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1. [2025宿迁中考]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,2),将线段OA绕点O逆时针旋转90°得线段OA',则点A'的坐标为 (
A.(-3,2)
B.(-2,3)
C.(3,-2)
D.(2,-3)
B
)A.(-3,2)
B.(-2,3)
C.(3,-2)
D.(2,-3)
答案
1 B 如图,过点 A 作 $AB⊥ x$ 轴于点 $B$,过点 $A'$ 作 $A'C⊥ y$ 轴于点 $C$,则 $∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$. 根据旋转的性质,可知 $∠ AOA' = 90°$,$A'O = AO$,$\therefore ∠ COA + ∠ A'OC = 90°$. $\because ∠ COA + ∠ AOB = 90°$,$\therefore ∠ A'OC = ∠ AOB$. 在 $△ A'CO$ 和 $△ ABO$ 中,
$\begin{cases}∠ A'CO = ∠ ABO, \\∠ A'OC = ∠ AOB, \\A'O = AO,\end{cases}$$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO$ (AAS),$\therefore A'C = AB$,
$OC = OB$. $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$,$\therefore AB = 2$,$OB = 3$,$\therefore A'C = 2$,$OC = 3$,$\therefore$ 点 $A'$ 的坐标为 $(-2,3)$.
解析
【分析】
本题要求线段OA绕原点逆时针旋转90°后点A'的坐标，可从旋转的性质入手思考：旋转前后对应线段长度相等，旋转角为90°，此时通过向坐标轴作垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合直角相等和旋转后对应边相等的性质，可证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到A'到坐标轴的距离，最后结合A'所在的象限确定坐标的正负，即可求出A'的坐标。
【解析】
过点A作$AB⊥x$轴于点B，过点$A'$作$A'C⊥y$轴于点C，则$∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$。
根据旋转的性质，可知$∠ AOA' = 90°$，$A'O = AO$，因此$∠ COA + ∠ A'OC = 90°$。
又$\because ∠ COA + ∠ AOB = 90°$，$\therefore ∠ A'OC = ∠ AOB$。
在$△ A'CO$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ A'CO = ∠ ABO \\∠ A'OC = ∠ AOB \\A'O = AO\end{cases}$
$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO$（AAS），$\therefore A'C = AB$，$OC = OB$。
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，$\therefore AB = 2$，$OB = 3$，即$A'C = 2$，$OC = 3$。
又$\because$点$A'$在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，因此点$A'$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】B
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是坐标与图形变化（旋转）的常规考题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度，结合旋转性质和象限内坐标的符号特征求解，掌握构造全等三角形的方法能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
本题要求线段OA绕原点逆时针旋转90°后点A'的坐标，可从旋转的性质入手思考：旋转前后对应线段长度相等，旋转角为90°，此时通过向坐标轴作垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等得到一组对应角相等，结合直角相等和旋转后对应边相等的性质，可证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到A'到坐标轴的距离，最后结合A'所在的象限确定坐标的正负，即可求出A'的坐标。
【解析】
过点A作$AB⊥x$轴于点B，过点$A'$作$A'C⊥y$轴于点C，则$∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$。
根据旋转的性质，可知$∠ AOA' = 90°$，$A'O = AO$，因此$∠ COA + ∠ A'OC = 90°$。
又$\because ∠ COA + ∠ AOB = 90°$，$\therefore ∠ A'OC = ∠ AOB$。
在$△ A'CO$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ A'CO = ∠ ABO \\∠ A'OC = ∠ AOB \\A'O = AO\end{cases}$
$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO$（AAS），$\therefore A'C = AB$，$OC = OB$。
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，$\therefore AB = 2$，$OB = 3$，即$A'C = 2$，$OC = 3$。
又$\because$点$A'$在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，因此点$A'$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】B
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题是坐标与图形变化（旋转）的常规考题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度，结合旋转性质和象限内坐标的符号特征求解，掌握构造全等三角形的方法能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
2. [2025陕西中考B卷]如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为（
A.10
B.8
C.5
D.4
C
）A.10
B.8
C.5
D.4
答案
2 C 根据题意可得 $S_{△ CEF} = \frac{1}{2}CE · EF$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB = BC = 4$,$∠ A = ∠ B = 90°$. $\because$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore AE = BE = \frac{1}{2}AB = 2$. 在 $Rt△ BCE$ 中,$CE = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$. $\because ∠ BCE + ∠ BEC = 90°$,$∠ AEF + ∠ BEC = 90°$,$\therefore ∠ BCE = ∠ AEF$. 又 $\because ∠ A = ∠ B$,$\therefore △ AEF ∽ △ BCE$,
$\therefore \frac{AE}{BC} = \frac{EF}{CE}$,$\therefore EF = \frac{AE · CE}{BC} = \frac{2 × 2\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$,$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$.
