位点的作图题，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹的交点得到符合所有条件的点，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定仓库P的位置，我们可分别对应题目给出的两个条件推导符合要求的点的轨迹：①到M、N两点距离相等的点，都在线段MN的垂直平分线上；②到道路AB、AC距离相等的点，都在∠BAC的角平分线上。同时满足两个条件的点为两条轨迹的交点，且该交点位于阴影区域内，即为所求的P点。
【解析】
第一步，根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，用尺规作出线段MN的垂直平分线；第二步，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，用尺规作出∠BAC的角平分线；两条线的交点P同时满足“到M、N距离相等”和“到AB、AC距离相等”两个设计要求，且位于阴影区域内，就是仓库的修建位置。
【答案】
作$∠ BAC$的平分线和线段$MN$的垂直平分线相交于点$P$，如图所示，点$P$即为所求。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于典型的多条件定位点的作图题，解题核心是将题目中的距离要求转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹的交点得到符合所有条件的点，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
