登录
如图，$a// b// c$，直线$m,n$交于点$O$，且分别与直线$a,b,c$交于点$A,B,C$和点$D,E,F$.
【基础设施问】
(1)若$O$是线段$DE$的中点，$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，则$\frac{AO}{AC}=$
(2)在(1)的条件下，给出下列结论：①$△ OBE ∽ △ OCF$；②$△ OAD ≌ △ OBE$；③$△ OBE$和$△ OCF$是位似三角形，位似中心是点$O$；④若以$O$为原点，过点$O$且平行于直线$a$的直线为$x$轴，过点$O$且垂直于$x$轴的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，点$A$的坐标为$(1,\frac{3}{2})$，则点$B$的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$，点$C$的坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$. 其中正确的是
【能力设问】
(3)若$BE$是$△ OCF$的中位线，$BE=5$，$△ OBE$的周长为$12$，面积为$7$，则四边形$BCFE$的周长为
(4)若$OC=6$，$CF=8$，$OB=x$(点$B$在线段$OC$上且不与点$O,C$重合)，点$B,E$之间的距离为$y_1$，$△ OCF$的周长与$△ OBE$的周长之比为$y_2$.
①求$y_1,y_2$分别关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y_1,y_2$的图象，结合图象可知当$y_1 ＞ y_2$时，$x$的取值范围为
(5)如图，连接$CE,BF$交于点$P$，$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$，求证：$△ BPC ∽ △ EPF$.
(6)如图，在第(5)问的基础上，连接$OP$交$BE$于点$M$，延长$OP$交$CF$于点$N$，求证：$M,N$分别是$BE,CF$的中点.
【基础设施问】
(1)若$O$是线段$DE$的中点，$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，则$\frac{AO}{AC}=$
$\frac{1}{4}$
.(2)在(1)的条件下，给出下列结论：①$△ OBE ∽ △ OCF$；②$△ OAD ≌ △ OBE$；③$△ OBE$和$△ OCF$是位似三角形，位似中心是点$O$；④若以$O$为原点，过点$O$且平行于直线$a$的直线为$x$轴，过点$O$且垂直于$x$轴的直线为$y$轴建立平面直角坐标系，点$A$的坐标为$(1,\frac{3}{2})$，则点$B$的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$，点$C$的坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$. 其中正确的是
①②③
.(填序号)【能力设问】
(3)若$BE$是$△ OCF$的中位线，$BE=5$，$△ OBE$的周长为$12$，面积为$7$，则四边形$BCFE$的周长为
22
，面积为21
.(4)若$OC=6$，$CF=8$，$OB=x$(点$B$在线段$OC$上且不与点$O,C$重合)，点$B,E$之间的距离为$y_1$，$△ OCF$的周长与$△ OBE$的周长之比为$y_2$.
①求$y_1,y_2$分别关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
②在如图所示的平面直角坐标系中画出函数$y_1,y_2$的图象，结合图象可知当$y_1 ＞ y_2$时，$x$的取值范围为
$1＜x＜6$
.(保留一位小数，误差不超过$0.2$)(5)如图，连接$CE,BF$交于点$P$，$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$，求证：$△ BPC ∽ △ EPF$.
(6)如图，在第(5)问的基础上，连接$OP$交$BE$于点$M$，延长$OP$交$CF$于点$N$，求证：$M,N$分别是$BE,CF$的中点.
答案
(1)解:$\frac{1}{4}$
根据题意可得 $OE = OD = \frac{1}{2}EF,\therefore \frac{DO}{DF} = \frac{1}{4}.$ 根据平行线分线段成比例,得$\frac{AO}{AC} = \frac{1}{4}.$
(2)解:①②③
$\because b// c,\therefore △ OBE ∽ △ OCF$,故①正确. $\because a// b,\therefore △ OBE ∽ △ OAD$,又$\because OD = OE,\therefore OA = OB$,易得$△ OAD ≌ △ OBE$,故②正确. $△ OBE$ 与 $△ OCF$ 是位似三角形,位似中心是点 $O$,位似比是$\frac{1}{3}$,$△ OAD$ 与 $△ OCF$ 是位似三角形,位似中心是点 $O$,位似比是$\frac{1}{3}$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(-3,-\frac{9}{2})$. 将 $△ OAD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $180°$ 可得到 $△ OBE$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2})$,故③正确,④错误.