$\therefore \frac{AE}{BC} = \frac{EF}{CE}$,$\therefore EF = \frac{AE · CE}{BC} = \frac{2 × 2\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$,$\therefore S_{△ CEF} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$.
解析
【分析】
要求直角△CEF的面积，已知其直角边为CE和EF，因此只需算出这两条边的长度即可。第一步，结合正方形边长为4、E为AB中点的条件，利用勾股定理先算出CE的长度；第二步，根据EF⊥EC和正方形的直角，通过同角的余角相等推出对应角相等，证明△AEF∽△BCE，再利用相似三角形对应边成比例求出EF的长度；第三步，代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB=BC=4，∠A=∠B=90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠BEC=180°-∠CEF=90°，
又
∵Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BCE=∠AEF，
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{CE}$，
代入数值：$\frac{2}{4}=\frac{EF}{2\sqrt{5}}$，
解得$EF=\sqrt{5}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}·CE·EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过角度关系推导证明三角形相似，结合勾股定理求出线段长度，考查学生的逻辑推理能力和几何计算能力，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
要求直角△CEF的面积，已知其直角边为CE和EF，因此只需算出这两条边的长度即可。第一步，结合正方形边长为4、E为AB中点的条件，利用勾股定理先算出CE的长度；第二步，根据EF⊥EC和正方形的直角，通过同角的余角相等推出对应角相等，证明△AEF∽△BCE，再利用相似三角形对应边成比例求出EF的长度；第三步，代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AB=BC=4，∠A=∠B=90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠BEC=180°-∠CEF=90°，
又
∵Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BCE=∠AEF，
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{CE}$，
代入数值：$\frac{2}{4}=\frac{EF}{2\sqrt{5}}$，
解得$EF=\sqrt{5}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}·CE·EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过角度关系推导证明三角形相似，结合勾股定理求出线段长度，考查学生的逻辑推理能力和几何计算能力，是平面几何的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. [2025威海中考] 如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE. 下列结论错误的是 (
A.$S_{△ DEF} = \frac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF} = \frac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC} = S_{△ AEB}$
B
)A.$S_{△ DEF} = \frac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF} = \frac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC} = S_{△ AEB}$
答案
3 B $\because BE,CD$ 为 $△ ABC$ 的中线,$\therefore$ 点 $F$ 为 $△ ABC$ 的重心,$DE// BC$ 且 $DE = \frac{1}{2}BC$. 选项 A 中,$\because DE// BC$,$\therefore △ DEF ∽ △ CBF$. $\because DE = \frac{1}{2}BC$,$\therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CBF}} = (\frac{DE}{BC})^2 = \frac{1}{4}$,$\therefore S_{△ DEF} = \frac{1}{4}S_{△ BCF}$. 选项 B 中,$\because DE// BC$,$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$. $\because DE = \frac{1}{2}BC$,$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{DE}{BC})^2 = \frac{1}{4}$,$\therefore S_{△ ADE} = \frac{1}{4}S_{△ ABC}$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}BCED} = \frac{3}{4}S_{△ ABC}$,$\therefore S_{△ ADE} = \frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED}$. 选项 C 中,$\because$ 点 $F$ 为 $△ ABC$ 的重心,$\therefore CF = 2DF$(重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 $\frac{1}{3}$),$\therefore S_{△ DBF} = \frac{1}{2}S_{△ BCF}$. 选项 D 中,$\because DE// BC$,$\therefore S_{△ DBE} = S_{△ DCE}$. $\because S_{△ ADC} = S_{△ ADE} + S_{△ DCE}$,$S_{△ AEB} = S_{△ ADE} + S_{△ DBE}$,$\therefore S_{△ ADC} = S_{△ AEB}$.
