11. 已知整数$m$满足$0＜m＜13$，如果关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2-2m=0$的根为有理数，则$m$的值为。

11.2或6或12 【点拨】$\because a=1,b=-(2m-1),c=m^2-2m,\therefore b^2-4ac=[-(2m-1)]^2-4×1×(m^2-2m)=4m^2-4m+1-4m^2+8m=4m+1$。$\because 0＜m＜13,\therefore 1＜4m+1＜53$。$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2m-1\pm\sqrt{4m+1}}{2}$。$\because$一元二次方程的根为有理数，$\therefore \sqrt{4m+1}$为有理数。$\therefore 4m+1=9,16,25,36,49$。又$\because m$为整数，$\therefore 4m+1=9,25,49$，即$m=2$或6或12。

12. [浙江创新教育测试]已知$x,y,z$满足:$x+z=2y$，$z^2=y(x+88)$。若$y,z$为正偶数，则$\frac{z}{y}=$。

12.2 【点拨】$\because x+z=2y,\therefore x=2y-z$。$\because z^2=y(x+88),\therefore z^2=y(2y-z+88)$。整理，得$z^2+yz-2y^2-88y=0$。设$\frac{z}{y}=k$，则$z=ky$。$\therefore (ky)^2+y(ky)-2y^2-88y=0$。$\therefore y^2(k^2+k-2)=88y$。$\because y≠0,\therefore y(k^2+k-2)=88$，$\therefore y=\frac{88}{k^2+k-2}$。$\because y,z$为正偶数，$\therefore k$为正有理数。$\because 88=2×44=4×22=8×11=1×88,\therefore$当$k^2+k-2=1$时，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，不符合题意；当$k^2+k-2=2$时，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$，不符合题意；当$k^2+k-2=44$时，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{185}}{2}$，不符合题意；当$k^2+k-2=4$时，解得$k=2$或$k=-3$(舍去)，此时$y=22,z=44$，满足题意；当$k^2+k-2=22$时，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{97}}{2}$，不符合题意；当$k^2+k-2=11$时，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{53}}{2}$，不符合题意。综上，$\frac{z}{y}$的值为2。

13. 解方程:$(x^2 + x)^2 - 5(x^2 + x) + 4 = 0.$

13.【解】设$x^2+x=y$，那么原方程可化为$y^2-5y+4=0$，解得$y_1=1,y_2=4$。
当$y=1$，即$x^2+x=1$时，$x^2+x-1=0$。
其中$a=1,b=1,c=-1$。$\therefore b^2-4ac=5＞0$。
$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。$\therefore x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；
当$y=4$，即$x^2+x=4$时，$x^2+x-4=0$。
其中$a=1,b=1,c=-4$。$\therefore b^2-4ac=17＞0$。
$\therefore x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$。$\therefore x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$。
故原方程的解为$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2},x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$。

14. :: 新考向知识情境化 有一电脑程序,每按一次按键,屏幕的A区就会自动减去$a^2$,同时B区就会自动加上$3a$,已知A,B两区初始显示的分别是25和-15,第一次按键后,A,B两区分别显示$25-a^2$和$-15+3a$,如图.
(1)若第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等,请通过计算求$a$的值;
(2)若从初始状态按3次后,A,B两区显示的代数式的和为1,请通过计算求$a$的值.

14.【解】(1)根据题意得$25-a^2=-15+3a$，
整理得$a^2+3a-40=0$，
即$(a+8)(a-5)=0$，
$\therefore a+8=0$或$a-5=0$，
$\therefore a_1=-8,a_2=5$，即$a$的值为$-8$或5。
(2)根据题意得$25-3a^2+(-15+9a)=1$，
整理得$a^2-3a-3=0$，
则$a=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×(-3)}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$，
$\therefore a$的值为$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$。

15. ★★★ 吕梁期中 新考法·阅读类比法 阅读与思考：
观察下列方程及其关联方程的系数特征和根的关系特征，解决问题：

(1)请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征。
(2)方程$x^2 -2x -4=0$和$x^2 +2x -4=0$是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合关联方程根的关系特征。
(3)请以一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0,b^2 -4ac≥0)$为例证明关联方程根的关系特征。

15.(1)【解】一元二次方程和关联方程的系数特征是二次项系数、常数项相同，一次项系数互为相反数，
一元二次方程和关联方程根的关系特征是它们的两个对应根互为相反数。
(2)【解】方程$x^2-2x-4=0$和$x^2+2x-4=0$是关联方程。
方程$x^2-2x-4=0$的根是$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$，
方程$x^2+2x-4=0$的根是$x_1=-1-\sqrt{5},x_2=-1+\sqrt{5}$，
它们的根符合关联方程根的关系特征。
(3)【证明】$\because$一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,b^2-4ac\ge0)$的根是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
它的关联方程$ax^2-bx+c=0$的根是$x=\frac{b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
$\therefore$它们的两个对应根互为相反数。