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1.(2025,湖南,5)将分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$去分母后得到的整式方程为(
A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
A
).A.$x+1=2x$
B.$x+2=1$
C.$1=2x$
D.$x=2(x+1)$
答案
1.A
解析
【分析】
解这道题的核心思路是利用等式的性质对分式方程去分母，转化为整式方程。首先要先找到方程中两个分式的最简公分母，再将方程两边同时乘以最简公分母，就能约去所有分母得到整式方程。注意去分母时等式两边的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘。本题中两个分母分别是x和x+1，没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)，两边同时乘这个公分母即可计算得到结果。
【解析】
步骤1：确定最简公分母
分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的分母为$x$和$x+1$，最简公分母为$x(x+1)$。
步骤2：等式两边同乘最简公分母去分母
根据等式的性质，将方程两边同时乘以$x(x+1)$（隐含条件$x≠0$且$x≠-1$），可得：
$\frac{1}{x} × x(x+1) = \frac{2}{x+1} × x(x+1)$
约分后得到：$x+1=2x$
因此去分母后得到的整式方程为$x+1=2x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程去分母
2.等式的性质
【点评】
本题考查分式方程求解的基础步骤，是分式方程相关考点的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，去分母时避免漏乘项。
【难度系数】
0.9
解这道题的核心思路是利用等式的性质对分式方程去分母，转化为整式方程。首先要先找到方程中两个分式的最简公分母，再将方程两边同时乘以最简公分母，就能约去所有分母得到整式方程。注意去分母时等式两边的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘。本题中两个分母分别是x和x+1，没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)，两边同时乘这个公分母即可计算得到结果。
【解析】
步骤1：确定最简公分母
分式方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$的分母为$x$和$x+1$，最简公分母为$x(x+1)$。
步骤2：等式两边同乘最简公分母去分母
根据等式的性质，将方程两边同时乘以$x(x+1)$（隐含条件$x≠0$且$x≠-1$），可得：
$\frac{1}{x} × x(x+1) = \frac{2}{x+1} × x(x+1)$
约分后得到：$x+1=2x$
因此去分母后得到的整式方程为$x+1=2x$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程去分母
2.等式的性质
【点评】
本题考查分式方程求解的基础步骤，是分式方程相关考点的基础题型，解题关键是准确确定最简公分母，去分母时避免漏乘项。
【难度系数】
0.9
2.(2025,哈尔滨,5)方程$\frac{5}{x+2}=\frac{3}{x}$的解为(
A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x=-3$
D.$x=1$
B
).A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x=-3$
D.$x=1$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：首先确定方程的最简公分母，通过去分母将分式方程转化为已经学过的整式方程，再求解整式方程，最后必须将所得的根代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，可得$x≠0$且$x≠-2$。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$x(x+2)$，得：
$5x = 3(x+2)$
2. 解整式方程：
去括号得：$5x = 3x + 6$，
移项得：$5x - 3x = 6$，
合并同类项得：$2x = 6$，
系数化为1得：$x = 3$。
3. 检验：把$x=3$代入最简公分母$x(x+2)$，得$3×(3+2)=15≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，核心考查分式方程的求解流程，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时牢记分式方程必须验根，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：首先确定方程的最简公分母，通过去分母将分式方程转化为已经学过的整式方程，再求解整式方程，最后必须将所得的根代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，可得$x≠0$且$x≠-2$。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$x(x+2)$，得：
$5x = 3(x+2)$
2. 解整式方程：
去括号得：$5x = 3x + 6$，
移项得：$5x - 3x = 6$，
合并同类项得：$2x = 6$，
系数化为1得：$x = 3$。
3. 检验：把$x=3$代入最简公分母$x(x+2)$，得$3×(3+2)=15≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的验根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，核心考查分式方程的求解流程，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时牢记分式方程必须验根，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
3.分式方程$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}=\frac{4}{x^2-9}$的解是(
A.$x=\pm2$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.无解
B
).A.$x=\pm2$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.无解
答案
3.B
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。首先观察方程分母，$x^2-9$可利用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，因此最简公分母为$(x-3)(x+3)$，给方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后代入最简公分母检验：若公分母不为0，则是原方程的解；若公分母为0，则是增根，需要舍去。
