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我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉.图3-18是射击靶的示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道射中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
图3-18
图3-18
答案
略
解析
【分析】
要解决射击成绩的计算问题，首先观察射击靶是由多个圆心重合的同心圆构成，公共圆心为靶心，着弹点可看作平面内的一个点。结合我们学过的点与圆的位置关系判断方法：点到圆心的距离和圆半径的大小关系决定点和圆的位置，只需判断着弹点落在哪个圆环区域，就能对应得到相应的射击成绩。
【解析】
射击靶的所有圆为同心圆，公共圆心是靶心，通常规定最内侧最小的圆对应最高环数（如10环），向外每相邻两个同心圆围成的圆环依次对应9环、8环等更低的环数。计算成绩步骤如下：
1. 测量着弹点到靶心的距离d；
2. 若$d≤$最内侧10环圆的半径$r_{10}$，说明着弹点在10环圆内或圆上，成绩为10环；
3. 若$r_{10}＜d≤$第二层9环圆的半径$r_9$，说明着弹点在10环圆和9环圆之间的圆环内，成绩为9环；
4. 以此类推，d越大对应环数越低，若d大于最外侧有效环对应的圆半径，即为脱靶，成绩为0环。
【答案】
射击靶由多个同心圆构成，靶心是这些同心圆的公共圆心，相邻同心圆围成的圆环对应不同环数，越靠近靶心的圆环环数越高。射击后根据着弹点到靶心的距离判断其所在的圆环区域，该区域对应的环数就是射击成绩，若着弹点在最外侧有效环的圆外则为脱靶，成绩为0。
【知识点】
点与圆的位置关系、同心圆的特征
【点评】
本题结合体育竞技的实际场景，考查了数学知识在实际生活中的应用，引导学生学会将实际问题转化为数学模型，用所学几何知识解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.8
要解决射击成绩的计算问题，首先观察射击靶是由多个圆心重合的同心圆构成，公共圆心为靶心，着弹点可看作平面内的一个点。结合我们学过的点与圆的位置关系判断方法：点到圆心的距离和圆半径的大小关系决定点和圆的位置，只需判断着弹点落在哪个圆环区域，就能对应得到相应的射击成绩。
【解析】
射击靶的所有圆为同心圆，公共圆心是靶心，通常规定最内侧最小的圆对应最高环数（如10环），向外每相邻两个同心圆围成的圆环依次对应9环、8环等更低的环数。计算成绩步骤如下：
1. 测量着弹点到靶心的距离d；
2. 若$d≤$最内侧10环圆的半径$r_{10}$，说明着弹点在10环圆内或圆上，成绩为10环；
3. 若$r_{10}＜d≤$第二层9环圆的半径$r_9$，说明着弹点在10环圆和9环圆之间的圆环内，成绩为9环；
4. 以此类推，d越大对应环数越低，若d大于最外侧有效环对应的圆半径，即为脱靶，成绩为0环。
【答案】
射击靶由多个同心圆构成，靶心是这些同心圆的公共圆心，相邻同心圆围成的圆环对应不同环数，越靠近靶心的圆环环数越高。射击后根据着弹点到靶心的距离判断其所在的圆环区域，该区域对应的环数就是射击成绩，若着弹点在最外侧有效环的圆外则为脱靶，成绩为0。
【知识点】
点与圆的位置关系、同心圆的特征
【点评】
本题结合体育竞技的实际场景，考查了数学知识在实际生活中的应用，引导学生学会将实际问题转化为数学模型，用所学几何知识解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.8
例1 已知$\odot O$的半径为4 cm，A是线段OP的中点，当$OP=6$ cm时，点A在$\odot O$
内
；当$OP=8$ cm时，点A在$\odot O$ 上
；当$OP=10$ cm时，点A在$\odot O$ 外
。答案
当OP=6 cm时，OA=3 cm＜4 cm，所以点A在⊙O内；当OP=8 cm时，OA=4 cm，所以点A在⊙O上；当OP=10 cm时，OA=5 cm＞4 cm，所以点A在⊙O外
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题中已知$A$是$OP$的中点，可得$OA=\frac{1}{2}OP$，$\odot O$的半径$r=4\mathrm{cm}$，因此只需分别计算三种情况下$OA$的长度，再与$r$比较就能确定点$A$的位置。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=4\mathrm{cm}$，
$\because A$是线段$OP$的中点，$\therefore OA=\frac{1}{2}OP$。
1. 当$OP=6\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，
$\because 3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，即$d＜r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$内；
2. 当$OP=8\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
$\because 4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，即$d=r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$上；
3. 当$OP=10\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$，
$\because 5\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，即$d＞r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外。
【答案】
内；上；外
【知识点】
中点的性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础题型，核心考查点和圆位置关系的判断规则，结合中点性质计算点到圆心的距离即可求解，属于基础概念的直接应用类习题。
【难度系数】
0.9
