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12.关于$x$的方程：
$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$（可变形为$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$）的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$；$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；…
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是什么；
(2)请总结上面方程与解的特征，得出结论，并求出$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$的解。
$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$（可变形为$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$）的解为$x_1=c,x_2=\frac{-1}{c}$；$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；…
(1)请你根据上述方程与解的特征，猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是什么；
(2)请总结上面方程与解的特征，得出结论，并求出$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$的解。
答案
12.解:(1)根据题干中方程与解的特征,猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$。
(2)结论:方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$。
方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$变形，
得$y-1+\frac{2}{y-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$，
根据上述结论,得$y-1=a-1$或$y-1=\frac{2}{a-1}$，
解得$y_1=a,y_2=\frac{a+1}{a-1}$。
(2)结论:方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$。
方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$变形，
得$y-1+\frac{2}{y-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$，
根据上述结论,得$y-1=a-1$或$y-1=\frac{2}{a-1}$，
解得$y_1=a,y_2=\frac{a+1}{a-1}$。
解析
【分析】
（1）观察给出的几个分式方程及其解的特征：方程左侧均为x加一个常数除以x，右侧均为常数c加同一个常数除以c，对应解都是x₁=c，x₂等于右侧分子除以c，据此可直接猜想所求方程的解。
（2）先总结通用规律：形如$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n≠0）的方程，解为$x_1=c，x_2=\frac{n}{c}$。求解含y的方程时，将$y-1$看作整体，把方程变形为符合上述规律的形式，再套用规律得到关于y的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 观察题干给出的多组方程与解的对应规律：
$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；
……
由此可猜想方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
(2) 总结结论：形如$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n为常数且n≠0）的方程，解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$。
求解方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$：
先对左右两侧变形：$y=(y-1)+1$，$a=(a-1)+1$，代入原方程得：
$y-1 + 1 + \frac{2}{y-1} = a-1 + 1 + \frac{2}{a-1}$
两边同时减去1，可得：
$y-1 + \frac{2}{y-1} = a-1 + \frac{2}{a-1}$
将$y-1$看作整体，套用上述结论，可得：
$y-1 = a-1$ 或 $y-1 = \frac{2}{a-1}$
解第一个方程得$y_1=a$；
解第二个方程：$y = 1 + \frac{2}{a-1} = \frac{a-1+2}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$。
经检验，$y_1=a$和$y_2=\frac{a+1}{a-1}$均为原分式方程的解。
【答案】
(1) 方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$；
(2) 结论：方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n≠0）的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$；方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$的解为$y_1=a,y_2=\frac{a+1}{a-1}$。
【知识点】
分式方程的解，规律探究，换元法解方程
【点评】
本题属于规律探究类分式方程问题，既考查学生的观察归纳能力，又考查转化思想的应用，需要学生将陌生方程变形为符合已知规律的形式求解，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的几个分式方程及其解的特征：方程左侧均为x加一个常数除以x，右侧均为常数c加同一个常数除以c，对应解都是x₁=c，x₂等于右侧分子除以c，据此可直接猜想所求方程的解。
（2）先总结通用规律：形如$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n≠0）的方程，解为$x_1=c，x_2=\frac{n}{c}$。求解含y的方程时，将$y-1$看作整体，把方程变形为符合上述规律的形式，再套用规律得到关于y的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 观察题干给出的多组方程与解的对应规律：
$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；
……
由此可猜想方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{m}{c}$。
(2) 总结结论：形如$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n为常数且n≠0）的方程，解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$。
