登录
1.抛物线$y=(x+3)^2 -9$的顶点坐标是(
A.$(-3,-9)$
B.$(3,9)$
C.$(-3,9)$
D.$(3,-9)$
A
).A.$(-3,-9)$
B.$(3,9)$
C.$(-3,9)$
D.$(3,-9)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。拿到题目给出的解析式后，先将其和标准顶点式做对照，重点注意h的符号：括号内是$x-h$，因此若括号内为加法，需转化为减法来确定h的值，k直接取解析式末尾的常数项（带符号），即可快速得到顶点坐标，匹配对应选项。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下函数的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=(x+3)^2 -9$变形为标准顶点式：$y=1×[x-(-3)]^2 + (-9)$，对比可得$h=-3$，$k=-9$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-3,-9)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是准确掌握二次函数顶点式的结构，尤其要注意顶点横坐标h的符号判断，避免因误把$x+3$中的3直接当作h而错选。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。拿到题目给出的解析式后，先将其和标准顶点式做对照，重点注意h的符号：括号内是$x-h$，因此若括号内为加法，需转化为减法来确定h的值，k直接取解析式末尾的常数项（带符号），即可快速得到顶点坐标，匹配对应选项。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下函数的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线解析式$y=(x+3)^2 -9$变形为标准顶点式：$y=1×[x-(-3)]^2 + (-9)$，对比可得$h=-3$，$k=-9$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-3,-9)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是准确掌握二次函数顶点式的结构，尤其要注意顶点横坐标h的符号判断，避免因误把$x+3$中的3直接当作h而错选。
【难度系数】
0.9
2.关于抛物线$y=-2(x+1)^2+3$，下列说法正确的是(
A.对称轴是直线$x=1$
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.当$x=-1$时，$y$的最大值是3
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
C
).A.对称轴是直线$x=1$
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.当$x=-1$时，$y$的最大值是3
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先将给出的抛物线解析式与二次函数顶点式的标准形式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）对应，确定参数$a、h、k$的取值，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性的规律，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=-2(x+1)^2+3$，可变形为$y=-2[x-(-1)]^2+3$，与标准顶点式对比得：$a=-2＜0$，$h=-1$，$k=3$，逐一分析选项：
1. 对A选项：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴是直线$x=-1$，A错误；
2. 对B选项：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，因此本题顶点坐标为$(-1,3)$，B错误；
3. 对C选项：$a=-2＜0$说明抛物线开口向下，顶点为图象最高点，即当$x=-1$时，$y$取得最大值$3$，C正确；
4. 对D选项：抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的最值、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式中各参数的实际意义，熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标、增减性及最值规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：首先将给出的抛物线解析式与二次函数顶点式的标准形式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）对应，确定参数$a、h、k$的取值，再结合开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性的规律，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=-2(x+1)^2+3$，可变形为$y=-2[x-(-1)]^2+3$，与标准顶点式对比得：$a=-2＜0$，$h=-1$，$k=3$，逐一分析选项：
1. 对A选项：二次函数顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此本题对称轴是直线$x=-1$，A错误；
2. 对B选项：二次函数顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，因此本题顶点坐标为$(-1,3)$，B错误；
3. 对C选项：$a=-2＜0$说明抛物线开口向下，顶点为图象最高点，即当$x=-1$时，$y$取得最大值$3$，C正确；
4. 对D选项：抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞1$时$y$随$x$的增大而减小，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的最值、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式中各参数的实际意义，熟练掌握顶点式对应的对称轴、顶点坐标、增减性及最值规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.将抛物线$y=(x-1)^2+2$先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为(