解析
【分析】
首先根据题干中BE、CD是△ABC的中线，可得D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，F是△ABC的重心。解题时结合三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质、重心的性质以及同高三角形面积比等于底的比的规律，逐一分析四个选项，找出结论错误的选项即可。
【解析】
∵BE、CD为△ABC的中线，
∴D是AB中点，E是AC中点，点F是△ABC的重心，且DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
选项A：
∵DE//BC，
∴∠EDF=∠BCF，∠DEF=∠CBF，
∴△DEF∽△CBF，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，相似三角形面积比为相似比的平方，因此$\frac{S_{△DEF}}{S_{△CBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△DEF}=\frac{1}{4}S_{△BCF}$，该选项结论正确。
选项B：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ADE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，则$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=\frac{3}{4}S_{△ABC}$，因此$S_{△ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}$，该选项结论错误。
选项C：
∵点F是△ABC的重心，
∴重心分中线的比为DF:FC=1:2，△DBF和△BCF同高，面积比等于底的比，因此$\frac{S_{△DBF}}{S_{△BCF}}=\frac{DF}{FC}=\frac{1}{2}$，即$S_{△DBF}=\frac{1}{2}S_{△BCF}$，该选项结论正确。
选项D：
∵CD是△ABC的中线，
∴$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；
∵BE是△ABC的中线，
∴$S_{△AEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，因此$S_{△ADC}=S_{△AEB}$，该选项结论正确。
综上，结论错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、中位线、重心的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握同高三角形面积与底的比例关系、相似三角形面积比与相似比的关系，逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.65
首先根据题干中BE、CD是△ABC的中线，可得D、E分别是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，F是△ABC的重心。解题时结合三角形中位线性质、相似三角形的判定与性质、重心的性质以及同高三角形面积比等于底的比的规律，逐一分析四个选项，找出结论错误的选项即可。
【解析】
∵BE、CD为△ABC的中线，
∴D是AB中点，E是AC中点，点F是△ABC的重心，且DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，$DE=\frac{1}{2}BC$。
选项A：
∵DE//BC，
∴∠EDF=∠BCF，∠DEF=∠CBF，
∴△DEF∽△CBF，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，相似三角形面积比为相似比的平方，因此$\frac{S_{△DEF}}{S_{△CBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△DEF}=\frac{1}{4}S_{△BCF}$，该选项结论正确。
选项B：
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ADE}=\frac{1}{4}S_{△ABC}$，则$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=\frac{3}{4}S_{△ABC}$，因此$S_{△ADE}=\frac{1}{3}S_{四边形BCED}$，该选项结论错误。
选项C：
∵点F是△ABC的重心，
∴重心分中线的比为DF:FC=1:2，△DBF和△BCF同高，面积比等于底的比，因此$\frac{S_{△DBF}}{S_{△BCF}}=\frac{DF}{FC}=\frac{1}{2}$，即$S_{△DBF}=\frac{1}{2}S_{△BCF}$，该选项结论正确。
选项D：
∵CD是△ABC的中线，
∴$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$；
∵BE是△ABC的中线，
∴$S_{△AEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，因此$S_{△ADC}=S_{△AEB}$，该选项结论正确。
综上，结论错误的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中线、中位线、重心的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握同高三角形面积与底的比例关系、相似三角形面积比与相似比的关系，逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.65
4. [2025绥化中考]在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(-9,-21)，则△ABC与△A'B'C'的相似比为
$\frac{1}{3}$
.答案
4 $\frac{1}{3}$ $\because$ 点 $A$ 和它的对应点 $A'$ 的坐标分别为 $(3,7)$,$(-9,-21)$,$\therefore △ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 的相似比为 $\frac{3}{|-9|} = \frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握位似图形的坐标变化规律和相似比的定义。首先，以原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标的比的绝对值等于位似比；其次要明确相似比的顺序：本题要求的是△ABC与△A'B'C'的相似比，即原图形与放大后图形的对应边之比，因此需要用原图形对应点的坐标绝对值除以新图形对应点的坐标绝对值计算，不要搞反两者的顺序。
【解析】
已知△ABC的顶点A坐标为(3,7)，位似变换后对应点A'的坐标为(-9,-21)，根据位似图形的性质，△ABC与△A'B'C'的相似比为原图形与新图形对应点坐标绝对值的比：
$\frac{|3|}{|-9|}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（用纵坐标验证：$\frac{|7|}{|-21|}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
