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4. 如图，AB是$\odot O$的直径，BD是$\odot O$的弦，延长BD到点C，使$AC=AB$. 求证:$BD=CD$. 
(第4题)
(第4题)答案
4. 连接 AD. $\because$ AB 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$,即 $AD⊥ BC. \because AC=AB,\therefore BD=CD$
解析
【分析】
要证明BD=CD，已知AC=AB，即△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AD垂直于BC即可。结合AB是$\odot O$的直径的条件，由“直径所对的圆周角是直角”这一推论，可通过连接辅助线AD得到$∠ ADB=90°$，从而得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，即可推出BD=CD。
【解析】
证明：连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$AC=AB$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD$。
【答案】
连接 AD. $\because$ AB 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$,即 $AD⊥ BC. \because AC=AB,\therefore BD=CD$
【知识点】
圆周角定理推论；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础几何证明题，是圆与三角形性质结合的典型考题，解题的关键是合理作出辅助线AD，结合直径对应的圆周角为直角的性质得到垂直关系，再利用等腰三角形三线合一的性质即可完成证明，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.9
要证明BD=CD，已知AC=AB，即△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AD垂直于BC即可。结合AB是$\odot O$的直径的条件，由“直径所对的圆周角是直角”这一推论，可通过连接辅助线AD得到$∠ ADB=90°$，从而得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，即可推出BD=CD。
【解析】
证明：连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$，
又
∵$AC=AB$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=CD$。
【答案】
连接 AD. $\because$ AB 是$\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$,即 $AD⊥ BC. \because AC=AB,\therefore BD=CD$
【知识点】
圆周角定理推论；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础几何证明题，是圆与三角形性质结合的典型考题，解题的关键是合理作出辅助线AD，结合直径对应的圆周角为直角的性质得到垂直关系，再利用等腰三角形三线合一的性质即可完成证明，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.9
5. 如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.
答案
5. 提示:由$∠ DBC=∠ DAC,∠ DCB=∠ EAD,∠ DAC=∠ EAD.$易证得$∠ DBC=∠ DCB$,从而 $DB=DC$
解析
【分析】
要证明DB=DC，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定，证明∠DBC=∠DCB即可。首先结合角平分线的性质得到∠EAD=∠DAC，再利用圆周角定理、圆内接四边形的性质，分别推导出∠DBC=∠DAC、∠DCB=∠EAD，最后通过等量代换得到待证的等角关系，即可完成证明。
【解析】
证明：
1.
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC（角平分线的定义）。
2.
∵∠DAC和∠DBC都是弧DC所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC（同弧所对的圆周角相等）。
3.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
又
∵∠EAD+∠DAB=180°（平角的定义），
∴∠EAD=∠DCB（同角的补角相等）。
4. 结合上述结论，等量代换得：∠DBC=∠DCB。
5.
∴DB=DC（等角对等边）。
【答案】
DB=DC，得证。
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，解题关键是熟练掌握圆周角、圆内接四边形的相关性质，结合角平分线、等腰三角形判定定理即可求解。
【难度系数】
0.7
要证明DB=DC，可通过等腰三角形“等角对等边”的判定，证明∠DBC=∠DCB即可。首先结合角平分线的性质得到∠EAD=∠DAC，再利用圆周角定理、圆内接四边形的性质，分别推导出∠DBC=∠DAC、∠DCB=∠EAD，最后通过等量代换得到待证的等角关系，即可完成证明。
【解析】
证明：
1.
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC（角平分线的定义）。
2.
∵∠DAC和∠DBC都是弧DC所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC（同弧所对的圆周角相等）。
3.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
又
∵∠EAD+∠DAB=180°（平角的定义），
∴∠EAD=∠DCB（同角的补角相等）。
4. 结合上述结论，等量代换得：∠DBC=∠DCB。
5.
∴DB=DC（等角对等边）。
【答案】
DB=DC，得证。
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，解题关键是熟练掌握圆周角、圆内接四边形的相关性质，结合角平分线、等腰三角形判定定理即可求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB，AC是$\odot O$的两条相等的弦，延长CA到点D，使$AD=AC$，连接DB并延长，交$\odot O$于点E，连接CE. 求证：CE是$\odot O$的直径.
