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9. 如图15.1-14，点D，E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE，求证AB=AC. 
答案
9. 证明：过点$ A $作$ AF⊥ DE $，垂足为$ F $，如图。
$\therefore∠ AFD=∠ AFE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\begin{cases} AD=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=EF.$
$\because BD=CE,$
$\therefore BD+DF=CE+EF$，即$BF=CF.$
$\because AF⊥ DE,$
$\therefore AF$垂直平分$BC.$ $\therefore AB=AC.$
解析
【分析】
要证明AB=AC，可证明点A在BC的垂直平分线上，即证AF垂直且平分BC。已知AD=AE，△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作AF⊥DE，可得DF=EF，再结合已知BD=CE，可推导出BF=CF，进而得到AF是BC的垂直平分线，最后利用垂直平分线的性质即可得出AB=AC。
【解析】
证明：过点$ A $作$ AF⊥ DE $，垂足为$ F $，如图。
$\therefore∠ AFD=∠ AFE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\begin{cases} AD=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=EF.$
$\because BD=CE,$
$\therefore BD+DF=CE+EF$，即$BF=CF.$
$\because AF⊥ DE,$
$\therefore AF$垂直平分$BC.$
$\therefore AB=AC.$
【答案】
证明：过点$ A $作$ AF⊥ DE $，垂足为$ F $，如图。
$\therefore∠ AFD=∠ AFE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\begin{cases} AD=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=EF.$
$\because BD=CE,$
$\therefore BD+DF=CE+EF$，即$BF=CF.$
$\because AF⊥ DE,$
$\therefore AF$垂直平分$BC.$ $\therefore AB=AC.$
【知识点】
等腰三角形性质，HL全等判定，线段垂直平分线性质
【点评】
本题是典型的几何证明题，通过作等腰三角形底边上的高这一常用辅助线，结合等腰三角形三线合一、全等三角形的性质推导线段关系，最终利用线段垂直平分线的性质得到结论，需要熟练掌握相关性质定理，学会构造合适的辅助线简化证明过程。
【难度系数】
0.7
要证明AB=AC，可证明点A在BC的垂直平分线上，即证AF垂直且平分BC。已知AD=AE，△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过A作AF⊥DE，可得DF=EF，再结合已知BD=CE，可推导出BF=CF，进而得到AF是BC的垂直平分线，最后利用垂直平分线的性质即可得出AB=AC。
【解析】
证明：过点$ A $作$ AF⊥ DE $，垂足为$ F $，如图。
$\therefore∠ AFD=∠ AFE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\begin{cases} AD=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=EF.$
$\because BD=CE,$
$\therefore BD+DF=CE+EF$，即$BF=CF.$
$\because AF⊥ DE,$
$\therefore AF$垂直平分$BC.$
$\therefore AB=AC.$
【答案】
证明：过点$ A $作$ AF⊥ DE $，垂足为$ F $，如图。
$\therefore∠ AFD=∠ AFE=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$\begin{cases} AD=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ AEF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=EF.$
$\because BD=CE,$
$\therefore BD+DF=CE+EF$，即$BF=CF.$
$\because AF⊥ DE,$
$\therefore AF$垂直平分$BC.$ $\therefore AB=AC.$
【知识点】
等腰三角形性质，HL全等判定，线段垂直平分线性质
【点评】
本题是典型的几何证明题，通过作等腰三角形底边上的高这一常用辅助线，结合等腰三角形三线合一、全等三角形的性质推导线段关系，最终利用线段垂直平分线的性质得到结论，需要熟练掌握相关性质定理，学会构造合适的辅助线简化证明过程。
【难度系数】
0.7
10. 如图15.1-15，P是∠AOB内一点，OP=5 cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD，交OA于点E，交OB于点F，连接PE，PF，当△PEF的周长是5 cm时，∠AOB的度数是
30°
。答案
10. $30°$
解析
【分析】
解题时先从轴对称的性质入手，首先明确对称轴是对应点连线的垂直平分线，可得对应线段相等、对应角相等，先将△PEF的周长转化为CD的长度；再结合OP的长度推出△OCD三边的长度关系，判定△OCD的形状得到∠COD的度数；最后根据对称得到的等角关系，推导得出∠AOB的度数。
【解析】
∵点P与点C关于射线OA对称
∴OA垂直平分线段PC，可得$PE=CE$，$OC=OP=5\mathrm{cm}$，$∠ AOC=∠ AOP$
同理，点P与点D关于射线OB对称
∴OB垂直平分线段PD，可得$PF=FD$，$OD=OP=5\mathrm{cm}$，$∠ BOD=∠ BOP$
$△ PEF$的周长$=PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD$，已知$△ PEF$周长为$5\mathrm{cm}$，因此$CD=5\mathrm{cm}$
由此可得$OC=OD=CD=5\mathrm{cm}$，即$△ OCD$为等边三角形，$∠ COD=60°$
又$\because ∠ COD=∠ AOC+∠ AOP+∠ BOP+∠ BOD=2(∠ AOP+∠ BOP)=2∠ AOB$
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题核心是利用轴对称的性质实现线段和角度的转化，解题的关键是将△PEF的周长转化为CD的长度，再结合等边三角形的性质求解角度，体现了转化思想在几何题中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从轴对称的性质入手，首先明确对称轴是对应点连线的垂直平分线，可得对应线段相等、对应角相等，先将△PEF的周长转化为CD的长度；再结合OP的长度推出△OCD三边的长度关系，判定△OCD的形状得到∠COD的度数；最后根据对称得到的等角关系，推导得出∠AOB的度数。
【解析】
∵点P与点C关于射线OA对称
∴OA垂直平分线段PC，可得$PE=CE$，$OC=OP=5\mathrm{cm}$，$∠ AOC=∠ AOP$
同理，点P与点D关于射线OB对称
∴OB垂直平分线段PD，可得$PF=FD$，$OD=OP=5\mathrm{cm}$，$∠ BOD=∠ BOP$
$△ PEF$的周长$=PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD$，已知$△ PEF$周长为$5\mathrm{cm}$，因此$CD=5\mathrm{cm}$
由此可得$OC=OD=CD=5\mathrm{cm}$，即$△ OCD$为等边三角形，$∠ COD=60°$