要判断点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：若$d＜r$，点在圆内；若$d=r$，点在圆上；若$d＞r$，点在圆外。本题中已知$A$是$OP$的中点，可得$OA=\frac{1}{2}OP$，$\odot O$的半径$r=4\mathrm{cm}$，因此只需分别计算三种情况下$OA$的长度，再与$r$比较就能确定点$A$的位置。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=4\mathrm{cm}$，
$\because A$是线段$OP$的中点，$\therefore OA=\frac{1}{2}OP$。
1. 当$OP=6\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，
$\because 3\mathrm{cm}＜4\mathrm{cm}$，即$d＜r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$内；
2. 当$OP=8\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{cm}$，
$\because 4\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$，即$d=r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$上；
3. 当$OP=10\mathrm{cm}$时，$OA=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$，
$\because 5\mathrm{cm}＞4\mathrm{cm}$，即$d＞r$，$\therefore$点$A$在$\odot O$外。
【答案】
内；上；外
【知识点】
中点的性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础题型，核心考查点和圆位置关系的判断规则，结合中点性质计算点到圆心的距离即可求解，属于基础概念的直接应用类习题。
【难度系数】
0.9
例2 在平面上给定一个点O，用图形表示到点O的距离大于或等于2 cm，并且小于或等于3 cm的点的集合。
答案
阴影部分即为所求
解析
【分析】
首先回顾圆的集合定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，定点为圆心，定长为半径。接下来拆解题目两个限制条件：①到点O的距离≥2cm；②到点O的距离≤3cm。先分别找到每个条件对应的点的集合：到O距离等于2cm的点构成半径为2cm的圆，距离≥2cm的点就是该圆的外部（含圆周）；到O距离等于3cm的点构成半径为3cm的圆，距离≤3cm的点就是该圆的内部（含圆周）。两个集合的公共部分就是所求的点的集合，即包含边界的圆环。
【解析】
根据圆的集合定义逐步推导：
1. 到点O的距离等于2cm的点的集合，是以O为圆心、2cm为半径的圆，因此到O的距离大于或等于2cm的点的集合，是该圆的外部（包含圆上所有点）；
2. 到点O的距离等于3cm的点的集合，是以O为圆心、3cm为半径的圆，因此到O的距离小于或等于3cm的点的集合，是该圆的内部（包含圆上所有点）；
3. 同时满足两个条件的点的集合为上述两个集合的公共部分，即以O为圆心，2cm、3cm分别为内、外半径的圆环（包含内外两个圆周），对应题图的阴影部分。
【答案】
阴影部分即为所求
【知识点】
圆的定义、点与圆的位置关系、集合表示
【点评】
本题考查基础概念的应用，需要熟练掌握圆的集合定义，学会拆解题目限制条件找到对应点的集合，解题时要注意题干中“等于”的要求，不能遗漏圆环的内外边界。
【难度系数】
0.8
首先回顾圆的集合定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，定点为圆心，定长为半径。接下来拆解题目两个限制条件：①到点O的距离≥2cm；②到点O的距离≤3cm。先分别找到每个条件对应的点的集合：到O距离等于2cm的点构成半径为2cm的圆，距离≥2cm的点就是该圆的外部（含圆周）；到O距离等于3cm的点构成半径为3cm的圆，距离≤3cm的点就是该圆的内部（含圆周）。两个集合的公共部分就是所求的点的集合，即包含边界的圆环。
【解析】
根据圆的集合定义逐步推导：
1. 到点O的距离等于2cm的点的集合，是以O为圆心、2cm为半径的圆，因此到O的距离大于或等于2cm的点的集合，是该圆的外部（包含圆上所有点）；
2. 到点O的距离等于3cm的点的集合，是以O为圆心、3cm为半径的圆，因此到O的距离小于或等于3cm的点的集合，是该圆的内部（包含圆上所有点）；
3. 同时满足两个条件的点的集合为上述两个集合的公共部分，即以O为圆心，2cm、3cm分别为内、外半径的圆环（包含内外两个圆周），对应题图的阴影部分。
【答案】
阴影部分即为所求
【知识点】
圆的定义、点与圆的位置关系、集合表示
【点评】
本题考查基础概念的应用，需要熟练掌握圆的集合定义，学会拆解题目限制条件找到对应点的集合，解题时要注意题干中“等于”的要求，不能遗漏圆环的内外边界。
【难度系数】
0.8
(1) 已知$\odot A$的直径为8 cm，且点B在$\odot A$上，那么AB=
4
cm.答案
4
解析
【分析】
解题时首先明确⊙A的圆心是点A，结合直径与半径的数量关系先求出圆的半径；再根据点在圆上的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵⊙A的直径为8cm，
∴⊙A的半径为 $ 8÷2=4\ \mathrm{cm} $，
又
∵点B在⊙A上，
∴AB的长度等于⊙A的半径，即AB=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的基本概念，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，直接考察圆的半径与直径的关系以及点在圆上的性质，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确⊙A的圆心是点A，结合直径与半径的数量关系先求出圆的半径；再根据点在圆上的性质：圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵⊙A的直径为8cm，
∴⊙A的半径为 $ 8÷2=4\ \mathrm{cm} $，
又
∵点B在⊙A上，