位似图形的坐标性质，相似比的定义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查位似变换中相似比的计算，解题时要注意相似比的先后顺序，同时要规避坐标符号的干扰，取坐标的绝对值计算即可。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握位似图形的坐标变化规律和相似比的定义。首先，以原点为位似中心的位似变换中，对应点坐标的比的绝对值等于位似比；其次要明确相似比的顺序：本题要求的是△ABC与△A'B'C'的相似比，即原图形与放大后图形的对应边之比，因此需要用原图形对应点的坐标绝对值除以新图形对应点的坐标绝对值计算，不要搞反两者的顺序。
【解析】
已知△ABC的顶点A坐标为(3,7)，位似变换后对应点A'的坐标为(-9,-21)，根据位似图形的性质，△ABC与△A'B'C'的相似比为原图形与新图形对应点坐标绝对值的比：
$\frac{|3|}{|-9|}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（用纵坐标验证：$\frac{|7|}{|-21|}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，结果一致）
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
位似图形的坐标性质，相似比的定义
【点评】
本题是基础类题型，主要考查位似变换中相似比的计算，解题时要注意相似比的先后顺序，同时要规避坐标符号的干扰，取坐标的绝对值计算即可。
【难度系数】
0.7
5. [2025南京中考] 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $CD$ 是边 $AB$ 上的高, $\frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$, 则 $\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}}$ 的值是
$\frac{1}{5}$
。答案
5 $\frac{1}{5}$ $\because ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ B + ∠ BCD = 90°$,$\therefore ∠ ACD = ∠ B$. 又 $\because ∠ A = ∠ A$,$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$,$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2$.
$\because \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$,$\therefore$ 设 $AD = k$,$CD = 2k$, 根据勾股定理可得 $AC = \sqrt{k^2 + 4k^2} = \sqrt{5}k$,$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2 = \frac{1}{5}$.
$\because \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$,$\therefore$ 设 $AD = k$,$CD = 2k$, 根据勾股定理可得 $AC = \sqrt{k^2 + 4k^2} = \sqrt{5}k$,$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2 = \frac{1}{5}$.
解析
【分析】
遇到含斜边上高的直角三角形图形时，首先可通过同角的余角相等推导相等的角，进而判定三角形相似；相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此要求两个三角形的面积比，只需先求出对应边的相似比即可；已知AD与CD的比值，可通过设参数结合勾股定理求出AC的长度，得到对应边的比值后代入面积比公式就能算出结果。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，
∴$∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∵$∠ ACD+∠ BCD=90°$，$∠ B+∠ BCD=90°$，
∴$∠ ACD=∠ B$，
又
∵$∠ A=∠ A$，
∴$△ ACD ∽ △ ABC$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2$。
已知$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，设$AD=k$，则$CD=2k$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用直角三角形的性质推导等角证明三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系、勾股定理求解，设参数计算边长比是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
遇到含斜边上高的直角三角形图形时，首先可通过同角的余角相等推导相等的角，进而判定三角形相似；相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此要求两个三角形的面积比，只需先求出对应边的相似比即可；已知AD与CD的比值，可通过设参数结合勾股定理求出AC的长度，得到对应边的比值后代入面积比公式就能算出结果。
【解析】
解：
∵$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的高，
∴$∠ ADC=∠ ACB=90°$，
∵$∠ ACD+∠ BCD=90°$，$∠ B+∠ BCD=90°$，
∴$∠ ACD=∠ B$，
又
∵$∠ A=∠ A$，
∴$△ ACD ∽ △ ABC$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2$。
已知$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$，设$AD=k$，则$CD=2k$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABC}} = (\frac{\sqrt{5}}{5})^2=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用直角三角形的性质推导等角证明三角形相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系、勾股定理求解，设参数计算边长比是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
6. [2023广东中考]边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一条直线上(如图),则图中阴影部分的面积为
15
.答案
6 15 如图,$\because BF// DE$,$\therefore \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DE}$. $\because AB = 4$,$AD = 4 + 6 + 10 = 20$,$DE = 10$,$\therefore \frac{4}{20} = \frac{BF}{10}$,$\therefore BF = 2$,$\therefore GF = 6 - 2 = 4$.
