1（2025·江苏盐城盐都区期末）在下列各组数中，是勾股数的一组是（）。

A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$5,6,7$
C.$0.3,0.4,0.5$
D.$5,12,13$

1.D

2 教材P10“思考·变流”·拓展 观察下列几组勾股数，
并填空：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；
④12，35，37，则第⑦组勾股数为。

2. 18,80,82

3 若15，36，x三个数构成勾股数，则x的值为。

3. 39

4 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，$a=2m$，$b=m^2 -1$，$c=m^2 +1$，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数。

4. 正确.理由如下:
∵m表示大于1的整数,
∴a,b,c都是正整数,且c是最大边.
∵$(2m)^2 + (m^2 -1)^2 = (m^2 +1)^2$,
∴$a^2 + b^2 = c^2$,即a,b,c为勾股数.当m=2时,可得一组勾股数3,4,5.(答案不唯一)

5 教材P11随堂练习T1·拓展 下列由三条线段$a,b,c$构成的三角形$ABC$:①$∠ A + ∠ B = ∠ C$;②$a = 3k, b = 4k, c = 5k(k ＞ 0)$;③$∠ A : ∠ B : ∠ C = 5:12:13$;④$a = 2mn, b = m^2 - n^2, c = m^2 + n^2(m ＞ n ＞ 0)$.其中能构成直角三角形的是().

A.①④
B.①②④
C.②③④
D.①②③

5.B

6 教材P11习题T1·拓展（2025·浙江温州鹿城区期中）在
△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）.

A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a=5,b=12,c=13$
C.$∠A:∠B:∠C=3:4:5$
D.$∠A=∠B+∠C$

6.C

7 教材P11习题T1·变式 三角形的三边长为$a,b,c$，且满足等式$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，则此三角形是三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”).

7. 直角

8 教材P10例·变式 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A的度数。

8. 如图,连接AC.
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\because AB=BC=2$,
$∠ ABC=90°$,
$\therefore ∠ BAC=45°,AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$.
在$△DAC$中,$AD=1,DC=3$,
$\therefore AD^2+AC^2=1^2+8=9=3^2=CD^2$,
$\therefore ∠ DAC=90°$.
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=45°+90°=135°$.

9 教材P11随堂练习T2·变式（2025·山东泰安新泰期末）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，连接AC，经过测量可得$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC=15\ \mathrm{m}$，$BC=18\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$。
(1)判断$△ ACD$的形状；
(2)求这块空地的面积。

9. (1)$\because AC=15,CD=8,AD=17$,
$\therefore AC^2+CD^2=15^2+8^2=289,AD^2=17^2=289$,
$\therefore AC^2+CD^2=AD^2$,$\therefore △ACD$是直角三角形,且$∠ ACD=90°$.
(2)如图,过点A作$AH⊥ BC$于点H,
$\because AB=AC=15\ \mathrm{m},BC=18\ \mathrm{m}$,
$\therefore BH=CH=9\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ABH$中,$AH^2=AB^2-BH^2=15^2-9^2=144$,$\therefore AH=12\ \mathrm{m}$.
$\therefore S_{△ABC} + S_{△ACD} = \frac{1}{2} BC · AH + \frac{1}{2} AC · CD=\frac{1}{2}×18×12+\frac{1}{2}×15×8=168(\mathrm{m}^2)$.
故这块空地的面积为$168\ \mathrm{m}^2$.
解后反思 本题考查了勾股定理的应用,掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键.