答案
6. 提示:连接 BC,易证$∠ CBD=90°$
解析
【分析】
要证明CE是$\odot O$的直径，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明CE所对的圆周角$∠ CBE$为90°即可。解题时先连接辅助线BC，结合已知$AB=AC$、$AD=AC$的条件，推导$△ BCD$的形状得到直角，再利用邻补角的性质得到$∠ CBE=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接BC
$\because AB=AC$，$AD=AC$
$\therefore AB=AC=AD$，即点A为CD中点，且$AB=\frac{1}{2}CD$
根据直角三角形的判定定理：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形，可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$
$\because$点D、B、E共线
$\therefore ∠ CBD + ∠ CBE = 180°$
$\therefore ∠ CBE=180°-90°=90°$
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可得CE是$\odot O$的直径。
【答案】
CE是$\odot O$的直径，证明成立。
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形判定，邻补角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心考察圆周角定理推论的应用，解题的关键是正确构造辅助线BC，通过三角形特征得到90°圆周角，进而推导出弦为直径，对学生的辅助线构造能力和基础定理应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
要证明CE是$\odot O$的直径，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需证明CE所对的圆周角$∠ CBE$为90°即可。解题时先连接辅助线BC，结合已知$AB=AC$、$AD=AC$的条件，推导$△ BCD$的形状得到直角，再利用邻补角的性质得到$∠ CBE=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接BC
$\because AB=AC$，$AD=AC$
$\therefore AB=AC=AD$，即点A为CD中点，且$AB=\frac{1}{2}CD$
根据直角三角形的判定定理：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形，可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$
$\because$点D、B、E共线
$\therefore ∠ CBD + ∠ CBE = 180°$
$\therefore ∠ CBE=180°-90°=90°$
根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是圆的直径，可得CE是$\odot O$的直径。
【答案】
CE是$\odot O$的直径，证明成立。
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形判定，邻补角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心考察圆周角定理推论的应用，解题的关键是正确构造辅助线BC，通过三角形特征得到90°圆周角，进而推导出弦为直径，对学生的辅助线构造能力和基础定理应用能力有一定考察。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$. 以$AC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$.
(1) 求证：$△ BDE$为等腰三角形.
(2) 连接$OB$，若$OB⊥ DE$，求证：$△ ABC$是等边三角形.
(1) 求证：$△ BDE$为等腰三角形.
(2) 连接$OB$，若$OB⊥ DE$，求证：$△ ABC$是等边三角形.
答案
7. 提示:(1) 由$∠ BDE=∠ C$可证$△ BDE$是等腰三角形 (2) 根据垂径定理,可证 $BD=BE$,由$△ BDE$是等边三角形,易证$△ ABC$是等边三角形
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE为等腰三角形，需证该三角形有两个角相等或两条边相等。首先利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，可得∠BDE=∠C；再结合已知AB=AC，等腰△ABC中∠B=∠C，等量代换得到∠B=∠BDE，即可推出BE=DE，证得△BDE为等腰三角形。
(2) 已知AB=AC，要证△ABC是等边三角形，只需证明△ABC有一个内角为60°即可。首先D、E均在⊙O上，DE是⊙O的弦，OB过圆心且垂直DE，根据垂径定理可知OB垂直平分DE，进而得到BD=BE；结合(1)的结论BE=DE，可推出△BDE是等边三角形，得到∠B=60°，即可证得等腰△ABC是等边三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ACED是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BDE = ∠C（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
又
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠B = ∠BDE，
∴ BE = DE，
∴ △BDE为等腰三角形。
(2) 证明：
∵ D、E都在⊙O上，
∴ DE是⊙O的弦，
∵ OB⊥DE，且OB过圆心O，
∴ 根据垂径定理，OB垂直平分DE，
∴ 点B在DE的垂直平分线上，故BD=BE，
由(1)知△BDE为等腰三角形，BE=DE，
∴ BD = BE = DE，即△BDE是等边三角形，
∴ ∠B = 60°，
又
∵ AB = AC，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) △BDE为等腰三角形，得证；
(2) △ABC是等边三角形，得证。
【知识点】
圆内接四边形性质，垂径定理，等边三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题型，侧重考查基础性质的综合应用，解题时需要注意挖掘图形中隐含的边、角等量关系，熟练掌握相关定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BDE为等腰三角形，需证该三角形有两个角相等或两条边相等。首先利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，可得∠BDE=∠C；再结合已知AB=AC，等腰△ABC中∠B=∠C，等量代换得到∠B=∠BDE，即可推出BE=DE，证得△BDE为等腰三角形。
(2) 已知AB=AC，要证△ABC是等边三角形，只需证明△ABC有一个内角为60°即可。首先D、E均在⊙O上，DE是⊙O的弦，OB过圆心且垂直DE，根据垂径定理可知OB垂直平分DE，进而得到BD=BE；结合(1)的结论BE=DE，可推出△BDE是等边三角形，得到∠B=60°，即可证得等腰△ABC是等边三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ACED是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BDE = ∠C（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
又
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C，
∴ ∠B = ∠BDE，
∴ BE = DE，
∴ △BDE为等腰三角形。
(2) 证明：
∵ D、E都在⊙O上，
∴ DE是⊙O的弦，
∵ OB⊥DE，且OB过圆心O，
∴ 根据垂径定理，OB垂直平分DE，
∴ 点B在DE的垂直平分线上，故BD=BE，
由(1)知△BDE为等腰三角形，BE=DE，
∴ BD = BE = DE，即△BDE是等边三角形，
∴ ∠B = 60°，
又
∵ AB = AC，
∴ △ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
(1) △BDE为等腰三角形，得证；
(2) △ABC是等边三角形，得证。
【知识点】
圆内接四边形性质，垂径定理，等边三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型基础题型，侧重考查基础性质的综合应用，解题时需要注意挖掘图形中隐含的边、角等量关系，熟练掌握相关定理即可快速推导结论。
【难度系数】
0.7