$\because CK// DE$,$\therefore \frac{AC}{AD} = \frac{CK}{DE}$. $\because AC = 4 + 6 = 10$,$AD = 20$,$DE = 10$,
$\therefore \frac{10}{20} = \frac{CK}{10}$,$\therefore CK = 5$,$\therefore HK = 6 - 5 = 1$,$\therefore$ 梯形(阴影部分)的面积为 $\frac{1}{2}(HK + GF) · GH = \frac{1}{2} × (1 + 4) × 6 = 15$.
解析
【分析】
观察图形可知阴影部分为梯形，梯形的高等于边长为6的正方形的边长，因此只需计算出梯形的上底和下底长度即可求解面积。由于正方形的竖直边互相平行，可得CK、BF均平行于大正方形的边DE，可利用平行线分线段成比例（相似三角形的性质）分别求出BF、CK的长度，再用中间正方形的边长分别减去CK、BF得到梯形的上底HK和下底GF，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得三个正方形的边长分别为10、6、4，
则总长度$AD=10+6+4=20$，$AC=6+4=10$，$AB=4$，$DE=10$，阴影部分梯形的高$GH=6$。
① 求下底GF：
∵ $BF// DE$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}$，
代入数据：$\frac{4}{20}=\frac{BF}{10}$，解得$BF=2$，
∴ $GF=6-BF=6-2=4$。
② 求上底HK：
∵ $CK// DE$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{AC}{AD}=\frac{CK}{DE}$，
代入数据：$\frac{10}{20}=\frac{CK}{10}$，解得$CK=5$，
∴ $HK=6-CK=6-5=1$。
③ 计算阴影面积：
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(1+4)×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
相似三角形的性质，梯形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是典型的几何拼接图形求面积问题，解题关键是利用正方形边平行的性质得到相似关系，求出阴影部分的未知边长，侧重考查学生的图形观察能力和基础几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
观察图形可知阴影部分为梯形，梯形的高等于边长为6的正方形的边长，因此只需计算出梯形的上底和下底长度即可求解面积。由于正方形的竖直边互相平行，可得CK、BF均平行于大正方形的边DE，可利用平行线分线段成比例（相似三角形的性质）分别求出BF、CK的长度，再用中间正方形的边长分别减去CK、BF得到梯形的上底HK和下底GF，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：由题意得三个正方形的边长分别为10、6、4，
则总长度$AD=10+6+4=20$，$AC=6+4=10$，$AB=4$，$DE=10$，阴影部分梯形的高$GH=6$。
① 求下底GF：
∵ $BF// DE$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}$，
代入数据：$\frac{4}{20}=\frac{BF}{10}$，解得$BF=2$，
∴ $GF=6-BF=6-2=4$。
② 求上底HK：
∵ $CK// DE$，根据平行线分线段成比例，得$\frac{AC}{AD}=\frac{CK}{DE}$，
代入数据：$\frac{10}{20}=\frac{CK}{10}$，解得$CK=5$，
∴ $HK=6-CK=6-5=1$。
③ 计算阴影面积：
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(1+4)×6=15$。
【答案】
15
【知识点】
相似三角形的性质，梯形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是典型的几何拼接图形求面积问题，解题关键是利用正方形边平行的性质得到相似关系，求出阴影部分的未知边长，侧重考查学生的图形观察能力和基础几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 新考法 [2025黑龙江龙东地区中考] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=7$,$BC=9$,点$M$是$△ ABC$内部一点,连接$AM$,$BM$,$CM$.若$CM=3$,则$AM + \frac{1}{3}BM$的最小值为
$5\sqrt{2}$
.答案
7 $5\sqrt{2}$ 如图,在 $BC$ 上取一点 $G$,使 $CG = 1$. $\because BC = 9$,$CM = 3$,$\therefore \frac{CG}{CM} = \frac{CM}{BC} = \frac{1}{3}$. 