(3)解:22 21
$\because BE$ 是 $△ OCF$ 的中位线,$BE = 5$,$\therefore CF = 10$,$OB = BC$,$OE = EF$,$\therefore$ 四边形 $BCFE$ 的周长为 $12 + 10 = 22$. $\because \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$,$\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{△ OCF}} = (\frac{OB}{OC})^2 = \frac{1}{4}$,$\therefore \frac{S_{△ OBE}}{S_{\mathrm{四边形}BCFE}} = \frac{1}{3}$. $\because △ OBE$ 的面积为7,$\therefore$ 四边形 $BCFE$ 的面积为 21.
(4)解:①$\because BE// CF,\therefore △ OBE ∽ △ OCF$,
$\therefore \frac{C_{△ OBE}}{C_{△ OCF}} = \frac{BE}{CF} = \frac{OB}{OC}$,$\therefore \frac{y_1}{8} = \frac{x}{6}$,$y_2 = \frac{OC}{OB} = \frac{6}{x}$,
$\therefore y_1 = \frac{4}{3}x(0 ＜ x ＜ 6)$,$y_2 = \frac{6}{x}(0 ＜ x ＜ 6)$.
②
$1 ＜ x ＜ 6$
(5)证明:$\because \frac{OC}{OF} = \frac{OE}{OB}$,$∠ COE = ∠ FOB$,
$\therefore △ COE ∽ △ FOB$,$\therefore ∠ OCE = ∠ OFB$.
$\because ∠ BPC = ∠ EPF$,$\therefore △ BPC ∽ △ EPF$.
(6)证明:$\because BE// CF,\therefore △ OBM ∽ △ OCN$,$△ OEM ∽ △ OFN$,
$\therefore \frac{BM}{CN} = \frac{OM}{ON}$,$\frac{EM}{FN} = \frac{OM}{ON}$,$\therefore \frac{BM}{CN} = \frac{EM}{FN}$,$\therefore \frac{BM}{EM} = \frac{CN}{FN}$
同理,可得$△ BMP ∽ △ FNP$,$△ EMP ∽ △ CNP$,
$\therefore \frac{BM}{FN} = \frac{MP}{NP}$,$\frac{EM}{CN} = \frac{MP}{NP}$,$\therefore \frac{BM}{FN} = \frac{EM}{CN}$,
$\therefore \frac{BM}{EM} = \frac{FN}{CN}$,$\therefore \frac{CN}{FN} = \frac{FN}{CN}$,$\therefore CN = FN$,$\therefore BM = EM$,
$\therefore M,N$ 分别是 $BE,CF$ 的中点.