A.$y=(x+2)^2-2$
B.$y=(x-5)^2+5$
C.$y=(x+5)^2-2$
D.$y=(x-2)^2-5$
A
).A.$y=(x+2)^2-2$
B.$y=(x-5)^2+5$
C.$y=(x+5)^2-2$
D.$y=(x-2)^2-5$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时可以从两个思路切入：①利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律直接变形解析式，注意左右平移是对自变量x单独进行加减，上下平移是对常数项加减；②先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规则计算得到新顶点坐标，由于平移不改变抛物线的形状和开口方向，二次项系数不变，代入顶点式即可得到新解析式，两种方法都能有效避免符号混淆，逐步推导即可。
【解析】
方法一：利用平移口诀直接变形
原抛物线解析式为$y=(x-1)^2+2$
第一步：向下平移4个单位长度，根据“上加下减”规则，给常数项减4，得：
$y=(x-1)^2+2-4=(x-1)^2-2$
第二步：向左平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，给自变量x加3，将解析式中的x替换为$x+3$，得：
$y=(x+3-1)^2-2=(x+2)^2-2$
方法二：利用顶点平移求解
抛物线顶点式$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此原抛物线的顶点为$(1,2)$
向下平移4个单位长度，顶点纵坐标变为$2-4=-2$；向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为$1-3=-2$，即平移后新抛物线的顶点为$(-2,-2)$
由于平移不改变二次项系数，新抛物线的解析式为$y=(x+2)^2-2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心是掌握平移过程中“变与不变”的规律：抛物线形状、开口方向（即二次项系数）不变，仅顶点位置发生变化，解题时要注意区分左右平移的符号，避免把“左加右减”记反导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时可以从两个思路切入：①利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律直接变形解析式，注意左右平移是对自变量x单独进行加减，上下平移是对常数项加减；②先确定原抛物线的顶点坐标，根据平移规则计算得到新顶点坐标，由于平移不改变抛物线的形状和开口方向，二次项系数不变，代入顶点式即可得到新解析式，两种方法都能有效避免符号混淆，逐步推导即可。
【解析】
方法一：利用平移口诀直接变形
原抛物线解析式为$y=(x-1)^2+2$
第一步：向下平移4个单位长度，根据“上加下减”规则，给常数项减4，得：
$y=(x-1)^2+2-4=(x-1)^2-2$
第二步：向左平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，给自变量x加3，将解析式中的x替换为$x+3$，得：
$y=(x+3-1)^2-2=(x+2)^2-2$
方法二：利用顶点平移求解
抛物线顶点式$y=(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此原抛物线的顶点为$(1,2)$
向下平移4个单位长度，顶点纵坐标变为$2-4=-2$；向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为$1-3=-2$，即平移后新抛物线的顶点为$(-2,-2)$
由于平移不改变二次项系数，新抛物线的解析式为$y=(x+2)^2-2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心是掌握平移过程中“变与不变”的规律：抛物线形状、开口方向（即二次项系数）不变，仅顶点位置发生变化，解题时要注意区分左右平移的符号，避免把“左加右减”记反导致出错。
【难度系数】
0.8
4.关于二次函数$y=3(x-2)^2+4$的最大值或最小值，下列叙述正确的是(
A.当$x=2$时，$y$有最大值4
B.当$x=2$时，$y$有最小值4
C.当$x=-2$时，$y$有最大值4
D.当$x=-2$时，$y$有最小值4
B
).A.当$x=2$时，$y$有最大值4
B.当$x=2$时，$y$有最小值4
C.当$x=-2$时，$y$有最大值4
D.当$x=-2$时，$y$有最小值4
答案
4.B
解析
【分析】
本题可根据二次函数顶点式的性质求解：首先观察给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先判断二次项系数$a$的正负：$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值。第二步结合顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，可知最值为$k$，对应的自变量取值为$h$，代入参数即可判断正确选项。
【解析】
已知二次函数为$y=3(x-2)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，排除A、C两个描述最大值的选项；
2. 确定顶点坐标：对比顶点式可得$h=2$，$k=4$，即顶点坐标为$(2,4)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值4，排除D选项。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式中各参数的含义，就能快速判断开口方向、顶点坐标，进而得到最值对应的自变量取值和最值大小。
【难度系数】
0.85