又 $\because ∠ MCG = ∠ MCB$,$\therefore △ MCG ∽ △ BCM$,$\therefore \frac{MG}{BM} = \frac{CG}{CM} = \frac{1}{3}$,$\therefore MG = \frac{1}{3}BM$,$\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG ≥ AG$. $\because AC = 7$,$CG = 1$,$\therefore AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = 5\sqrt{2}$,$\therefore AM + \frac{1}{3}BM ≥ 5\sqrt{2}$,$\therefore$ 当点 $M$ 在 $AG$ 上时,$AM + \frac{1}{3}BM$ 取得最小值,为 $5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题为带系数的线段和最值问题，属于阿氏圆模型考点，解题思路如下：首先观察所求式子$AM+\frac{1}{3}BM$，存在系数$\frac{1}{3}$，需通过构造相似三角形将$\frac{1}{3}BM$转化为系数为1的线段；结合已知$CM=3$、$BC=9$，可得$\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$，因此在$BC$上取点$G$，使$\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，利用公共角可证$△ MCG$与$△ BCM$相似，得到$MG=\frac{1}{3}BM$，原式就转化为$AM+MG$；最后根据两点之间线段最短，$AM+MG$的最小值就是线段$AG$的长，用勾股定理计算$AG$即可得到结果。
【解析】
解：如图，在$BC$上取一点$G$，使$CG = 1$。
$\because BC = 9$，$CM = 3$，
$\therefore \frac{CG}{CM} = \frac{1}{3}$，$\frac{CM}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，即$\frac{CG}{CM} = \frac{CM}{BC}$。
又$\because ∠ MCG = ∠ BCM$，
$\therefore △ MCG ∽ △ BCM$，
$\therefore \frac{MG}{BM} = \frac{CG}{CM} = \frac{1}{3}$，即$MG = \frac{1}{3}BM$。
$\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG$。
根据两点之间线段最短，$AM + MG ≥ AG$，当$A$、$M$、$G$三点共线时取等号。
$\because ∠ ACB = 90°$，$AC = 7$，$CG = 1$，
$\therefore AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
即$AM + \frac{1}{3}BM$的最小值为$5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
阿氏圆最值模型；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是通过构造母子相似三角形完成带系数线段的转化，将复杂的线段和问题转化为两点之间线段最短的基础问题，需要熟练掌握相似构造的技巧，对几何模型的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
本题为带系数的线段和最值问题，属于阿氏圆模型考点，解题思路如下：首先观察所求式子$AM+\frac{1}{3}BM$，存在系数$\frac{1}{3}$，需通过构造相似三角形将$\frac{1}{3}BM$转化为系数为1的线段；结合已知$CM=3$、$BC=9$，可得$\frac{CM}{BC}=\frac{1}{3}$，因此在$BC$上取点$G$，使$\frac{CG}{CM}=\frac{1}{3}$，利用公共角可证$△ MCG$与$△ BCM$相似，得到$MG=\frac{1}{3}BM$，原式就转化为$AM+MG$；最后根据两点之间线段最短，$AM+MG$的最小值就是线段$AG$的长，用勾股定理计算$AG$即可得到结果。
【解析】
解：如图，在$BC$上取一点$G$，使$CG = 1$。
$\because BC = 9$，$CM = 3$，
$\therefore \frac{CG}{CM} = \frac{1}{3}$，$\frac{CM}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，即$\frac{CG}{CM} = \frac{CM}{BC}$。
又$\because ∠ MCG = ∠ BCM$，
$\therefore △ MCG ∽ △ BCM$，
$\therefore \frac{MG}{BM} = \frac{CG}{CM} = \frac{1}{3}$，即$MG = \frac{1}{3}BM$。
$\therefore AM + \frac{1}{3}BM = AM + MG$。
根据两点之间线段最短，$AM + MG ≥ AG$，当$A$、$M$、$G$三点共线时取等号。
$\because ∠ ACB = 90°$，$AC = 7$，$CG = 1$，
$\therefore AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
即$AM + \frac{1}{3}BM$的最小值为$5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
阿氏圆最值模型；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是通过构造母子相似三角形完成带系数线段的转化，将复杂的线段和问题转化为两点之间线段最短的基础问题，需要熟练掌握相似构造的技巧，对几何模型的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
8. [2025安徽中考]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A₁均为格点(网格线的交点).已知点A和A₁的坐标分别为(-1,-3)和(2,6).
