8.如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ AOE=72°$，则$∠ BOC$的度数是。
（第8题）

8.36°

【分析】
解题时首先回忆相关性质：直径对应的圆心角是平角，度数为180°，同圆内相等的弧所对的圆心角相等。第一步先利用平角的性质求出∠BOE的度数，第二步结合三个弧相等的条件，可知三个弧对应的圆心角相等，将∠BOE三等分就能得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ AOB=180°$
已知$∠ AOE=72°$，则：
$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-72°=108°$
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$
∴同圆中相等的弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×108°=36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
平角的定义；等弧对等圆心角；圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的性质基础考题，解题关键是抓住同圆中弧与圆心角的对应关系，结合角度的和差计算即可得到结果，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

9.如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$OC⊥ AB$,$OB⊥ CD$.连接$AC$,$BC$,$BD$,$OA$,$OD$,则图中相等的圆心角是________,相等的弦是________,相等的弧是________(写出一组即可).

9.$∠AOC=∠BOD,AB=CD,\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$(答案不唯一，合理即可)

【分析】
解题时先回忆圆的相关性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，同时平分弦所对的圆心角；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。首先由OC⊥AB推导∠AOC与∠BOC相等、弧AC与弧BC相等、弦AC与弦BC相等，再由OB⊥CD推导∠BOC与∠BOD相等、弧BC与弧BD相等、弦BC与弦BD相等，最后通过等量代换即可得到多组相等的圆心角、弦、弧，任选一组作答即可。
【解析】
1. 已知OC⊥AB，OC为⊙O的半径，根据垂径定理，OC平分圆心角∠AOB、平分弧AB，因此$∠ AOC=∠ BOC$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$AC=BC$。
2. 已知OB⊥CD，OB为⊙O的半径，同理可得OB平分圆心角∠COD、平分弧CD，因此$∠ BOC=∠ BOD$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$BC=BD$。
3. 通过等量代换可得：
圆心角：$∠ AOC=∠ BOD$，还有$∠ AOB=∠ COD$等；
弦：$AB=CD$，还有$AC=BD$等；
弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，还有$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$等。
任选一组符合要求的结论即可。
【答案】
$∠ AOC=∠ BOD$，$AB=CD$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 垂径定理
2. 圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题核心是熟练运用垂径定理和同圆中圆心角、弧、弦的等量转换关系，作答时只需写出满足要求的一组结论即可，灵活性较强。
【难度系数】
0.8

10.如图，AB，CD是$\odot O$的直径，$∠ AOC = 36°$，E是BC的中点，则$∠ AOE$的度数是。

10.108°

【分析】
解题时先从已知条件出发：首先AB是圆的直径，对应的圆心角∠AOB是平角为180°，结合已知∠AOC的度数可先求出∠BOC的度数；再根据E是弧BC的中点，可知弧CE和弧EB相等，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此可求出∠COE的度数；最后将∠AOC和∠COE相加即可得到∠AOE的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB = 180°$，
∵$∠ AOC = 36°$，
∴$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 180° - 36° = 144°$，
∵E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{EB}$，
∴$∠ COE = ∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 144° = 72°$，
∴$∠ AOE = ∠ AOC + ∠ COE = 36° + 72° = 108°$。
【答案】
$108°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的性质；弧中点的定义
【点评】
本题属于圆的有关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，结合平角的度数即可逐步推导求出所求角的度数。
【难度系数】
0.7

11.如图，A,B,C,D是$\odot O$上的点，$∠ 1=∠ 2$，$AC=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
(2)求BD的长.

11.(1)【证明】$\because ∠1=∠2$，$\therefore ∠1+∠COB=∠2+∠COB$，即$∠DOB=∠COA.\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.(2)【解】$\because\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore BD=AC$.$\because AC=3\ \mathrm{cm},\therefore BD=3\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1)要证明$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等的性质，只需证明两条弧对应的圆心角相等即可。已知$∠1=∠2$，给两个等角同时加上公共角$∠COB$，即可得到$∠COA=∠DOB$，进而推导出弧相等。
(2)要求BD的长度，根据同圆中相等的弧所对的弦相等的性质，结合(1)的结论$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可得BD与AC长度相等，代入已知AC的长度即可求出BD的长。
【解析】
(1)证明：$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠1+∠COB=∠2+∠COB$，
即$∠DOB=∠COA$。
$\because$在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2)解：$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\because$在同圆中，相等的弧所对的弦相等，
$\therefore BD=AC$，
又$\because AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)已证$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
(2)$3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 弧与弦的关系
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，解题核心是掌握同圆中圆心角、弧、弦三者的等量转换关系，通过角的和差得到等圆心角是解题的切入点，整体思路直接，难度不大。
【难度系数】
0.8

12.如图,以$□ ABCD$的顶点A为圆心,AB为半径作$\odot A$,交BC,AD于点M,N,交BA的延长线于点E.
(1)求证:$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{EN}$;
(2)若$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BM}$,求$∠ D$的度数.

