9. [2023泰安中考] 如图，$△ ABC$，$△ CDE$是两个等腰直角三角形，$EF ⊥ AD$.
(1)当$AF=DF$时，求$∠ AED$的度数；
(2)求证：$△ EHG ∽ △ ADG$；
(3)求证：$\frac{AE}{EH}=\frac{AC}{HC}$.

9 (1)解:$\because △ ABC$ 和 $△ CDE$ 均是等腰直角三角形,
$\therefore ∠ ECD = 90°$,$∠ ACB = 45°$,$EC = DC$,
$\therefore ∠ ACD = 45°$,$\therefore AC$ 垂直平分 $ED$,$\therefore AE = AD$.
$\because EF ⊥ AD$,$AF = DF$,$\therefore AD = AE = ED$,$\therefore ∠ AED = 60°$.
(2)证明:由(1)知,$AC ⊥ ED$,$\therefore ∠ AGD = ∠ AGE = 90°$.
$\because EF ⊥ AD$,$\therefore ∠ AFE = 90°$,$\therefore ∠ AGE = ∠ AFE$.
$\because ∠ EHG = ∠ AHF$,$\therefore ∠ DAG = ∠ GEH$,$\therefore △ EHG ∽ △ ADG$.
(3)证明:由(2)知,$△ EHG ∽ △ ADG$,$\therefore \frac{AD}{EH} = \frac{AG}{EG} = \frac{DG}{HG}$
$\because AD = AE$,$\therefore \frac{AE}{EH} = \frac{AG}{EG} = \frac{DG}{HG}$
$\because ∠ ECD = 90°$,$EG = DG$,易得 $CG = EG = DG$,
$\therefore \frac{AE}{EH} = \frac{AG}{CG} = \frac{CG}{HG}$,$\therefore \frac{AE}{EH} = \frac{AC}{HC}$(成比例线段的等比性质:若$\frac{b}{a} = \frac{d}{c} = \frac{f}{e}$,则$\frac{b}{a} = \frac{d + f}{c + e}$).

【分析】
(1) 先利用等腰直角三角形的边、角性质，推出AC垂直平分ED，得到AE=AD；再结合EF⊥AD且AF=DF，可得EF是AD的垂直平分线，推出AE=ED，即可判定△AED为等边三角形，求出∠AED的度数。
(2) 要证三角形相似，需找两组对应角相等：由(1)得AC⊥ED，结合EF⊥AD可得两组直角相等，再通过同角的余角相等推出一组锐角相等，即可证明相似。
(3) 先借助(2)的相似结论得到对应边成比例，结合AD=AE替换边；再利用等腰直角三角形斜边上中线的性质，得到CG=EG=DG，替换比例式的对应边，最后用等比性质变形比例式，即可得到要证的结论。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC 和 △CDE 均是等腰直角三角形，
∴∠ECD = 90°，∠ACB = 45°，EC = DC，
∴∠ACD = 90°-45°=45°，即AC平分∠ECD，
又
∵EC=DC，
∴AC垂直平分ED，
∴AE = AD。
∵EF ⊥ AD，AF = DF，
∴EF是AD的垂直平分线，
∴AE=ED，
∴AD = AE = ED，即△AED是等边三角形，
∴∠AED = 60°。
(2) 证明：由(1)知，AC ⊥ ED，
∴∠AGD = ∠EGH = 90°，
∵EF ⊥ AD，
∴∠AFE = 90°，
∴∠HEG + ∠AHF = 90°，∠DAG + ∠AHF = 90°，
∴∠DAG = ∠GEH，
又
∵∠AGD = ∠EGH = 90°，
∴△EHG ∽ △ADG。
(3) 证明：由(2)知，△EHG ∽ △ADG，
∴$\frac{AD}{EH} = \frac{AG}{EG} = \frac{DG}{HG}$，
∵AD = AE，
∴$\frac{AE}{EH} = \frac{AG}{EG} = \frac{DG}{HG}$，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD=90°，G是ED中点，
∴CG是Rt△CDE斜边ED上的中线，
∴CG = EG = DG，
∴$\frac{AE}{EH} = \frac{AG}{CG} = \frac{CG}{HG}$，
根据等比性质可得$\frac{AG+CG}{CG+HG}=\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{EH}$，
即$\frac{AE}{EH}=\frac{AC}{HC}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AED = 60°}$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是典型的几何递进式综合题，解题时要注意利用前序小问的结论推导后续问题，既考查基础几何性质的应用，也考查逻辑推理和比例变形的能力，理清边角关系、熟悉常见的几何模型是解题的关键。
【难度系数】
0.6

10. 教材复习题变式 [2025河南中考]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心. 某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.
| 活动主题 | 测量纪念碑的高度 |
| --- | --- |
| 实物图和测量示意图 | |
| 测量说明 | 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上. |
续表
| 活动主题 | 测量纪念碑的高度 |
| --- | --- |
| 测量数据 | $DE=2.1\ \mathrm{m}, DF=2.1\ \mathrm{m}, DM=1\ \mathrm{m}, MN=1.2\ \mathrm{m}.$ |
| 备注 | 点$F,M,D,C$在同一水平线上. |
根据以上信息，解决下列问题.
(1)由标杆的影子$DF$的长和标杆$DE$的长相等，可得$CD=CA$，请说明理由.
(2)求纪念碑$AB$的高度.
(3)小红通过间接测量得到$CD$的长，进而求出纪念碑$AB$的高度约为$18.5\ \mathrm{m}$. 查阅资料得知，纪念碑的实际高度为$19.64\ \mathrm{m}$. 请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可).