(1)在所给的网格中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A₁B₁C₁,使得点A的对应点为A₁,请在所给的网格图中画出△A₁B₁C₁.
(1)在所给的网格中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A₁B₁C₁,使得点A的对应点为A₁,请在所给的网格图中画出△A₁B₁C₁.
答案
8 解:(1)如图,点 $D$ 即为所求,点 $D$ 的坐标为 $(-2,-1)$.
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
解析
【分析】
(1)要得到AB的中点D，首先结合网格确定点B的坐标，已知点A坐标，再利用中点坐标公式即可计算出D的坐标，最后在网格中描出对应点即可。
(2)已知位似中心为原点O，以及A和对应点A₁的坐标，先计算位似比，再根据原点为位似中心时的坐标变换规律，求出B、C对应点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可画出△A₁B₁C₁。
【解析】
(1)观察网格可得点B的坐标为$(-3,1)$，已知$A(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B坐标计算：
点D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，因此点D的坐标为$(-2,-1)$，在网格对应位置描出点D即可。
(2)已知$A(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，位似中心为原点O，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘以$-2$。
观察网格得点C坐标为$(-2,3)$，分别计算对应点坐标：
B的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
C的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，
在网格中描出$A_1(2,6)$、$B_1(6,-2)$、$C_1(4,-6)$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1)点D坐标为$(-2,-1)$，描点见图示；
(2)$△ A_1B_1C_1$作图见图示。
【知识点】
中点坐标公式，位似变换，坐标与图形性质
【点评】
本题属于坐标系基础作图类题目，难度较低，解题的关键是熟练掌握中点坐标的计算方法，以及原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，作图时要注意确认格点位置准确。
【难度系数】
0.8
(1)要得到AB的中点D，首先结合网格确定点B的坐标，已知点A坐标，再利用中点坐标公式即可计算出D的坐标，最后在网格中描出对应点即可。
(2)已知位似中心为原点O，以及A和对应点A₁的坐标，先计算位似比，再根据原点为位似中心时的坐标变换规律，求出B、C对应点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可画出△A₁B₁C₁。
【解析】
(1)观察网格可得点B的坐标为$(-3,1)$，已知$A(-1,-3)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则其中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、B坐标计算：
点D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，因此点D的坐标为$(-2,-1)$，在网格对应位置描出点D即可。
(2)已知$A(-1,-3)$的对应点为$A_1(2,6)$，位似中心为原点O，可得位似比$k=\frac{2}{-1}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘以$-2$。
观察网格得点C坐标为$(-2,3)$，分别计算对应点坐标：
B的对应点$B_1$坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
C的对应点$C_1$坐标为$(-2×(-2),3×(-2))=(4,-6)$，
在网格中描出$A_1(2,6)$、$B_1(6,-2)$、$C_1(4,-6)$，顺次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$。
【答案】
(1)点D坐标为$(-2,-1)$，描点见图示；
(2)$△ A_1B_1C_1$作图见图示。
【知识点】
中点坐标公式，位似变换，坐标与图形性质
【点评】
本题属于坐标系基础作图类题目，难度较低，解题的关键是熟练掌握中点坐标的计算方法，以及原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，作图时要注意确认格点位置准确。
【难度系数】
0.8