12.(1)【证明】如图，连接AM.$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC$.$\therefore ∠EAN=∠B$，$∠NAM=∠AMB$.$\because AB=AM,\therefore ∠B=∠AMB$.$\therefore ∠NAM=∠EAN.\therefore\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{EN}$.(2)【解】$\because\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BM},\therefore ∠NAM=∠BAM$.$\because ∠NAM=∠EAN$，$\therefore ∠NAM=∠BAM=∠EAN$.$\because ∠NAM+∠BAM+∠EAN=180°$，$\therefore ∠BAM=60°$.$\because AB=AM,\therefore△ ABM$是等边三角形.$\therefore ∠B=60°$.$\therefore ∠D=∠B=60°$.

【分析】
(1)要证明弧相等，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明$\overset{\frown}{MN}$和$\overset{\frown}{EN}$对应的圆心角∠MAN和∠EAN相等即可。首先连接半径AM构造等腰三角形，结合平行四边形对边平行的性质推导角的等量关系，即可得到两个圆心角相等。
(2)已知$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BM}$，同样利用同圆中弧相等对应圆心角相等，可得∠BAM=∠MAN，结合(1)的结论可知∠EAN、∠MAN、∠BAM三个角相等，且三个角组成平角和为180°，求出∠B的度数后，利用平行四边形对角相等的性质即可得到∠D的度数。
【解析】
(1)证明：如图，连接AM。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠EAN=∠B$，$∠NAM=∠AMB$。
∵AB、AM都是$\odot A$的半径，
∴$AB=AM$，
∴$∠B=∠AMB$，
∴$∠NAM=∠EAN$，
∴$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{EN}$。
(2)解：
∵$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{BM}$，
∴$∠NAM=∠BAM$。
由(1)可知$∠NAM=∠EAN$，
∴$∠NAM=∠BAM=∠EAN$。
又
∵$∠NAM+∠BAM+∠EAN=180°$，
∴$3∠BAM=180°$，解得$∠BAM=60°$。
∵$AB=AM$，
∴$△ ABM$是等边三角形，
∴$∠B=60°$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$∠D=∠B=60°$。
【答案】
(1)$\overset{\frown}{MN}=\overset{\frown}{EN}$得证；(2)$∠D=60°$
【知识点】
平行四边形的性质；圆心角与弧的关系；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题的核心是掌握同圆中弧相等与圆心角相等的互相转化，连接半径构造等腰三角形是圆中常见的辅助线做法，能较好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

1.如图，AB是$\odot O$的直径，EF，EB是$\odot O$的弦，且$EF=EB$，EF与AB交于点C，连接OF.若$∠ AOF=40°$，则$∠ F$的度数是（）.

A.$20°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$55°$

1.B

【分析】
解题思路可分三步：①先利用平角性质求∠FOB的度数：AB是直径，∠AOF与∠FOB为邻补角，和为180°，已知∠AOF=40°，可直接算出∠FOB；②再求圆心角∠EOF的度数：等弦对等圆心角，结合EF=EB，可得∠EOF=∠EOB，周角为360°，减去∠FOB的度数后平分即可得到∠EOF；③最后利用等腰三角形性质求∠F：OF、OE都是半径，△OEF为等腰三角形，内角和180°，减去顶角∠EOF后平分即可得到底角∠F的度数，解题过程需先添加辅助线连接OE。
【解析】
解：连接OE，
1. 求∠FOB的度数
∵AB是⊙O的直径，∠AOF=40°，
∴∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°。
2. 证明∠EOF=∠EOB
∵EF=EB，OF、OB、OE均为⊙O的半径，即OF=OB=OE，
∴△OEF≌△OEB（SSS），
∴∠EOF=∠EOB。
3. 求∠EOF的度数
∵周角为360°，
∴∠EOF+∠EOB=360°-∠FOB=360°-140°=220°，
∴∠EOF=220°÷2=110°。
4. 求∠F的度数
在△OEF中，OF=OE，△OEF为等腰三角形，
∴∠F=(180°-∠EOF)÷2=(180°-110°)÷2=35°。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，全等三角形判定
【点评】
本题是圆中角度计算的常规题型，核心考察同圆中等弦对等圆心角的性质，解题关键是合理添加辅助线OE，结合全等三角形、等腰三角形的性质推导角度关系，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7