本题可根据二次函数顶点式的性质求解：首先观察给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先判断二次项系数$a$的正负：$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值。第二步结合顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，可知最值为$k$，对应的自变量取值为$h$，代入参数即可判断正确选项。
【解析】
已知二次函数为$y=3(x-2)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，排除A、C两个描述最大值的选项；
2. 确定顶点坐标：对比顶点式可得$h=2$，$k=4$，即顶点坐标为$(2,4)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值4，排除D选项。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，只要熟练掌握二次函数顶点式中各参数的含义，就能快速判断开口方向、顶点坐标，进而得到最值对应的自变量取值和最值大小。
【难度系数】
0.85
5.已知二次函数$y=(x-m)^2 -3$，当$x＜4$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围为(
A.$m≥4$
B.$m≤-4$
C.$m＞4$
D.$m＜-4$
A
).A.$m≥4$
B.$m≤-4$
C.$m＞4$
D.$m＜-4$
答案
5.A
解析
【分析】
拿到这道题首先观察二次函数的表达式为顶点式，我们可以按以下思路推导：第一步先根据二次项系数判断抛物线开口方向；第二步确定顶点式对应的对称轴；第三步结合开口方向明确函数增减性和对称轴的关系；最后根据题目给出的$x＜4$时$y$随$x$增大而减小的条件，判断对称轴和$x=4$的位置关系，即可求出$m$的取值范围。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-m)^2 -3$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 确定对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数的对称轴为直线$x=m$。
3. 结合增减性分析：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜m$时）$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞m$时）$y$随$x$的增大而增大。
4. 推导$m$的范围：题目要求$x＜4$时$y$随$x$增大而减小，说明$x＜4$的全部区间都在对称轴左侧，因此对称轴$x=m$需满足$m≥4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用，解题关键是理清开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，易错点是容易忽略$m=4$的端点情况导致漏选。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察二次函数的表达式为顶点式，我们可以按以下思路推导：第一步先根据二次项系数判断抛物线开口方向；第二步确定顶点式对应的对称轴；第三步结合开口方向明确函数增减性和对称轴的关系；最后根据题目给出的$x＜4$时$y$随$x$增大而减小的条件，判断对称轴和$x=4$的位置关系，即可求出$m$的取值范围。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-m)^2 -3$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 确定对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数的对称轴为直线$x=m$。
3. 结合增减性分析：开口向上的抛物线，在对称轴左侧（$x＜m$时）$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞m$时）$y$随$x$的增大而增大。
4. 推导$m$的范围：题目要求$x＜4$时$y$随$x$增大而减小，说明$x＜4$的全部区间都在对称轴左侧，因此对称轴$x=m$需满足$m≥4$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用，解题关键是理清开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，易错点是容易忽略$m=4$的端点情况导致漏选。
【难度系数】
0.8
6.抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4$ 的顶点坐标是
$(-3,4)$
。答案
6.$(-3,4)$
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关知识，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的函数表达式与标准顶点式对照，注意括号内x的表达式的符号，进而确定对应的h、k值，即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），该形式对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线表达式$ y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4 $变形为标准顶点式：
$ y=-\dfrac{1}{2}[x-(-3)]^2+4 $
对比可得$ h=-3 $，$ k=4 $，因此该抛物线的顶点坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式的识记与应用，解题的易错点是容易忽略顶点式中$x-h$的符号，误将$h$的值取为3，只要掌握顶点式与顶点坐标的对应规律，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的相关知识，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的函数表达式与标准顶点式对照，注意括号内x的表达式的符号，进而确定对应的h、k值，即可得到顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），该形式对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线表达式$ y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+4 $变形为标准顶点式：
