4.关于$x$的分式方程$\frac{m}{x-5}=1$，下列说法中正确的是().

A.方程的解是$x=m+5$
B.当$m＞-5$时，方程的解是正数
C.当$m＜-5$时，方程的解是负数
D.无法确定方程的解

4.C

【分析】
解决本题首先要掌握分式方程的求解规则，尤其注意分式分母不能为0，否则方程会产生增根、无解。解题思路分为两步：第一步先去分母求出方程解的表达式，同时明确解有意义的限制条件（分母不为0）；第二步结合限制条件逐个分析选项，排除错误结论，锁定正确答案。
【解析】
首先求解分式方程$\frac{m}{x-5}=1$：
1. 去分母（两边同乘$x-5$，需满足$x-5≠0$即$x≠5$），得$m=x-5$，移项得$x=m+5$。
2. 解有意义的限制条件：当$x=5$即$m+5=5$，也就是$m=0$时，分母为0，方程有增根，无解。
接下来逐个分析选项：
选项A：仅当$m≠0$时方程的解是$x=m+5$，$m=0$时方程无解，因此A错误。
选项B：若解为正数，需满足$x=m+5＞0$且$x≠5$，即$m＞-5$且$m≠0$，仅说$m＞-5$时解为正数不成立（如$m=0$时方程无解），因此B错误。
选项C：当$m＜-5$时，$x=m+5＜0$，此时$x$为负数，必然不等于5，分母$x-5≠0$，方程有解且解为负数，因此C正确。
选项D：已经确定C正确，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解；分式有意义的条件；一元一次不等式应用
【点评】
本题是分式方程解的性质判断的典型题型，易错点是容易忽略分母不为0的限制条件，误选A或B，判断解的正负等性质前，需先保证解是有意义的，不存在增根。
【难度系数】
0.6

5.若关于$x$的方程$\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{2a-3}{a+5}$的解为$x=0$，则$a$等于().

A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$

5.A

【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知方程的解为x=0，我们只需要将x=0代入原分式方程，就能得到一个仅含参数a的分式方程，再按解分式方程的步骤求解a，最后检验所得的a是否能让原方程所有分母不为0即可。
【解析】
把$x=0$代入原方程$\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{2a-3}{a+5}$，可得：
$\dfrac{0+1}{0-2}=\dfrac{2a-3}{a+5}$
化简左边得：
$-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2a-3}{a+5}$
交叉相乘（$a+5≠0$）得：
$-(a+5)=2(2a-3)$
去括号：
$-a-5=4a-6$
移项合并同类项：
$-5a=-1$
系数化为1得：
$a=\dfrac{1}{5}$
检验：当$a=\dfrac{1}{5}$时，$a+5=\dfrac{1}{5}+5=\dfrac{26}{5}≠0$，原方程分母$x-2=0-2=-2≠0$，所以$a=\dfrac{1}{5}$是符合要求的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解；解分式方程；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，解题关键是熟练运用方程解的定义将问题转化为参数方程求解，求解后注意检验分母不为零，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

6.若分式$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6}$的值为0，则x的值为.

6.2

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个核心条件：一是分式的分子值为0，二是分式的分母不能为0（分母为0时分式无意义）。解题时先求解分子等于0时x的所有可能值，再将这些值代入分母验证，排除使分母为0的x，剩下的就是最终结果。
【解析】
若分式$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6}$的值为0，需同时满足：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$
解方程得：$x^2=4$，即$x=2$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x^2 + 5x + 6 ≠ 0$
对分母因式分解得：$(x+2)(x+3) ≠ 0$
因此$x ≠ -2$且$x ≠ -3$
结合两个条件，排除$x=-2$，故$x=2$
【答案】
2
【知识点】
分式值为0的条件，因式分解，解一元二次方程
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，易错点是解题时仅考虑分子为0的条件，忽略分母不能为0的限制，直接得出x=±2的错误结果。解答这类题时一定要先明确分式有意义的前提，养成解完后检验分母的习惯。
【难度系数】
0.7

7.若分式$\frac{x-5}{x-4}$与$\frac{4-2x}{4-x}$的值相等，则$x$的值为。

7.-1

【分析】
首先根据两个分式值相等的条件列出分式方程，观察发现两个分母$x-4$和$4-x$互为相反数，可通过乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，解完后必须检验所得的解是否让原分式分母不为0，排除增根。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{x-5}{x-4}=\frac{4-2x}{4-x}$
该分式方程的最简公分母为$x-4$，且$x≠4$（分式分母不能为0），方程两边同时乘$x-4$得：
$x-5=-(4-2x)$
去括号：
$x-5=-4+2x$
移项、合并同类项：
$x-2x=-4+5$
$-x=1$
解得$x=-1$。
检验：将$x=-1$代入最简公分母$x-4=-1-4=-5≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式有意义的条件
3. 分式方程验根
【点评】
本题核心考查分式方程的求解，解题关键是正确处理互为相反数的分母的符号问题，牢记分式方程必须验根，避免把增根当成有效解。
【难度系数】
0.7