【解析】
1. 确定最简公分母：利用平方差公式得$x^2-9=(x-3)(x+3)$，因此原方程最简公分母为$(x-3)(x+3)$，分式有意义的前提是$x≠3$且$x≠-3$。
2. 去分母转化为整式方程：给方程两边同时乘$(x-3)(x+3)$，得：
$(x+3)+(x-3)=4$
3. 解整式方程：化简左边得$2x=4$，解得$x=2$。
4. 验根：将$x=2$代入最简公分母，得$(2-3)×(2+3)=-5≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 平方差公式
3. 分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是正确找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，需要注意所有分式方程求出根后都必须验根，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.75
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。首先观察方程分母，$x^2-9$可利用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，因此最简公分母为$(x-3)(x+3)$，给方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后代入最简公分母检验：若公分母不为0，则是原方程的解；若公分母为0，则是增根，需要舍去。
【解析】
1. 确定最简公分母：利用平方差公式得$x^2-9=(x-3)(x+3)$，因此原方程最简公分母为$(x-3)(x+3)$，分式有意义的前提是$x≠3$且$x≠-3$。
2. 去分母转化为整式方程：给方程两边同时乘$(x-3)(x+3)$，得：
$(x+3)+(x-3)=4$
3. 解整式方程：化简左边得$2x=4$，解得$x=2$。
4. 验根：将$x=2$代入最简公分母，得$(2-3)×(2+3)=-5≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 平方差公式
3. 分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题关键是正确找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，需要注意所有分式方程求出根后都必须验根，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.75
4.分式方程$\frac{x}{x-1} -1 = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$的解为(
A.无解
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=-2$
A
).A.无解
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=-2$
答案
4.A
解析
【分析】
解分式方程的常规思路是先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验求得的整式方程的根是否是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的根），如果是增根则原方程无解。本题首先确定最简公分母，去分母转化为一元一次方程，解出根后代入分母检验即可判断结果。
【解析】
1. 确定取值限制：要使原分式有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$且$x+2≠0$，也就是$x≠1$且$x≠-2$。
2. 去分母转化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，可得：
$x(x+2) - (x-1)(x+2) = 3$
3. 化简求解整式方程：
展开左边式子得：$x^2+2x - (x^2+x-2) = 3$
去括号合并同类项得：$x+2=3$，解得$x=1$。
4. 验根：将$x=1$代入最简公分母，得$(1-1)(1+2)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是忽略验根步骤，直接将整式方程的解$x=1$当成原方程的解，解题时要牢记解分式方程最后必须检验根是否使原方程的分母为0。
【难度系数】
0.6
解分式方程的常规思路是先通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验求得的整式方程的根是否是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的根），如果是增根则原方程无解。本题首先确定最简公分母，去分母转化为一元一次方程，解出根后代入分母检验即可判断结果。
【解析】
1. 确定取值限制：要使原分式有意义，需满足分母不为0，即$x-1≠0$且$x+2≠0$，也就是$x≠1$且$x≠-2$。
2. 去分母转化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)(x+2)$，可得：
$x(x+2) - (x-1)(x+2) = 3$
3. 化简求解整式方程：
展开左边式子得：$x^2+2x - (x^2+x-2) = 3$
去括号合并同类项得：$x+2=3$，解得$x=1$。
4. 验根：将$x=1$代入最简公分母，得$(1-1)(1+2)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是忽略验根步骤，直接将整式方程的解$x=1$当成原方程的解，解题时要牢记解分式方程最后必须检验根是否使原方程的分母为0。
【难度系数】
0.6
5.若关于$x$的分式方程$\frac{x+2}{x-2}=2+\frac{a}{2-x}$的解为正数，则$a$的取值范围是（
A.$a＞-6$
B.$a＞-6$且$a≠-4$
C.$a＜6$
D.$a＜6$且$a≠-4$
B
）.A.$a＞-6$
B.$a＞-6$且$a≠-4$
C.$a＜6$
D.$a＜6$且$a≠-4$
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要把分式方程转化为整式方程，求出用a表示的x的表达式，再结合两个限制条件求a的取值范围：一是方程的解为正数，二是分式的分母不能为0（排除增根）。思考时要注意：去分母时需处理好2-x=-(x-2)的符号问题，求出x后不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免漏判限制条件。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$（注意$2-x=-(x-2)$），去分母得：
$x+2 = 2(x-2) - a$
展开并整理方程：
$x+2 = 2x - 4 - a$