10 解:(1)$\because$ 在太阳光下,纪念碑顶端 $A$ 的影子落在点 $D$ 处,同一时刻,竖直放置的标杆 $DE$ 顶端 $E$ 的影子落在点 $F$ 处,
$\therefore \frac{AC}{CD} = \frac{DE}{DF}$.
$\because$ 标杆的影子 $DF$ 的长和标杆 $DE$ 的长相等,$\therefore DE = DF$,
$\therefore CD = CA$.
(2)如图,$\because EH// AB$,$\therefore △ NEH ∽ △ NAB$,$\therefore \frac{EH}{AB} = \frac{NH}{NB}$.
$\because$ 四边形 $MNBC$,$MNHD$,$DHBC$ 是矩形,
$\therefore DH = MN = 1.2\ \mathrm{m}$.
$\because DE = 2.1\ \mathrm{m}$,$\therefore EH = DE - DH = 2.1 - 1.2 = 0.9(\mathrm{m})$.
$\because NH = DM = 1\ \mathrm{m}$,$\therefore NB = AC + NH = AB + 2.2$,
$\therefore \frac{0.9}{AB} = \frac{1}{AB + 2.2}$,解得 $AB = 19.8$.
经检验,$19.8$ 是原分式方程的解且符合实际.
答:纪念碑 $AB$ 的高度为 $19.8\ \mathrm{m}$.

(3)纪念碑的实际高度为 $19.64\ \mathrm{m}$,小红求出纪念碑 $AB$ 的高度约为 $18.5\ \mathrm{m}$,(2)中求出纪念碑 $AB$ 的高度为 $19.8\ \mathrm{m}$,故小红的结果误差较大.
原因是纪念碑 $AB$ 位于有台阶的平台 $BC$ 上,点 $C$ 的位置无法正确定位,使得 $CD$ 的长存在误差,影响计算结果.

【分析】
(1) 利用平行投影的性质：同一时刻，不同物体的高度与对应影长的比值相等，列出比例式，结合已知$DE=DF$即可推导$CD=CA$。
(2) 先通过水平视线构造相似三角形$△ NEH$和$△ NAB$，再利用矩形的性质得到各相关线段的长度，根据相似三角形对应边成比例列分式方程，求解后检验解的合理性即可得到$AB$的高度。
(3) 分别计算两个结果与实际高度的差值，差值越大误差越大；误差原因可从测量环节的不确定因素入手分析，比如基准点定位不准、测量长度有偏差等。
【解析】
(1) $\because$ 在太阳光下，纪念碑顶端 $A$ 的影子落在点 $D$ 处，同一时刻，竖直放置的标杆 $DE$ 顶端 $E$ 的影子落在点 $F$ 处，属于平行投影，
$\therefore$ 同一时刻物高与影长成正比，即 $\frac{AC}{CD} = \frac{DE}{DF}$。
$\because$ 标杆的影子 $DF$ 的长和标杆 $DE$ 的长相等，$\therefore DE = DF$，
$\therefore \frac{AC}{CD}=1$，即 $CD = CA$。
(2) 由题意得 $EH// AB$，$\therefore ∠ NEH=∠ NAB$，$∠ NHE=∠ NBA=90°$，
$\therefore △ NEH ∽ △ NAB$，$\therefore \frac{EH}{AB} = \frac{NH}{NB}$。
$\because$ 点$F,M,D,C$在同一水平线上，$NB$为观测者的水平视线，
$\therefore$ 四边形 $MNHD$、$DHBC$、$MNBC$ 均为矩形，
$\therefore DH = MN = 1.2\ \mathrm{m}$，$NH = DM = 1\ \mathrm{m}$，$NB=CD$。
由(1)知 $CD=AC=AB+BC$，且$BC=DH=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore NB=AB+1.2+1=AB+2.2$。
$\because DE = 2.1\ \mathrm{m}$，$\therefore EH = DE - DH = 2.1 - 1.2 = 0.9(\mathrm{m})$。
代入比例式得 $\frac{0.9}{AB} = \frac{1}{AB + 2.2}$，
解得 $AB = 19.8$。
经检验，$19.8$ 是原分式方程的解且符合实际。
答：纪念碑 $AB$ 的高度为 $19.8\ \mathrm{m}$。

(3) 计算两个结果与实际高度的误差：
小红的结果误差：$\vert18.5-19.64\vert=1.14\ \mathrm{m}$，
(2)中结果误差：$\vert19.8-19.64\vert=0.16\ \mathrm{m}$，
$\because1.14＞0.16$，$\therefore$ 小红的结果误差较大。
可能原因：纪念碑 $AB$ 位于有台阶的平台 $BC$ 上，点 $C$ 的位置无法精确定位，使得测量的 $CD$ 长度存在误差，影响最终计算结果。
【答案】
(1) 理由见解析；
(2) 纪念碑$AB$的高度为$\boldsymbol{19.8\ \mathrm{m}}$；

(3) 小红的结果误差较大，原因见解析。
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的应用
【点评】
本题以实际测量场景为载体，将几何知识与实践应用结合，既考查了平行投影、相似三角形、分式方程等核心知识点的掌握，也要求学生具备从实际问题中抽象几何模型、用方程思想求解的能力，同时引导学生关注测量误差的来源，提升实践探究素养。
【难度系数】
0.7