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1. 一元二次方程$x^2 +5x +2=0$的根的判别式的值是 （
A.53
B.28
C.17
D.$\sqrt{17}$
C
）A.53
B.28
C.17
D.$\sqrt{17}$
答案
1.C
2. 一元二次方程$x^2 - mx + 2 = 0$的根的判别式$\Delta = 16$，则$m$的值为 （
A.$2\sqrt{6}$
B.$-2\sqrt{6}$
C.$\pm2\sqrt{6}$
D.$3\sqrt{6}$
C
）A.$2\sqrt{6}$
B.$-2\sqrt{6}$
C.$\pm2\sqrt{6}$
D.$3\sqrt{6}$
答案
2.C
3. 下列方程中，没有实数根的是 （
A.$x^2=x$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$x^2=2x-4$
D.$x^2 -x -6=0$
C
）A.$x^2=x$
B.$x^2+2x+1=0$
C.$x^2=2x-4$
D.$x^2 -x -6=0$
答案
3.C
4.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m,n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.无实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
4.C
5.若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 - x + \frac{1}{4}=0$有实数根，则实数$k$的取值范围是（
A.$k＜2$
B.$k＜2$且$k≠1$
C.$k≤2$
D.$k≤2$且$k≠1$
D
）A.$k＜2$
B.$k＜2$且$k≠1$
C.$k≤2$
D.$k≤2$且$k≠1$
答案
5.D
6.[阜阳期中] 已知关于x的一元二次方程$c(1-x^2)-2bx=a(1+x^2)$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长，若方程有两个相等的实数根，则$△ ABC$的形状为
直角三角形
。答案
6.直角三角形 【点拨】原方程可以化为$(a+c)x^2+2bx+a-c=0.∵$方程有两个相等的实数根，$∴Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0,∴a^2=b^2+c^2,∴△ABC$为直角三角形。
7. 新趋势学科内综合 若一元二次方程$x^2 -2x +k=0$没有实数根，则一次函数$y=kx+2$的图象不经过第
四
象限.答案
7.四
8. 新视角条件开放题 已知一元二次方程$x^2+bx+c=0$. 在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b=2,c=1$；②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；④$b=2,c=2$.
①$b=2,c=1$；②$b=3,c=1$；
③$b=3,c=-1$；④$b=2,c=2$.
答案
8.【解】
∵这个方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即$b^2-4c＞0,$
∴$b^2＞4c,$
∴②③均可.
选②:解方程$x^2+3x+1=0,$得$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2},$
∴$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.$
选③:解方程$x^2+3x-1=0,$得$x=\frac{-3±\sqrt{13}}{2},$
∴$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}.$
∵这个方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即$b^2-4c＞0,$
∴$b^2＞4c,$
∴②③均可.
选②:解方程$x^2+3x+1=0,$得$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2},$
∴$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.$
选③:解方程$x^2+3x-1=0,$得$x=\frac{-3±\sqrt{13}}{2},$
∴$x_1=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}.$
9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，则$\sqrt{(k-1)^2}-\sqrt{(2-k)^2}$的化简结果是（
A.$-1$
B.$1$
C.$-1-2k$
D.$2k-3$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$-1-2k$
D.$2k-3$
答案
9.A 【点拨】
∵关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，$∴Δ=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)=-8k+8≥0,∴k≤1,∴k-1≤0,2-k＞0,∴\sqrt{(k-1)^2}-\sqrt{(2-k)^2}=-(k-1)-(2-k)=-1$.
∵关于x的方程$x^2-(2k-2)x+k^2-1=0$有两个实数根，$∴Δ=[-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1)=-8k+8≥0,∴k≤1,∴k-1≤0,2-k＞0,∴\sqrt{(k-1)^2}-\sqrt{(2-k)^2}=-(k-1)-(2-k)=-1$.
10. [“大梦杯”福建初中数学竞赛]若关于$x$的方程$\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{4x+a}{x^2-4}=0$只有一个实数根，则符合条件的所有实数$a$的值的总和为（
A.$-6$
B.$-30$
C.$-32$
D.$-38$
D
）A.$-6$
B.$-30$
C.$-32$
D.$-38$
答案
10.D 【点拨】方程$\frac{x+2}{x-2}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{4x+a}{x^2-4}=0$可化为$2x^2+4x+a+8=0$,① 若方程①有两个相等的实数根，则$Δ=16-8(a+8)=0$,即$a=-6$,此时方程①的根为$x_1=x_2=-1$,符合要求;若$x=2$是方程①的根,则$8+8+a+8=0$,即$a=-24$,此时方程①的另一个根为$x=-4$,符合要求;若$x=-2$是方程①的根,则$8-8+a+8=0$,即$a=-8$,此时方程①的另一个根为$x=0$,符合要求。故符合条件的a的值为-6,-24,-8,其总和为-38.
11. 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的情况，有以下四种表述：
①当$a＜0,b+c＞0,a+c＜0$时，方程一定没有实数根；
②当$a＜0,b+c＞0,b-c＜0$时，方程一定有实数根；
③当$a＞0,a+b+c＜0$时，方程一定没有实数根；
④当$a＞0,b+4a=0,4a+2b+c=0$时，方程一定有两个不相等的实数根。
其中表述正确的序号是 （
A.①
B.②
C.③
D.④
①当$a＜0,b+c＞0,a+c＜0$时，方程一定没有实数根；
②当$a＜0,b+c＞0,b-c＜0$时，方程一定有实数根；
③当$a＞0,a+b+c＜0$时，方程一定没有实数根；
④当$a＞0,b+4a=0,4a+2b+c=0$时，方程一定有两个不相等的实数根。
其中表述正确的序号是 （
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
11.B 【点拨】①当$a=-1,b=3,c=-2$时，满足$a＜0,b+c＞0,a+c＜0$,此时$Δ=3^2-4×(-1)×(-2)=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误。②$∵b+c＞0,b-c＜0,∴c＞0$.又$∵a＜0,∴ac＜0.∴Δ=b^2-4ac＞0.∴$方程一定有实数根，故原说法正确。③当$a=1,b=-1,c=-1$时，满足$a＞0,a+b+c＜0$,此时$Δ=(-1)^2-4×1×(-1)=5＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误。④$∵b+4a=0,∴b=-4a$.又$∵4a+2b+c=0,∴c=4a.∴Δ=(-4a)^2-4·a·4a=0$.
∴方程有两个相等的实数根，故原说法错误。故选B.
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误。②$∵b+c＞0,b-c＜0,∴c＞0$.又$∵a＜0,∴ac＜0.∴Δ=b^2-4ac＞0.∴$方程一定有实数根，故原说法正确。③当$a=1,b=-1,c=-1$时，满足$a＞0,a+b+c＜0$,此时$Δ=(-1)^2-4×1×(-1)=5＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法错误。④$∵b+4a=0,∴b=-4a$.又$∵4a+2b+c=0,∴c=4a.∴Δ=(-4a)^2-4·a·4a=0$.
∴方程有两个相等的实数根，故原说法错误。故选B.