$ y=-\dfrac{1}{2}[x-(-3)]^2+4 $
对比可得$ h=-3 $，$ k=4 $，因此该抛物线的顶点坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对二次函数顶点式的识记与应用，解题的易错点是容易忽略顶点式中$x-h$的符号，误将$h$的值取为3，只要掌握顶点式与顶点坐标的对应规律，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
7.写出一个顶点坐标为(-1,3)的抛物线的解析式：
$y=(x+1)^2+3$(答案不唯一)
.答案
7.$y=(x+1)^2+3$(答案不唯一)
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来写解析式最简便。二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是抛物线的顶点坐标。我们只需将题目给出的顶点坐标代入顶点式，再任意取一个不为0的$a$值，就能得到符合要求的抛物线解析式。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，即$h=-1$，$k=3$，代入顶点式可得：$y=a(x+1)^2+3$（$a≠0$）。
取$a=1$，得到解析式：$y=(x+1)^2+3$（取其他不为0的$a$值也可，答案不唯一）。
【答案】
$y=(x+1)^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式结构的掌握，已知顶点坐标时用顶点式写解析式非常便捷，只需注意二次项系数$a$不能为0即可，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.9
已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来写解析式最简便。二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是抛物线的顶点坐标。我们只需将题目给出的顶点坐标代入顶点式，再任意取一个不为0的$a$值，就能得到符合要求的抛物线解析式。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中顶点坐标为$(h,k)$。
已知抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，即$h=-1$，$k=3$，代入顶点式可得：$y=a(x+1)^2+3$（$a≠0$）。
取$a=1$，得到解析式：$y=(x+1)^2+3$（取其他不为0的$a$值也可，答案不唯一）。
【答案】
$y=(x+1)^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式结构的掌握，已知顶点坐标时用顶点式写解析式非常便捷，只需注意二次项系数$a$不能为0即可，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.9
8.已知抛物线$y=(x+2)^2 +k$经过点$A(-4,y_1)$和$B(2,y_2)$，则$y_1$
$＜$
$y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
8.$＜$
解析
【分析】
本题考查二次函数的图象性质，解题思路如下：第一步先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴；第二步分别计算点A、B到对称轴的水平距离；第三步根据“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大”的性质，比较两个距离的大小，即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y=(x+2)^2 +k$，
∴二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
点$A(-4,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离：$|-4 - (-2)|=2$，
点$B(2,y_2)$到对称轴$x=-2$的距离：$|2 - (-2)|=4$，
∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，且$2＜4$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，无需代入计算点的函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离即可快速比较函数值大小，解题时要注意不要混淆开口方向对函数值大小比较的影响。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的图象性质，解题思路如下：第一步先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴；第二步分别计算点A、B到对称轴的水平距离；第三步根据“开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大”的性质，比较两个距离的大小，即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
解：
∵抛物线解析式为$y=(x+2)^2 +k$，
∴二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
点$A(-4,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离：$|-4 - (-2)|=2$，
点$B(2,y_2)$到对称轴$x=-2$的距离：$|2 - (-2)|=4$，
∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，且$2＜4$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，无需代入计算点的函数值，利用开口方向和点到对称轴的距离即可快速比较函数值大小，解题时要注意不要混淆开口方向对函数值大小比较的影响。
【难度系数】
0.8
9.如果将抛物线$y=(x+1)^2 -1$向上平移2个单位长度，那么平移后抛物线的顶点坐标是