求解方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$：
先对左右两侧变形：$y=(y-1)+1$，$a=(a-1)+1$，代入原方程得：
$y-1 + 1 + \frac{2}{y-1} = a-1 + 1 + \frac{2}{a-1}$
两边同时减去1，可得：
$y-1 + \frac{2}{y-1} = a-1 + \frac{2}{a-1}$
将$y-1$看作整体，套用上述结论，可得：
$y-1 = a-1$ 或 $y-1 = \frac{2}{a-1}$
解第一个方程得$y_1=a$；
解第二个方程：$y = 1 + \frac{2}{a-1} = \frac{a-1+2}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$。
经检验，$y_1=a$和$y_2=\frac{a+1}{a-1}$均为原分式方程的解。
【答案】
(1) 方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$；
(2) 结论：方程$x+\frac{n}{x}=c+\frac{n}{c}$（n≠0）的解为$x_1=c$，$x_2=\frac{n}{c}$；方程$y+\frac{2}{y-1}=a+\frac{2}{a-1}$的解为$y_1=a,y_2=\frac{a+1}{a-1}$。
【知识点】
分式方程的解，规律探究，换元法解方程
【点评】
本题属于规律探究类分式方程问题，既考查学生的观察归纳能力，又考查转化思想的应用，需要学生将陌生方程变形为符合已知规律的形式求解，能有效锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
1.若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1}+1=\frac{m}{1-x}$的解为非负数，则$m$的取值范围是（
A.$m≤1$且$m≠-1$
B.$m≥-1$且$m≠1$
C.$m＜1$且$m≠-1$
D.$m＞-1$且$m≠1$
A
）.A.$m≤1$且$m≠-1$
B.$m≥-1$且$m≠1$
C.$m＜1$且$m≠-1$
D.$m＞-1$且$m≠1$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这类分式方程含参求取值范围的问题，步骤如下：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的式子表示出方程的解x；再根据“解为非负数”列出关于m的不等式求解；最后要注意分式方程的分母不能为0，排除掉会产生增根的m的取值，综合两个条件得到最终的m的范围。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$，注意$1-x=-(x-1)$，因此去分母后得：
$x + (x - 1) = -m$
2. 解整式方程：
合并同类项得$2x - 1 = -m$，移项得$2x = 1 - m$，解得$x=\frac{1 - m}{2}$
3. 根据解的条件列不等式：
因为方程的解为非负数，所以$x≥0$，即$\frac{1 - m}{2}≥0$，解得$m≤1$
4. 排除增根：
分式方程分母不能为0，即$x-1≠0$，$x≠1$，代入$x=\frac{1 - m}{2}$得$\frac{1 - m}{2}≠1$，解得$m≠-1$
综合可得$m$的取值范围是$m≤1$且$m≠-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程求解；增根的意义；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题时需注意两个关键限制：一是方程的解要满足题目给出的取值要求，二是必须排除使原分式方程分母为0的增根对应的参数值，避免因忽略增根条件导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这类分式方程含参求取值范围的问题，步骤如下：首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的式子表示出方程的解x；再根据“解为非负数”列出关于m的不等式求解；最后要注意分式方程的分母不能为0，排除掉会产生增根的m的取值，综合两个条件得到最终的m的范围。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x-1$，注意$1-x=-(x-1)$，因此去分母后得：
$x + (x - 1) = -m$
2. 解整式方程：
合并同类项得$2x - 1 = -m$，移项得$2x = 1 - m$，解得$x=\frac{1 - m}{2}$
3. 根据解的条件列不等式：
因为方程的解为非负数，所以$x≥0$，即$\frac{1 - m}{2}≥0$，解得$m≤1$
4. 排除增根：
分式方程分母不能为0，即$x-1≠0$，$x≠1$，代入$x=\frac{1 - m}{2}$得$\frac{1 - m}{2}≠1$，解得$m≠-1$
综合可得$m$的取值范围是$m≤1$且$m≠-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程求解；增根的意义；一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程含参问题的典型考法，解题时需注意两个关键限制：一是方程的解要满足题目给出的取值要求，二是必须排除使原分式方程分母为0的增根对应的参数值，避免因忽略增根条件导致错误。
【难度系数】
0.6
2.已知关于$x$的方程$\frac{2x - m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$的解是正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞4$且$m≠5$
D.$m＜4$且$m≠1$
C
）。A.$m＞4$
B.$m＜4$
C.$m＞4$且$m≠5$
D.$m＜4$且$m≠1$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题需要分三步思考：第一步，先处理分式方程中互为相反数的分母，将方程变形后去分母化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步，根据“方程的解是正数”列不等式求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，排除使原方程分母为0的增根对应的m值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：先整理原方程，将第二个分式变形：
$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
由分式有意义的条件得：$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$
方程两边同时乘以$(x-1)$去分母，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 方程的解是正数
∴ $x ＞ 0$，即$m - 4 ＞ 0$，解得$m ＞ 4$
又
∵ $x ≠ 1$
∴ $m - 4 ≠ 1$，解得$m ≠ 5$