又$\because ∠ COD=∠ AOC+∠ AOP+∠ BOP+∠ BOD=2(∠ AOP+∠ BOP)=2∠ AOB$
$\therefore ∠ AOB=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题核心是利用轴对称的性质实现线段和角度的转化，解题的关键是将△PEF的周长转化为CD的长度，再结合等边三角形的性质求解角度，体现了转化思想在几何题中的应用。
【难度系数】
0.6
11. 如图15.1-16，在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=4$，$G$为$BC$的中点，$DG⊥ BC$交$∠ BAC$的平分线于点$D$，$DE⊥ AB$，垂足为$E$，$DF⊥ AC$交$AC$的延长线于点$F$。
（1）求证$BE=CF$；
（2）求$AE$的长。
（1）求证$BE=CF$；
（2）求$AE$的长。
答案
11. （1）证明：连接$DC$，$DB$（图略）。
$\because DG⊥ BC$，$G$为$BC$的中点，
$\therefore DB=DC.$
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ AED=∠ BED=∠ AFD=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，$\begin{cases} DB=DC,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore BE=CF.$
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore AE=AF.$
$\therefore AC+CF=AB-BE.$
$\because AB=8,\ AC=4,$
$\therefore 4+BE=8-BE.\ \therefore BE=2.$
$\therefore AE=AB-BE=8-2=6.$
$\because DG⊥ BC$，$G$为$BC$的中点，
$\therefore DB=DC.$
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ AED=∠ BED=∠ AFD=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，$\begin{cases} DB=DC,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore BE=CF.$
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD,\\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF\ (\mathrm{HL}).$
$\therefore AE=AF.$
$\therefore AC+CF=AB-BE.$
$\because AB=8,\ AC=4,$
$\therefore 4+BE=8-BE.\ \therefore BE=2.$
$\therefore AE=AB-BE=8-2=6.$
解析
【分析】
（1）要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先连接$DB$、$DC$，根据线段垂直平分线的性质可得$DB=DC$；再根据角平分线的性质可得$DE=DF$，即可利用HL证明$\mathrm{Rt}△DBE≌\mathrm{Rt}△DCF$，从而得到$BE=CF$。
（2）要求$AE$的长，先利用HL证明$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF$，得到$AE=AF$，再结合$AF=AC+CF$、$AE=AB-BE$，且$BE=CF$，将已知的$AB$、$AC$长度代入，建立关于$BE$的方程求出$BE$，即可计算$AE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$DC$，$DB$。
$\because DG⊥ BC$，$G$为$BC$的中点，
$\therefore DG$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore DB=DC$。
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$\begin{cases} DB=DC\\ DE=DF \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=CF$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD\\ DE=DF \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=AF$。
$\because AF=AC+CF$，$AE=AB-BE$，且$BE=CF$，
$\therefore AC+BE=AB-BE$，
将$AB=8$，$AC=4$代入得：
$4+BE=8-BE$，
解得$BE=2$，
$\therefore AE=AB-BE=8-2=6$。
【答案】
（1）$BE=CF$得证；
（2）$AE$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、线段垂直平分线的性质得到相等的边，再利用全等三角形的性质转化线段关系，通过建立方程求解线段长度。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。首先连接$DB$、$DC$，根据线段垂直平分线的性质可得$DB=DC$；再根据角平分线的性质可得$DE=DF$，即可利用HL证明$\mathrm{Rt}△DBE≌\mathrm{Rt}△DCF$，从而得到$BE=CF$。
（2）要求$AE$的长，先利用HL证明$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF$，得到$AE=AF$，再结合$AF=AC+CF$、$AE=AB-BE$，且$BE=CF$，将已知的$AB$、$AC$长度代入，建立关于$BE$的方程求出$BE$，即可计算$AE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$DC$，$DB$。
$\because DG⊥ BC$，$G$为$BC$的中点，
$\therefore DG$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore DB=DC$。
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$，$∠ BED=∠ CFD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DBE$和$\mathrm{Rt}△ DCF$中，
$\begin{cases} DB=DC\\ DE=DF \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DBE≌\mathrm{Rt}△ DCF\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=CF$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases} AD=AD\\ DE=DF \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore AE=AF$。
$\because AF=AC+CF$，$AE=AB-BE$，且$BE=CF$，
$\therefore AC+BE=AB-BE$，
将$AB=8$，$AC=4$代入得：
$4+BE=8-BE$，
解得$BE=2$，
$\therefore AE=AB-BE=8-2=6$。
【答案】
（1）$BE=CF$得证；
（2）$AE$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，结合角平分线、线段垂直平分线的性质得到相等的边，再利用全等三角形的性质转化线段关系，通过建立方程求解线段长度。
【难度系数】
0.7