$(-1,1)$
.答案
9.$(-1,1)$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式的结构特征：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$；上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的平移规律。第一步先确定原抛物线的顶点坐标，第二步根据平移规则计算平移后顶点的纵坐标，即可得到结果。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -1$，属于二次函数顶点式，因此原抛物线的顶点坐标为$(-1, -1)$。
将抛物线向上平移2个单位长度时，顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加2，可得平移后顶点的纵坐标为：$-1 + 2 = 1$。
因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数平移规律；点的坐标平移
【点评】
本题是二次函数图像平移的基础题型，熟练掌握顶点式的顶点坐标判断方法和“上加下减、左加右减”的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数顶点式的结构特征：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$；上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的平移规律。第一步先确定原抛物线的顶点坐标，第二步根据平移规则计算平移后顶点的纵坐标，即可得到结果。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=(x+1)^2 -1$，属于二次函数顶点式，因此原抛物线的顶点坐标为$(-1, -1)$。
将抛物线向上平移2个单位长度时，顶点的横坐标保持不变，纵坐标增加2，可得平移后顶点的纵坐标为：$-1 + 2 = 1$。
因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,1)$。
【答案】
$(-1,1)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数平移规律；点的坐标平移
【点评】
本题是二次函数图像平移的基础题型，熟练掌握顶点式的顶点坐标判断方法和“上加下减、左加右减”的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为$(0,3)$.此二次函数的解析式可以是
$y=-x^2+3$(答案不唯一)
.答案
10.$y=-x^2+3$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出满足条件的二次函数，可优先选用二次函数顶点式求解。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。我们先根据已知顶点坐标代入$h、k$的值，再根据开口向下的要求取任意小于0的$a$值，即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设二次函数的解析式为顶点式$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $）：
1. 根据顶点坐标为$(0,3)$，可得$h=0$，$k=3$，代入顶点式得$y=ax^2+3$；
2. 根据图象开口向下，可得二次项系数$a＜0$，取$a=-1$（取任意负数均可），代入得$y=-x^2+3$。
只要满足$a＜0$的该形式解析式均正确，答案不唯一。
【答案】
$y=-x^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题考查二次函数参数的几何意义，熟练掌握顶点式中各参数对函数图象的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要写出满足条件的二次函数，可优先选用二次函数顶点式求解。二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。我们先根据已知顶点坐标代入$h、k$的值，再根据开口向下的要求取任意小于0的$a$值，即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设二次函数的解析式为顶点式$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $）：
1. 根据顶点坐标为$(0,3)$，可得$h=0$，$k=3$，代入顶点式得$y=ax^2+3$；
2. 根据图象开口向下，可得二次项系数$a＜0$，取$a=-1$（取任意负数均可），代入得$y=-x^2+3$。
只要满足$a＜0$的该形式解析式均正确，答案不唯一。
【答案】
$y=-x^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题考查二次函数参数的几何意义，熟练掌握顶点式中各参数对函数图象的影响即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11.二次函数图象的顶点坐标为$(2,-2)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。
(1)求二次函数的解析式；
(2)当$0≤ x≤ 6$时，求$y$的取值范围；
(3)若点$(b-2,y_1),(b,y_2)$在该函数图象上，且$y_1＜y_2$，请直接写出$b$的取值范围。
(1)求二次函数的解析式；
(2)当$0≤ x≤ 6$时，求$y$的取值范围；
(3)若点$(b-2,y_1),(b,y_2)$在该函数图象上，且$y_1＜y_2$，请直接写出$b$的取值范围。
答案
11.【解】(1)$\because$二次函数图象的顶点坐标为$(2,-2)$，$\therefore$设其解析式为$y=a(x-2)^2-2$。又$\because$其图象与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$，$\therefore 3=a(0-2)^2-2$。解得$a=\dfrac{5}{4}$。$\therefore$二次函数的解析式为$y=\dfrac{5}{4}(x-2)^2-2$，即$y=\dfrac{5}{4}x^2-5x+3$。
