2.如图,在$\odot O$中,直径AB与弦CD相交于点P,且$OP=PD$,则下列结论成立的是().

A.$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$
B.$\overset{\frown}{AC}=3\overset{\frown}{BD}$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$
D.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$

2.B

【分析】
要判断弧的数量关系，根据圆的性质，同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此可连接辅助线OC，将弧的关系转化为圆心角∠AOC和∠BOD的数量关系求解。先利用等腰三角形等边对等角的性质，设∠BOD为x，逐步推导各相关角的度数，得到两个圆心角的倍数关系，即可对应得到弧的数量关系。
【解析】
连接OC。
∵ OC、OD均为$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，可得$∠ OCD=∠ ODC$。
∵ $OP=PD$，
∴ $∠ POD=∠ ODC$。
设$∠ POD=∠ ODC=∠ OCD=x$。
∵ $∠ CPO$是$△ OPD$的外角，
∴ $∠ CPO=∠ POD+∠ ODC=x+x=2x$。
在$△ COP$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ COP=180°-∠ OCD-∠ CPO=180°-x-2x=180°-3x$。
∵ AB是直径，$∠ AOC$与$∠ COP$互为邻补角，
∴ $∠ AOC=180°-∠ COP=180°-(180°-3x)=3x$。
∵ 同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，$\overset{\frown}{AC}$对应圆心角$∠ AOC=3x$，$\overset{\frown}{BD}$对应圆心角$∠ BOD=x$，因此$\overset{\frown}{AC}=3\overset{\frown}{BD}$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形角度计算结合的典型题型，解题关键是通过连接辅助线OC，将弧的关系转化为圆心角的角度关系，结合等腰三角形、外角性质推导角度倍数即可解题，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

3.在$\odot O$中，弦$AB=AC$，$∠ BOC=100°$，则$∠ AOB$的度数是。

3.$130°或50°$ 【提示】当$∠BAC$为锐角时，$∠AOB=130°$；当$∠BAC$为钝角时，$∠AOB=50°$。

【分析】
首先根据同圆中相等的弦所对的弧相等，由AB=AC可得弧AB=弧AC，说明点A在BC的垂直平分线上，存在两种位置情况：点A在优弧BC上、点A在劣弧BC上，需分类讨论。再结合已知的圆心角∠BOC=100°，根据圆心角的度数等于它所对弧的度数，分别计算两种情况下∠AOB的度数即可。
【解析】
在$\odot O$中，
∵ $AB=AC$，
∴ 弧$AB=$弧$AC$（同圆中相等的弦所对的弧相等），分两种情况讨论：
1. 当点$A$在优弧$BC$上时：
∵ $∠ BOC=100°$，即劣弧$BC$的度数为$100°$，
∴ 优弧$BAC$的度数为$360° - 100° = 260°$，
∵ 弧$AB=$弧$AC$，
∴ 弧$AB$的度数为$260° ÷ 2 = 130°$，
∴ $∠ AOB=130°$（圆心角的度数等于所对弧的度数）。
2. 当点$A$在劣弧$BC$上时：
∵ 劣弧$BC$的度数为$100°$，弧$AB=$弧$AC$，
∴ 弧$AB$的度数为$100° ÷ 2 = 50°$，
∴ $∠ AOB=50°$。
综上，$∠ AOB$的度数为$130°$或$50°$。
【答案】
$130°$或$50°$
【知识点】
1. 弦弧圆心角的关系 2. 圆心角性质 3. 圆的对称性
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的关键是结合圆的对称性考虑点A的两种位置，易错点是仅考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

4.如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ AOB=110°$，则$∠ OCB$的度数是。

4.$20°$

【分析】
解题时先利用同圆中等弧所对的圆心角相等的性质，求出∠AOC的度数，再结合周角为360°算出圆心角∠BOC的度数，最后根据圆的半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，即可求出∠OCB的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴同圆中等弧所对的圆心角相等，得$∠ AOC=∠ AOB=110°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ AOB-∠ AOC=360°-110°-110°=140°$，
又
∵OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OC$，即$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等弧对等圆心角；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是找准弧与圆心角的对应关系，结合等腰三角形的性质求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7

5.已知两个以点O为圆心的圆，OA，OB是大圆的半径.
(1)如图①，OA，OB交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，求证:$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.
(2)如图②，AO，BO的延长线交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，$\overset{\frown}{AE}$和$\overset{\frown}{BF}$是否相等？说明你的理由.

