1.已知点A,B,C,P在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，点P不在$\overset{\frown}{ABC}$上，下列说法：①$∠ APB=∠ BPC$；②$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ AOB$；③若弦AC经过圆心，则$∠ APC=90°$.其中正确的个数是().

A.0
B.1
C.2
D.3

1.D

【分析】
本题考查圆中弧、圆心角、圆周角的关系，解题时先回忆相关性质，再对三个说法逐一验证：首先利用等弧所对圆周角相等判断①；再结合圆周角定理和等弧所对圆心角相等判断②；最后根据直径所对圆周角为直角判断③，即可得出正确结论的个数。
【解析】
我们逐个分析三个说法：
1. 判断说法①：
已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”，$∠ APB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，且点P不在$\overset{\frown}{ABC}$上，两个角均对应劣弧，因此$∠ APB=∠ BPC$，故①正确。
2. 判断说法②：
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，$∠ BPC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，因此$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC$；又因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，等弧所对的圆心角相等，所以$∠ AOB=∠ BOC$，代入可得$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ AOB$，故②正确。
3. 判断说法③：
若弦AC经过圆心，则AC是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，$∠ APC$是直径AC所对的圆周角，因此$∠ APC=90°$，故③正确。
综上，①②③均正确，正确的个数是3。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，直径所对圆周角特征
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心是理清弧、圆心角、圆周角三者的对应关系，解题时需注意结合题目的限制条件判断角的对应弧，避免混淆。
【难度系数】
0.8

2.(2025,重庆,4)如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOB=100°,则∠C的度数是().

A.40°
B.50°
C.80°
D.100°

2.B

【分析】
本题要求圆周角∠C的度数，首先观察到∠AOB和∠C都是弧AB所对的角，其中∠AOB是圆心角，∠C是圆周角，可联想到圆周角定理求解。解题步骤为：第一步确认两个角所对的弧为同一段弧AB；第二步根据圆周角定理得到圆周角和圆心角的数量关系；第三步代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ ∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB，
又
∵ ∠AOB = 100°，
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础常考题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，计算难度低，掌握定理即可快速得分。
【难度系数】
0.9

3.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ BAC=50°$，则$∠ D$的度数是().

A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$80°$

3.B

【分析】
解题时首先观察图形特征：AB是圆的直径，联想到“直径所对的圆周角为直角”，可先求出△ABC中∠ABC的度数；再根据圆周角相关性质，同弧所对的圆周角相等，∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，因此二者相等，即可求出∠D的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=180°-∠ ACB-∠ BAC=180°-90°-50°=40°$。
又
∵$∠ D$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴$∠ D=∠ ABC=40°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角相等，三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础考察题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，先利用直径的特征求出对应角的度数，再结合同弧圆周角相等的性质即可求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

4.(2024,重庆B卷,8)如图,AB是$\odot O$的弦,$OC⊥ AB$交$\odot O$于点C,点D是$\odot O$上一点,连接BD,CD.若$∠ D=28°$,则$∠ OAB$的度数为().

A.$28°$
B.$34°$
C.$56°$
D.$62°$
(第4题)

4.B

【分析】
解题思路如下：首先，已知圆周角∠D的度数，根据圆周角定理，可求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；其次，由OC⊥AB，结合垂径定理可知OC平分弧AB，因此∠AOC与∠BOC相等；最后，在OC与AB垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠OAB的度数。
【解析】
设OC与AB交于点E。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
∵∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠D=28°
∴∠BOC=2∠D=2×28°=56°
2. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。
∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径
∴弧AC=弧BC，因此∠AOC=∠BOC=56°
3.
∵OC⊥AB，
∴∠AEO=90°，在Rt△AEO中，两锐角互余：
∠OAB + ∠AOC = 90°
∴∠OAB=90° - 56°=34°
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题关键是明确同弧对应的圆周角和圆心角的数量关系，结合垂径定理得到等角，再利用直角三角形的角度关系求解，属于圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

5.(2025,长沙,8)如图,AC,BC为$\odot O$的弦,连接OA,OB,OC.若$∠ AOB=40°$,$∠ OCA=30°$,则$∠ BCO$的度数为().

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

5.C

【分析】
解题时首先利用同圆的半径相等，可得OA=OC、OB=OC，即△OAC和△OBC都是等腰三角形。第一步先根据△OAC的已知底角∠OCA=30°，结合三角形内角和算出顶角∠AOC的度数；第二步用∠AOC减去已知的∠AOB，得到∠BOC的度数；最后利用等腰△OBC的内角和性质，即可求出底角∠BCO的度数。
【解析】
∵ OA、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC，△OAC为等腰三角形，
∴ ∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
又
∵ ∠AOB=40°，
∴ ∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°，
∵ OB、OC均为⊙O的半径，
∴ OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴ ∠BCO=∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径相等，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识的综合基础题，解题关键是抓住同圆半径相等得到等腰三角形，再结合内角和定理逐步推导角度，计算过程简单，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

6.如图，在$\odot O$中，圆周角$∠ BAC=20°$，$∠ CDE=35°$，则$∠ BOE$的度数是。

6.$110°$

【分析】
要求圆心角∠BOE的度数，首先观察到∠BOE所对的弧是弧BE，弧BE可拆分为弧BC和弧CE两部分。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，我们可以先分别求出弧BC、弧CE对应的圆心角，再将两个圆心角相加即可得到∠BOE的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍。
1. 圆周角∠BAC对应弧BC，弧BC对应的圆心角为∠BOC，因此：
$∠ BOC=2∠ BAC=2×20°=40°$
2. 圆周角∠CDE对应弧CE，弧CE对应的圆心角为∠COE，因此：
$∠ COE=2∠ CDE=2×35°=70°$
3. 由图可知$∠ BOE=∠ BOC+∠ COE$，代入数值计算得：
$∠ BOE=40°+70°=110°$
【答案】
$110°$
【知识点】
圆周角定理；角的和差计算
【点评】
本题是圆的性质类基础题，解题核心是熟练运用圆周角定理，将所求圆心角拆分为两个已知圆周角对应圆心角的和，计算过程简单，只要找准圆周角与圆心角的对应弧就能顺利解题。
【难度系数】
0.8