8.若$\frac{3}{x}$与$\frac{6}{x-1}$互为相反数，则$x$的值为。

8.$\frac{1}{3}$

【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0的性质，列出关于x的分式方程；再按照分式方程的求解步骤，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到x的候选值；最后代入最简公分母检验，确认解是否为原分式方程的有效根。
【解析】
解：
∵$\frac{3}{x}$与$\frac{6}{x-1}$互为相反数，互为相反数的两数和为0，
∴$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}=0$，
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$（$x≠0$且$x≠1$），去分母得：
$3(x-1)+6x=0$，
展开括号得：$3x-3+6x=0$，
合并同类项得：$9x-3=0$，
移项得：$9x=3$，
系数化为1得：$x=\frac{1}{3}$，
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$x(x-1)=\frac{1}{3}×(\frac{1}{3}-1)=-\frac{2}{9}≠0$，
∴$x=\frac{1}{3}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
相反数的性质；解分式方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查相反数的性质与分式方程的求解，解题时需注意分式方程求出解后必须检验，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8

9.若关于$x$的方程$\frac{2ax+3}{a-x}=\frac{3}{4}$的解为$x=1$，则$a$的值为。

9.-3

【分析】
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题思路如下：第一步，根据方程解的定义，将x=1代入原方程，即可得到一个只含有未知数a的分式方程；第二步，按照解分式方程的步骤去分母、求解a的值；第三步，因为原方程是分式方程，需检验所求的a值是否使原方程的分母不为0，排除增根的情况，最终得到a的正确取值。
【解析】
∵x=1是方程$\frac{2ax+3}{a-x}=\frac{3}{4}$的解
∴将x=1代入原方程，得：
$\frac{2a×1 + 3}{a - 1}=\frac{3}{4}$
去分母，两边同乘$4(a-1)$（$a≠1$），得：
$4(2a+3)=3(a-1)$
展开括号：
$8a + 12 = 3a - 3$
移项、合并同类项：
$8a - 3a = -3 -12$
$5a = -15$
系数化为1：
$a=-3$
检验：当$a=-3$时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，符合分式有意义的条件，故$a=-3$是有效解。
【答案】
-3
【知识点】
1.方程的解的定义
2.解分式方程
3.分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题，核心是利用方程解的性质将求参数的问题转化为解分式方程的问题，求解后注意检验分母不为零，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8

10.当$m=$时，关于$x$的方程$\frac{m}{x^2 -9}+\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-3}$无解。

10.6或12 【提示】原方程的两边都乘$(x+3)(x-3)$，去分母，得$m+2(x-3)=x+3$，解得$x=9-m$。
当分式方程无解时，$(x+3)(x-3)=0$，
$\therefore$当$x=3$时，$m=6$；当$x=-3$时，$m=12$。

【分析】
遇到分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解通常对应两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即让原分式方程分母为0的未知数的值）。本题去分母后得到的是一元一次方程，一定有解，因此只需要考虑增根的情况。解题步骤为：先确定原分式方程的最简公分母，找到可能的增根；再去分母将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示x；最后将增根代入表达式求出对应的m值即可。
【解析】
解：原方程的最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边同时乘$(x+3)(x-3)$（此时需满足$x≠\pm3$，否则原分式无意义），去分母得：
$m + 2(x - 3) = x + 3$
整理求解这个整式方程：
$m + 2x - 6 = x + 3$
$2x - x = 3 + 6 - m$
解得 $x = 9 - m$
因为原分式方程无解，说明$x=9-m$是原方程的增根，即满足$(x+3)(x-3)=0$，因此$x=3$或$x=-3$：
①当$x=3$时，代入$x=9-m$得：$3 = 9 - m$，解得$m=6$；
②当$x=-3$时，代入$x=9-m$得：$-3 = 9 - m$，解得$m=12$。
综上，m的值为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法；一元一次方程的求解
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题目，解题核心是理解增根的含义：增根是去分母后整式方程的解，同时也是使原分式方程分母为0的未知数的值，求解时要将所有可能的增根分别代入计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11.已知方程$\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}$的解为$x=2$，求$\frac{a}{a-1}-\frac{1}{a^2 -a}$的值。

11.解:把$x=2$代入$\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}$,得$a=3$。
原式$=\frac{a^2}{a^2 -a}-\frac{1}{a^2 -a}=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a}$。
$\therefore$当$a=3$时,原式$=\frac{4}{3}$。

【分析】
解题分两步进行：第一步，根据方程解的定义，将已知的解x=2代入原分式方程，即可求出参数a的值；第二步，先对所求的分式代数式进行化简，先通分化为同分母分式，再结合因式分解和约分规则简化式子，最后将a的值代入化简后的式子计算结果，先化简再代入可以简化计算，避免出错。
【解析】
1. 求a的值：
把$x=2$代入方程$\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}$，得：
$\frac{1}{2-1}=\frac{a}{2+1}$
即$1=\frac{a}{3}$，解得$a=3$。
2. 化简所求代数式：
先对分母因式分解：$a^2 -a = a(a-1)$，
将$\frac{a}{a-1}$通分，分子分母同乘$a$得：$\frac{a}{a-1}=\frac{a^2}{a(a-1)}$，
则原式$=\frac{a^2}{a(a-1)} - \frac{1}{a(a-1)} = \frac{a^2 -1}{a(a-1)}$，
分子用平方差公式因式分解：$a^2 -1=(a+1)(a-1)$，
约分（$a≠1$）得：原式$=\frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a}$。
3. 代入求值：
把$a=3$代入$\frac{a+1}{a}$，得：$\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
分式方程的解、分式化简求值、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础综合题，既考查了分式方程解的应用，又考查了分式运算中通分、因式分解、约分的核心技能，先化简后代入求值的方法可以有效降低计算量，减少运算错误，是分式求值类题目的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8