解析
【分析】
本题为平行线、相似三角形、位似与函数结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先由O是DE中点得OE=OD，结合OE与OF的比例推出DO与DF的比值，再利用平行线分线段成比例即可求得$\frac{AO}{AC}$；
(2) 逐个判断结论：①由b//c可直接证△OBE∽△OCF；②先由a//b得△OAD与△OBE相似，结合OD=OE可证全等；③△OBE与△OCF相似、对应顶点连线交于O、对应边平行，符合位似特征；④根据位似比和旋转性质判断坐标正误即可；
(3) 利用中位线性质得CF长度及OB=BC、OE=EF，结合△OBE的周长求四边形周长；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求四边形面积；
(4) ①先证△OBE∽△OCF，根据相似比推出$y_1$、$y_2$与x的关系，结合点B的位置确定自变量取值范围；②结合给出的两个函数图象，找$y_1＞y_2$时x的范围；
(5) 先由已知边成比例加公共角证△COE∽△FOB，得对应角相等，再结合对顶角相等即可证△BPC∽△EPF；
(6) 多次利用平行线得到相似三角形，推导对应边的比例关系，即可证M、N分别为BE、CF的中点。
【解析】
(1)
∵O是线段DE的中点，
∴OE=OD，
∵$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，设OE=OD=k，则OF=3k，
∴DF=OD+OF=4k，即$\frac{DO}{DF}=\frac{1}{4}$，
∵a//c，由平行线分线段成比例得$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DF}=\frac{1}{4}$。
(2) ①
∵b//c，
∴∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC，
∴△OBE∽△OCF，①正确；
②
∵a//b，
∴△OAD∽△OBE，又OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∴相似比为1，即△OAD≌△OBE，②正确；
③△OBE与△OCF相似，对应顶点连线交于点O，对应边互相平行，是位似三角形，位似中心为O，③正确；
④点A坐标为$(1,\frac{3}{2})$，△OAD绕O旋转180°得△OBE，点B坐标应为$(-1,-\frac{3}{2})$，△OBE与△OCF位似比为$\frac{1}{3}$，点C坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$，④错误。
故正确结论为①②③。
(3)
∵BE是△OCF的中位线，BE=5，
∴CF=2BE=10，OB=BC，OE=EF，
∵△OBE周长为12，即OB+OE+BE=12，
∴四边形BCFE周长=BC+CF+FE+BE=OB+OE+10+5=(12-5)+15=22；
∵△OBE∽△OCF，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△OBE}}{S_{△OCF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$S_{△OCF}=4×7=28$，
∴四边形BCFE面积=28-7=21。
(4) ①
∵BE//CF，
∴△OBE∽△OCF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{OB}{OC}$，$\frac{C_{△OBE}}{C_{△OCF}}=\frac{OB}{OC}$，
代入OC=6，CF=8，OB=x，BE=$y_1$，$\frac{C_{△OCF}}{C_{△OBE}}=y_2$，
得$y_1=\frac{4}{3}x$，$y_2=\frac{6}{x}$，
∵点B在线段OC上且不与O、C重合，
∴自变量取值范围为0＜x＜6；
②结合函数图象可得，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$1＜x＜6$。
(5) 证明：
∵$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$，∠COE=∠FOB，
∴△COE∽△FOB，
∴∠OCE=∠OFB，
又
∵∠BPC=∠EPF，
∴△BPC∽△EPF。
(6) 证明：
∵BE//CF，
∴△OBM∽△OCN，△OEM∽△OFN，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{OM}{ON}$，$\frac{EM}{FN}=\frac{OM}{ON}$，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{EM}{FN}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{CN}{FN}$，
同理可得△BMP∽△FNP，△EMP∽△CNP，
∴$\frac{BM}{FN}=\frac{MP}{NP}$，$\frac{EM}{CN}=\frac{MP}{NP}$，
∴$\frac{BM}{FN}=\frac{EM}{CN}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{FN}{CN}$，
∴$\frac{CN}{FN}=\frac{FN}{CN}$，即$CN=FN$，代入得$BM=EM$，
∴M、N分别是BE、CF的中点。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) ①②③
(3) $22$；$21$
(4) ①$y_1=\frac{4}{3}x(0＜x＜6)$，$y_2=\frac{6}{x}(0＜x＜6)$
②；$1＜x＜6$
(5) 证明见解析
(6) 证明见解析
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，位似图形的性质
【点评】