(2)$\because$二次函数$y=\dfrac{5}{4}(x-2)^2-2$，$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。当$x=2$时，$y=-2$；当$x=6$时，$y=18$，$\therefore$当$0≤ x≤ 6$时，$-2≤ y≤ 18$。
(3)$b＞3$。
(2)$\because$二次函数$y=\dfrac{5}{4}(x-2)^2-2$，$\therefore$当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。当$x=2$时，$y=-2$；当$x=6$时，$y=18$，$\therefore$当$0≤ x≤ 6$时，$-2≤ y≤ 18$。
(3)$b＞3$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，再将与y轴的交点坐标代入，求出未知参数a即可得到解析式。
(2) 求指定区间内y的取值范围时，先根据二次函数的开口方向和对称轴判断增减性：本题函数开口向上，对称轴为x=2，顶点处取得最小值；再计算区间两个端点对应的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
(3) 已知两点函数值大小关系，结合开口向上的二次函数“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质，或代入解析式列不等式求解，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数的顶点坐标为$(2,-2)$，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-2$（$a≠0$），
将与y轴交点$(0,3)$代入解析式得：
$3=a(0-2)^2-2$，
解得$a=\frac{5}{4}$，
∴二次函数的解析式为$y=\frac{5}{4}(x-2)^2-2$，整理为一般式为$y=\frac{5}{4}x^2-5x+3$。
(2) 由解析式可知$a=\frac{5}{4}＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，
∴当$x=2$时，y取得最小值，最小值为$-2$；
在区间$0≤x≤6$内计算端点函数值：
当$x=0$时，$y=3$；当$x=6$时，$y=\frac{5}{4}×(6-2)^2-2=18$，
比较得最大值为18，
∴当$0≤x≤6$时，y的取值范围是$-2≤y≤18$。
(3)
∵点$(b-2,y_1)$、$(b,y_2)$在函数图象上，且$y_1＜y_2$，
结合开口向上的二次函数性质可得：点$(b,y_2)$到对称轴$x=2$的距离大于点$(b-2,y_1)$到对称轴的距离，即$|b-2|＞|(b-2)-2|$，
两边平方化简得$4b＞12$，解得$b＞3$。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{4}(x-2)^2-2$（或$y=\frac{5}{4}x^2-5x+3$）；
(2) $-2≤y≤18$；
(3) $b＞3$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的增减性与最值
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，核心考察二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握顶点式的用法、增减性和最值的判断逻辑。求解区间函数值范围时需结合对称轴定位最值，不能直接代入区间端点计算；比较函数值大小时利用对称性可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，再将与y轴的交点坐标代入，求出未知参数a即可得到解析式。
(2) 求指定区间内y的取值范围时，先根据二次函数的开口方向和对称轴判断增减性：本题函数开口向上，对称轴为x=2，顶点处取得最小值；再计算区间两个端点对应的y值，比较得到最大值，即可确定y的取值范围。
(3) 已知两点函数值大小关系，结合开口向上的二次函数“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质，或代入解析式列不等式求解，即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)
∵二次函数的顶点坐标为$(2,-2)$，
∴设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-2$（$a≠0$），
将与y轴交点$(0,3)$代入解析式得：
$3=a(0-2)^2-2$，
解得$a=\frac{5}{4}$，
∴二次函数的解析式为$y=\frac{5}{4}(x-2)^2-2$，整理为一般式为$y=\frac{5}{4}x^2-5x+3$。
(2) 由解析式可知$a=\frac{5}{4}＞0$，函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，
∴当$x=2$时，y取得最小值，最小值为$-2$；
在区间$0≤x≤6$内计算端点函数值：
当$x=0$时，$y=3$；当$x=6$时，$y=\frac{5}{4}×(6-2)^2-2=18$，
比较得最大值为18，
∴当$0≤x≤6$时，y的取值范围是$-2≤y≤18$。
(3)
∵点$(b-2,y_1)$、$(b,y_2)$在函数图象上，且$y_1＜y_2$，
结合开口向上的二次函数性质可得：点$(b,y_2)$到对称轴$x=2$的距离大于点$(b-2,y_1)$到对称轴的距离，即$|b-2|＞|(b-2)-2|$，
两边平方化简得$4b＞12$，解得$b＞3$。
【答案】
(1) $y=\frac{5}{4}(x-2)^2-2$（或$y=\frac{5}{4}x^2-5x+3$）；
(2) $-2≤y≤18$；
(3) $b＞3$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的增减性与最值
3. 二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，核心考察二次函数的基本性质，解题关键是熟练掌握顶点式的用法、增减性和最值的判断逻辑。求解区间函数值范围时需结合对称轴定位最值，不能直接代入区间端点计算；比较函数值大小时利用对称性可简化运算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
