10. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为$S_1,S_2,S_3$。若$S_3+S_2-S_1=18$，则图中阴影部分的面积为（）

A.6
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{7}{2}$

第10题图 第11题图

B

11. 如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.4米，则梯子顶端A下滑了（）

A.0.4米
B.0.5米
C.0.6米
D.0.7米

A

12. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,已知$∠ A=90°$,D是斜边BC的中点,$DE⊥ BC$,交AB于点E,连结CE。
(1)求证:$BE^2 - AE^2 = AC^2$。
(2)若$AC=6$,$BD=5$,求AE的长。

解:(1)证明:因为 $DE⊥BC$,D是斜边BC的中点,
所以 DE 是线段 BC 的垂直平分线,
所以 $BE=CE$。
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,由勾股定理,得 $CE^2=AC^2+AE^2$,
所以 $BE^2=AC^2+AE^2$,
所以 $BE^2-AE^2=AC^2$。
(2)因为 $BD=5$,D 是斜边 BC 的中点,
所以 $BC=2BD=10$。
在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{BC^2-AC^2}$
$=\sqrt{10^2-6^2}=8$,
所以 $AB=BE+AE=8$。
设 $AE=x$,则 $BE=CE=8-x$。
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,由勾股定理,得 $CE^2=AC^2+AE^2$,
即 $(8-x)^2=6^2+x^2$,解得 $x=\frac{7}{4}$,
所以 $AE=\frac{7}{4}$。

13. (1)如图1,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=1$,$AC=2$,求$AB$的长。
(2)如图2,在$△ ABC$中,$AB=2$,$AC=4$,$∠ A=120°$,求$BC$的长。

解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠C=90°$,
所以 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
(2)过点 C 作 $CD⊥AB$,交 BA 的延长线于点 D,取AC 的中点 E,连结 DE(图略)。
因为 $∠BAC=120°$,所以 $∠DAC=60°$。
又因为 E 为 AC 的中点,所以 $DE=EA=\frac{1}{2}AC$,
所以 $△ADE$ 是等边三角形,
所以 $AD=\frac{1}{2}AC=2$,
所以 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}$,
$BD=AD+AB=4$。
在 $\mathrm{Rt}△CDB$ 中,$BC=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{28}$。