登录
8 原创素养题 几何直观 如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在点$D'$处，BC交$AD'$于点E，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，则阴影部分的面积为
$\frac{75}{4}\ \mathrm{cm}^2$
。答案
8.$\frac{75}{4}\ \mathrm{cm}^2$
9 传统文化 《周髀算经》如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中$AF=a$，$DF=b$，连接$AE$，$BE$，若$△ ADE$与$△ BEH$的面积相等，则$\frac{a^4 + b^4}{a^2b^2} =$
3
。答案
9.3
10 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形按如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程.（提示：BD 和 AC 都可以分割四边形 ABCD）
答案
10. 如图,连接 DB,过点 D 作边 BC 上的高 DF，
则$DF=EC=b−a$.
∵$S_{四边形ADCB}=S_{△ACD}+S_{△ABC}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ADCB}=S_{△ADB}+S_{△DCB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b−a)$,
∴$\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b−a)$,
∴$a^2+b^2=c^2$.
11 中考新考法 拓展迁移探究 综合与实践
[背景介绍]勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图(1)是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$，从而得到等式$c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$，化简便得结论$a^2 + b^2 = c^2$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
[方法运用]有一个新的证法：把两个全等的直角三角形ABC和三角形DEA如图(2)放置，$AB = DE = a$，$AC = AE = b$，$BC = AD = c$，$∠BAC = ∠DEA = 90°$，显然$BC⊥AD$.（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，$△EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
[方法迁移](2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图(3)，在$△ABC$中，AD是BC边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，求BD的长.
[背景介绍]勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图(1)是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于$c^2$，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即$\frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$，从而得到等式$c^2 = \frac{1}{2}ab × 4 + (b - a)^2$，化简便得结论$a^2 + b^2 = c^2$.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.
[方法运用]有一个新的证法：把两个全等的直角三角形ABC和三角形DEA如图(2)放置，$AB = DE = a$，$AC = AE = b$，$BC = AD = c$，$∠BAC = ∠DEA = 90°$，显然$BC⊥AD$.（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）
(1)请用$a,b,c$分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，$△EBD$的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$.
[方法迁移](2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图(3)，在$△ABC$中，AD是BC边上的高，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$，求BD的长.
答案
11.(1)
∵$BC⊥AD$,$∠BAC = ∠DEA = 90°$,$AB = DE = a$,$AC = AE = b$,$BC = AD = c$,
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AD·BC=\frac{1}{2}c^2$,
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(AC+ED)·AE=\frac{1}{2}(b+a)b$,$S_{△EBD}=\frac{1}{2}ED·BE=\frac{1}{2}a(a−b)$,$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△EBD}$,
∴$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}a(a−b)$,化简,得$c^2=b^2+a^2$.
(2)设$BD=x$,
∵$BC=6$,
∴$CD=6−x$.
在$Rt△ABD$中,$AB=4$,
由勾股定理,得$AD^2=AB^2−BD^2=4^2−x^2=16−x^2$.
在$Rt△ACD$中,$AC=5$,由勾股定理,得$AD^2=AC^2−CD^2=5^2−(6−x)^2=−11+12x−x^2$,
∴$16−x^2=−11+12x−x^2$,
∴$x=\frac{9}{4}$,
∴$BD=\frac{9}{4}$.
∵$BC⊥AD$,$∠BAC = ∠DEA = 90°$,$AB = DE = a$,$AC = AE = b$,$BC = AD = c$,
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AD·BC=\frac{1}{2}c^2$,
$S_{梯形AEDC}=\frac{1}{2}(AC+ED)·AE=\frac{1}{2}(b+a)b$,$S_{△EBD}=\frac{1}{2}ED·BE=\frac{1}{2}a(a−b)$,$S_{四边形ABDC}=S_{梯形AEDC}+S_{△EBD}$,
∴$\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(b+a)b+\frac{1}{2}a(a−b)$,化简,得$c^2=b^2+a^2$.
(2)设$BD=x$,
∵$BC=6$,
∴$CD=6−x$.
在$Rt△ABD$中,$AB=4$,
由勾股定理,得$AD^2=AB^2−BD^2=4^2−x^2=16−x^2$.
在$Rt△ACD$中,$AC=5$,由勾股定理,得$AD^2=AC^2−CD^2=5^2−(6−x)^2=−11+12x−x^2$,
∴$16−x^2=−11+12x−x^2$,
∴$x=\frac{9}{4}$,
∴$BD=\frac{9}{4}$.