综上，m的取值范围是$m ＞ 4$且$m ≠ 5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的增根、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的常见易考题，核心考查分式方程的求解以及增根的注意事项，解题时最容易遗漏“分母不能为0”的隐含条件，导致少了“m≠5”的限制，因此求解后一定要回代检验分母是否为0。
【难度系数】
0.6
解决本题需要分三步思考：第一步，先处理分式方程中互为相反数的分母，将方程变形后去分母化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步，根据“方程的解是正数”列不等式求出m的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，排除使原方程分母为0的增根对应的m值，最终得到m的取值范围。
【解析】
解：先整理原方程，将第二个分式变形：
$\frac{2x - m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$
由分式有意义的条件得：$x - 1 ≠ 0$，即$x ≠ 1$
方程两边同时乘以$(x-1)$去分母，得：
$2x - m + 3 = x - 1$
移项、合并同类项，解得：
$x = m - 4$
∵ 方程的解是正数
∴ $x ＞ 0$，即$m - 4 ＞ 0$，解得$m ＞ 4$
又
∵ $x ≠ 1$
∴ $m - 4 ≠ 1$，解得$m ≠ 5$
综上，m的取值范围是$m ＞ 4$且$m ≠ 5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的增根、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是分式方程的常见易考题，核心考查分式方程的求解以及增根的注意事项，解题时最容易遗漏“分母不能为0”的隐含条件，导致少了“m≠5”的限制，因此求解后一定要回代检验分母是否为0。
【难度系数】
0.6
3.若关于$x$的分式方程$\frac{x - a}{x + 1}=a$无解，则$a$的值为
$\pm1$
。答案
3.$\pm1$
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况分别计算a的取值即可。
【解析】
首先将分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x+1$（注意$x≠-1$），得：
$x - a = a(x + 1)$
整理整式方程：
$x - a = ax + a$
移项合并同类项得：
$(1 - a)x = 2a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：
此时一次项系数为0，即$1 - a = 0$，解得$a=1$。
代入整式方程得$0× x=2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合条件。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的分母为$x+1$，令$x+1=0$，得增根为$x=-1$。
将$x=-1$代入整式方程$(1 - a)x = 2a$，得：
$(1 - a)×(-1) = 2a$
计算得：$-1 + a = 2a$，解得$a=-1$。
此时整式方程的解为增根，原分式方程无解，符合条件。
综上，$a$的值为$\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
分式方程无解的判定、分式方程的增根、一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程无解问题的典型题型，解题的核心是要全面考虑无解的两种情况，避免只考虑增根情况而遗漏整式方程本身无解的情况，解题过程中需灵活运用分类讨论思想。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解分两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身没有解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分两种情况分别计算a的取值即可。
【解析】
首先将分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x+1$（注意$x≠-1$），得：
$x - a = a(x + 1)$
整理整式方程：
$x - a = ax + a$
移项合并同类项得：
$(1 - a)x = 2a$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程无解时：
此时一次项系数为0，即$1 - a = 0$，解得$a=1$。
代入整式方程得$0× x=2$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合条件。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的分母为$x+1$，令$x+1=0$，得增根为$x=-1$。
将$x=-1$代入整式方程$(1 - a)x = 2a$，得：
$(1 - a)×(-1) = 2a$
计算得：$-1 + a = 2a$，解得$a=-1$。
此时整式方程的解为增根，原分式方程无解，符合条件。
综上，$a$的值为$\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
分式方程无解的判定、分式方程的增根、一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程无解问题的典型题型，解题的核心是要全面考虑无解的两种情况，避免只考虑增根情况而遗漏整式方程本身无解的情况，解题过程中需灵活运用分类讨论思想。
【难度系数】
0.5
4.飞机从A地到B地的速度是$v_1$，返回的速度是$v_2$，往返一次的平均速度是
$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
。答案
4.$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
解析
【分析】
要计算往返的平均速度，首先需明确平均速度的定义是总路程除以总时间，不可直接取两个速度的算术平均数（因为往返行驶时间不同）。解题步骤如下：①先设A地到B地的单程路程为s，可得到往返总路程；②根据“时间=路程÷速度”，分别计算去程和返程的行驶时间，相加得到总时间；③代入平均速度公式，化简消去参数s即可得到结果。
【解析】
设A地到B地的单程路程为$ s $，
则往返一次的总路程为$ 2s $，
去程所用时间$ t_1 = \frac{s}{v_1} $，返程所用时间$ t_2 = \frac{s}{v_2} $，
往返总时间$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} $，
根据平均速度公式$ \bar{v} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，代入得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}} $
对分母通分：$ \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s( \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} ) $