本题设问由浅入深，既考查了平行线、相似、位似的基础性质，又考查了数形结合思想和逻辑推理能力，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题为平行线、相似三角形、位似与函数结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先由O是DE中点得OE=OD，结合OE与OF的比例推出DO与DF的比值，再利用平行线分线段成比例即可求得$\frac{AO}{AC}$；
(2) 逐个判断结论：①由b//c可直接证△OBE∽△OCF；②先由a//b得△OAD与△OBE相似，结合OD=OE可证全等；③△OBE与△OCF相似、对应顶点连线交于O、对应边平行，符合位似特征；④根据位似比和旋转性质判断坐标正误即可；
(3) 利用中位线性质得CF长度及OB=BC、OE=EF，结合△OBE的周长求四边形周长；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方求四边形面积；
(4) ①先证△OBE∽△OCF，根据相似比推出$y_1$、$y_2$与x的关系，结合点B的位置确定自变量取值范围；②结合给出的两个函数图象，找$y_1＞y_2$时x的范围；
(5) 先由已知边成比例加公共角证△COE∽△FOB，得对应角相等，再结合对顶角相等即可证△BPC∽△EPF；
(6) 多次利用平行线得到相似三角形，推导对应边的比例关系，即可证M、N分别为BE、CF的中点。
【解析】
(1)
∵O是线段DE的中点，
∴OE=OD，
∵$\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$，设OE=OD=k，则OF=3k，
∴DF=OD+OF=4k，即$\frac{DO}{DF}=\frac{1}{4}$，
∵a//c，由平行线分线段成比例得$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{DF}=\frac{1}{4}$。
(2) ①
∵b//c，
∴∠OBE=∠OCF，∠OEB=∠OFC，
∴△OBE∽△OCF，①正确；
②
∵a//b，
∴△OAD∽△OBE，又OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∴相似比为1，即△OAD≌△OBE，②正确；
③△OBE与△OCF相似，对应顶点连线交于点O，对应边互相平行，是位似三角形，位似中心为O，③正确；
④点A坐标为$(1,\frac{3}{2})$，△OAD绕O旋转180°得△OBE，点B坐标应为$(-1,-\frac{3}{2})$，△OBE与△OCF位似比为$\frac{1}{3}$，点C坐标为$(-3,-\frac{9}{2})$，④错误。
故正确结论为①②③。
(3)
∵BE是△OCF的中位线，BE=5，
∴CF=2BE=10，OB=BC，OE=EF，
∵△OBE周长为12，即OB+OE+BE=12，
∴四边形BCFE周长=BC+CF+FE+BE=OB+OE+10+5=(12-5)+15=22；
∵△OBE∽△OCF，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△OBE}}{S_{△OCF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$S_{△OCF}=4×7=28$，
∴四边形BCFE面积=28-7=21。
(4) ①
∵BE//CF，
∴△OBE∽△OCF，
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{OB}{OC}$，$\frac{C_{△OBE}}{C_{△OCF}}=\frac{OB}{OC}$，
代入OC=6，CF=8，OB=x，BE=$y_1$，$\frac{C_{△OCF}}{C_{△OBE}}=y_2$，
得$y_1=\frac{4}{3}x$，$y_2=\frac{6}{x}$，
∵点B在线段OC上且不与O、C重合，
∴自变量取值范围为0＜x＜6；
②结合函数图象可得，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$1＜x＜6$。
(5) 证明：
∵$\frac{OC}{OF}=\frac{OE}{OB}$，∠COE=∠FOB，
∴△COE∽△FOB，
∴∠OCE=∠OFB，
又
∵∠BPC=∠EPF，
∴△BPC∽△EPF。
(6) 证明：
∵BE//CF，
∴△OBM∽△OCN，△OEM∽△OFN，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{OM}{ON}$，$\frac{EM}{FN}=\frac{OM}{ON}$，
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{EM}{FN}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{CN}{FN}$，
同理可得△BMP∽△FNP，△EMP∽△CNP，
∴$\frac{BM}{FN}=\frac{MP}{NP}$，$\frac{EM}{CN}=\frac{MP}{NP}$，
∴$\frac{BM}{FN}=\frac{EM}{CN}$，即$\frac{BM}{EM}=\frac{FN}{CN}$，
∴$\frac{CN}{FN}=\frac{FN}{CN}$，即$CN=FN$，代入得$BM=EM$，
∴M、N分别是BE、CF的中点。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$
(2) ①②③
(3) $22$；$21$
(4) ①$y_1=\frac{4}{3}x(0＜x＜6)$，$y_2=\frac{6}{x}(0＜x＜6)$
②
；$1＜x＜6$(5) 证明见解析
(6) 证明见解析
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，位似图形的性质
【点评】
本题设问由浅入深，既考查了平行线、相似、位似的基础性质，又考查了数形结合思想和逻辑推理能力，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