5.(1)【证明】如图①，连接OE,OF.$\because OE=OF,\therefore ∠OEF=∠OFE$.$\because OC=OD,\therefore ∠OCD=∠ODC$.$\therefore ∠OCE=∠ODF.\therefore△ OCE≌△ ODF(\mathrm{AAS})$.$\therefore ∠EOA=∠FOB.\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.(2)【解】$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.理由如下：如图②，连接OE,OF.由(1)可得$△ ODE≌△ OCF$.$\therefore ∠EOD=∠FOC$.$\because ∠AOD=∠BOC$，$\therefore ∠AOD-∠EOD=∠BOC-∠FOC$，即$∠AOE=∠BOF.\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.

【分析】
要证明两段弧相等，根据圆的基本性质：同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此只需证明两段弧对应的圆心角$∠ AOE=∠ BOF$即可。
(1) 首先连接大圆半径$OE、OF$，可得到等腰$△ OEF$，结合小圆半径$OC=OD$得到的等腰$△ OCD$的角相等关系，可证明$△ OCE$和$△ ODF$全等，进而得到对应角$∠ EOA=∠ FOB$，即可推出弧相等。
(2) 思路与(1)一致，连接$OE、OF$后先证明三角形全等得到对应角相等，再结合对顶角相等的性质，通过角的差运算得到$∠ AOE=∠ BOF$，即可推出弧相等。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接$OE,OF$。
$\because OE、OF$都是大圆的半径，$\therefore OE=OF$，$\therefore ∠ OEF=∠ OFE$。
$\because OC、OD$都是小圆的半径，$\therefore OC=OD$，$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。
由平角的性质可得$∠ OCE=180°-∠ OCD$，$∠ ODF=180°-∠ ODC$，$\therefore ∠ OCE=∠ ODF$。
在$△ OCE$和$△ ODF$中：
$\begin{cases}∠ OEC=∠ OFD \\∠ OCE=∠ ODF \\OC=OD\end{cases}$
$\therefore △ OCE≌△ ODF(\mathrm{AAS})$，$\therefore ∠ EOA=∠ FOB$。
$\because$ 在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$。
(2) $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，理由如下：
如图②，连接$OE,OF$。
同理(1)可得$OE=OF$，$∠ OEF=∠ OFE$，$OC=OD$，$∠ OCD=∠ ODC$，可证$△ ODE≌△ OCF(\mathrm{AAS})$，$\therefore ∠ EOD=∠ FOC$。
$\because ∠ AOD$和$∠ BOC$是对顶角，$\therefore ∠ AOD=∠ BOC$。
$\therefore ∠ AOD-∠ EOD=∠ BOC-∠ FOC$，即$∠ AOE=∠ BOF$。
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$。
【答案】
5.(1)【证明】如图①，连接OE,OF.$\because OE=OF,\therefore ∠OEF=∠OFE$.$\because OC=OD,\therefore ∠OCD=∠ODC$.$\therefore ∠OCE=∠ODF.\therefore△ OCE≌△ ODF(\mathrm{AAS})$.$\therefore ∠EOA=∠FOB.\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.(2)【解】$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.理由如下：如图②，连接OE,OF.由(1)可得$△ ODE≌△ OCF$.$\therefore ∠EOD=∠FOC$.$\because ∠AOD=∠BOC$，$\therefore ∠AOD-∠EOD=∠BOC-∠FOC$，即$∠AOE=∠BOF.\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$.
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形判定与性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆性质的常规应用题型，核心是将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，连接半径构造全等三角形是圆中非常典型的辅助线做法，解题过程中用到的转化思想在圆的证明题中十分常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7