代入后约去分子分母的$ s $，得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $
【答案】
$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【知识点】
1. 平均速度计算
2. 分式化简
3. 行程问题公式
【点评】
本题是行程类基础题，易错点是混淆平均速度和速度的平均值，解题核心是牢记平均速度的计算公式为总路程除以总时间，求解过程中引入的单程路程参数属于中间量，化简时会自然消去，不影响最终结果。
【难度系数】
0.7
要计算往返的平均速度，首先需明确平均速度的定义是总路程除以总时间，不可直接取两个速度的算术平均数（因为往返行驶时间不同）。解题步骤如下：①先设A地到B地的单程路程为s，可得到往返总路程；②根据“时间=路程÷速度”，分别计算去程和返程的行驶时间，相加得到总时间；③代入平均速度公式，化简消去参数s即可得到结果。
【解析】
设A地到B地的单程路程为$ s $，
则往返一次的总路程为$ 2s $，
去程所用时间$ t_1 = \frac{s}{v_1} $，返程所用时间$ t_2 = \frac{s}{v_2} $，
往返总时间$ t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} $，
根据平均速度公式$ \bar{v} = \frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}} $，代入得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}} $
对分母通分：$ \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s( \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2} ) $
代入后约去分子分母的$ s $，得：
$ \bar{v} = \frac{2s}{s · \frac{v_1 + v_2}{v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} $
【答案】
$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【知识点】
1. 平均速度计算
2. 分式化简
3. 行程问题公式
【点评】
本题是行程类基础题，易错点是混淆平均速度和速度的平均值，解题核心是牢记平均速度的计算公式为总路程除以总时间，求解过程中引入的单程路程参数属于中间量，化简时会自然消去，不影响最终结果。
【难度系数】
0.7
5.若关于$x$的分式方程$\frac{4x}{x^2 -4}=\frac{a}{x+2}-\frac{b}{x-2}(x≠±2)$有任意解，试求$a^2 +b^2$的值.
答案
5.解:$\because \frac{4x}{x^2 -4}=\frac{a}{x+2}-\frac{b}{x-2}$
$\frac{4x}{x^2 -4}=\frac{(a-b)x-2a-2b}{x^2 -4}$,
$\therefore a-b=4,-2a-2b=0$,即$a+b=0$.
解得$a=2,b=-2$,则$a^2 +b^2=4+4=8$.
$\frac{4x}{x^2 -4}=\frac{(a-b)x-2a-2b}{x^2 -4}$,
$\therefore a-b=4,-2a-2b=0$,即$a+b=0$.
解得$a=2,b=-2$,则$a^2 +b^2=4+4=8$.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确分式方程有任意解的含义：当两边分母相同时，左右分子是恒等多项式，对应同类项系数相等。解题思路如下：第一步先对等式右侧的分式通分，化为和左侧分母一致的分式；第二步根据等式恒成立的性质，让分子的一次项系数、常数项分别对应相等，列出关于a、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出a、b的取值，最后代入计算$a^2+b^2$即可。
【解析】
解：对等式右侧的分式通分，得：
$\frac{a}{x+2}-\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)-b(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{(a-b)x-2a-2b}{x^2 -4}$
∵原分式方程对任意$x≠±2$都成立，且两边分母相同
∴分子对应同类项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a-b=4 \\ -2a-2b=0\end{cases}$
化简第二个方程得$a+b=0$，联立$\begin{cases}a-b=4 \\ a+b=0\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=0$得$b=-2$
∴$a^2 +b^2=2^2 + (-2)^2=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
分式的通分；多项式恒等性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查分式恒成立条件的应用，解题核心是通过通分将分式问题转化为整式恒等问题，利用对应系数相等列方程求解，属于分式部分的基础拓展题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确分式方程有任意解的含义：当两边分母相同时，左右分子是恒等多项式，对应同类项系数相等。解题思路如下：第一步先对等式右侧的分式通分，化为和左侧分母一致的分式；第二步根据等式恒成立的性质，让分子的一次项系数、常数项分别对应相等，列出关于a、b的二元一次方程组；第三步解方程组求出a、b的取值，最后代入计算$a^2+b^2$即可。
【解析】
解：对等式右侧的分式通分，得：
$\frac{a}{x+2}-\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)-b(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{(a-b)x-2a-2b}{x^2 -4}$
∵原分式方程对任意$x≠±2$都成立，且两边分母相同
∴分子对应同类项系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}a-b=4 \\ -2a-2b=0\end{cases}$
化简第二个方程得$a+b=0$，联立$\begin{cases}a-b=4 \\ a+b=0\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=0$得$b=-2$
∴$a^2 +b^2=2^2 + (-2)^2=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
分式的通分；多项式恒等性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查分式恒成立条件的应用，解题核心是通过通分将分式问题转化为整式恒等问题，利用对应系数相等列方程求解，属于分式部分的基础拓展题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.6