∴AB的长度等于⊙A的半径，即AB=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的基本概念，点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，直接考察圆的半径与直径的关系以及点在圆上的性质，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(2)已知$\odot O$的半径是3 cm，且$OP=2\ \mathrm{cm}$，$OQ=3\ \mathrm{cm}$，则点$P$，$Q$与$\odot O$的位置关系是：点$P$在$\odot O$
内
，点$Q$在$\odot O$ 上
。答案
内，上
解析
【分析】
解题前先明确点与圆的位置关系判定规则：通过比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断位置，若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题已知圆的半径r=3cm，只需要分别将OP、OQ的长度和r做大小比较，就能对应得到两点和圆的位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$。
判断点P的位置：$OP=2\ \mathrm{cm}$，因为$2\ \mathrm{cm}＜3\ \mathrm{cm}$，即$OP＜r$，所以点P在$\odot O$内；
判断点Q的位置：$OQ=3\ \mathrm{cm}$，因为$3\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}$，即$OQ=r$，所以点Q在$\odot O$上。
【答案】
内，上
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考查题，直接对应点与圆位置关系的判定规则，只要掌握距离和半径的比较方法即可快速解答，用于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
解题前先明确点与圆的位置关系判定规则：通过比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断位置，若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题已知圆的半径r=3cm，只需要分别将OP、OQ的长度和r做大小比较，就能对应得到两点和圆的位置关系。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$。
判断点P的位置：$OP=2\ \mathrm{cm}$，因为$2\ \mathrm{cm}＜3\ \mathrm{cm}$，即$OP＜r$，所以点P在$\odot O$内；
判断点Q的位置：$OQ=3\ \mathrm{cm}$，因为$3\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}$，即$OQ=r$，所以点Q在$\odot O$上。
【答案】
内，上
【知识点】
点与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础考查题，直接对应点与圆位置关系的判定规则，只要掌握距离和半径的比较方法即可快速解答，用于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
(3) 正方形ABCD的边长为1 cm，对角线AC，BD相交于点O，以点A为圆心，1 cm长为半径画圆，则点B，C，D，O与$\odot A$的位置关系为：点B在$\odot A$
上
，点C在$\odot A$ 外
，点D在$\odot A$ 上
，点O在$\odot A$ 内
。答案
上，外，上，内
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系：d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外；d＜r时，点在圆内。本题中⊙A的半径r=1cm，圆心为A，我们只需要结合正方形的性质分别计算点B、C、D、O到点A的距离，再和r=1cm比较，就能得出各点的位置。
【解析】
已知正方形ABCD边长为1cm，⊙A的半径r=1cm，根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 点B到A的距离AB为正方形的边长，即AB=1cm，d=AB=r，因此点B在⊙A上；
2. 由勾股定理可得正方形对角线AC=√(AB²+BC²)=√(1²+1²)=√2 cm≈1.414cm＞1cm，即d=AC＞r，因此点C在⊙A外；
3. 点D到A的距离AD为正方形的边长，即AD=1cm，d=AD=r，因此点D在⊙A上；
4. 正方形对角线互相平分，O是AC中点，因此AO=AC/2=√2/2 cm≈0.707cm＜1cm，即d=AO＜r，因此点O在⊙A内。
【答案】
上，外，上，内
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于点与圆位置关系的基础考察题，解题的关键是牢记点与圆三类位置关系的判定标准，结合常见几何图形的性质计算点到圆心的距离进行比较即可。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小关系：d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外；d＜r时，点在圆内。本题中⊙A的半径r=1cm，圆心为A，我们只需要结合正方形的性质分别计算点B、C、D、O到点A的距离，再和r=1cm比较，就能得出各点的位置。
【解析】
已知正方形ABCD边长为1cm，⊙A的半径r=1cm，根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 点B到A的距离AB为正方形的边长，即AB=1cm，d=AB=r，因此点B在⊙A上；
2. 由勾股定理可得正方形对角线AC=√(AB²+BC²)=√(1²+1²)=√2 cm≈1.414cm＞1cm，即d=AC＞r，因此点C在⊙A外；
3. 点D到A的距离AD为正方形的边长，即AD=1cm，d=AD=r，因此点D在⊙A上；
4. 正方形对角线互相平分，O是AC中点，因此AO=AC/2=√2/2 cm≈0.707cm＜1cm，即d=AO＜r，因此点O在⊙A内。
【答案】
上，外，上，内
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于点与圆位置关系的基础考察题，解题的关键是牢记点与圆三类位置关系的判定标准，结合常见几何图形的性质计算点到圆心的距离进行比较即可。
【难度系数】
0.8