移项合并同类项：
$-x = -a -6$
系数化为1得：
$x = a + 6$
∵ 方程的解为正数
∴ $x＞0$，即$a+6＞0$，解得$a＞-6$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x-2≠0$，$x≠2$
∴ $a+6≠2$，解得$a≠-4$
综上，a的取值范围是$a＞-6$且$a≠-4$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常见易考题型，易错点是容易忽略分母不为0的隐含条件，忘记排除增根对应的a的取值，解题时要养成解分式方程必验根的习惯。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要把分式方程转化为整式方程，求出用a表示的x的表达式，再结合两个限制条件求a的取值范围：一是方程的解为正数，二是分式的分母不能为0（排除增根）。思考时要注意：去分母时需处理好2-x=-(x-2)的符号问题，求出x后不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免漏判限制条件。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$（注意$2-x=-(x-2)$），去分母得：
$x+2 = 2(x-2) - a$
展开并整理方程：
$x+2 = 2x - 4 - a$
移项合并同类项：
$-x = -a -6$
系数化为1得：
$x = a + 6$
∵ 方程的解为正数
∴ $x＞0$，即$a+6＞0$，解得$a＞-6$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x-2≠0$，$x≠2$
∴ $a+6≠2$，解得$a≠-4$
综上，a的取值范围是$a＞-6$且$a≠-4$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程的常见易考题型，易错点是容易忽略分母不为0的隐含条件，忘记排除增根对应的a的取值，解题时要养成解分式方程必验根的习惯。
【难度系数】
0.7
6.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距$u$、像距$v$和凸透镜的焦距$f$满足关系式：$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$。
若$f=6\ \mathrm{cm},v=8\ \mathrm{cm}$，则物距$u=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
若$f=6\ \mathrm{cm},v=8\ \mathrm{cm}$，则物距$u=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
6.24
解析
【分析】
本题已知物距u、像距v、焦距f的关系式，以及f和v的具体数值，要求物距u。解题思路如下：首先将已知的f、v的值代入给定的公式，得到关于u的分式方程，再通过移项、分式加减运算求出$\frac{1}{u}$的值，进而得到u的取值，最后检验解是否符合分母不为0的要求及实际意义。
【解析】
解：把$f=6\ \mathrm{cm}$，$v=8\ \mathrm{cm}$代入关系式$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，得：
$\frac{1}{u} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$
移项可得：
$\frac{1}{u} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$
对右边通分计算：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$
因此$\frac{1}{u} = \frac{1}{24}$，解得$u=24$。
检验：当$u=24$时，分母$u≠0$，且物距为正数符合实际意义，故$u=24$是原方程的解。
【答案】
24
【知识点】
分式方程求解；代数式代入求值；分式加减运算
【点评】
本题结合物理学科的凸透镜成像公式，考查分式方程的基础应用，难度较低，解题的核心是准确代入已知数值，正确完成分式运算，注意解分式方程后要验证解的合理性。
【难度系数】
0.8
本题已知物距u、像距v、焦距f的关系式，以及f和v的具体数值，要求物距u。解题思路如下：首先将已知的f、v的值代入给定的公式，得到关于u的分式方程，再通过移项、分式加减运算求出$\frac{1}{u}$的值，进而得到u的取值，最后检验解是否符合分母不为0的要求及实际意义。
【解析】
解：把$f=6\ \mathrm{cm}$，$v=8\ \mathrm{cm}$代入关系式$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，得：
$\frac{1}{u} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$
移项可得：
$\frac{1}{u} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$
对右边通分计算：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$
因此$\frac{1}{u} = \frac{1}{24}$，解得$u=24$。
检验：当$u=24$时，分母$u≠0$，且物距为正数符合实际意义，故$u=24$是原方程的解。
【答案】
24
【知识点】
分式方程求解；代数式代入求值；分式加减运算
【点评】
本题结合物理学科的凸透镜成像公式，考查分式方程的基础应用，难度较低，解题的核心是准确代入已知数值，正确完成分式运算，注意解分式方程后要验证解的合理性。
【难度系数】
0.8
7.(2025，长沙，13)分式方程$\frac{3}{x+1}=\frac{2}{2x-1}$的解为
$x=\frac{5}{4}$
.答案
7.$x=\frac{5}{4}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：第一步先找各分母的最简公分母，本题中分母为$x+1$和$2x-1$，二者无公因式，因此最简公分母为$(x+1)(2x-1)$；第二步给方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；第三步解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得的解是否使原方程分母为0，若分母不为0才是原方程的解，若分母为0则是增根要舍去。
【解析】
解：去分母，给方程两边同时乘以最简公分母$(x+1)(2x-1)$（此时$x≠-1$且$x≠\frac{1}{2}$），得：
$3(2x-1)=2(x+1)$
去括号，得：
$6x-3=2x+2$
移项，得：
$6x-2x=2+3$
合并同类项，得：
$4x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{4}$
检验：当$x=\frac{5}{4}$时，$(x+1)(2x-1)=(\frac{5}{4}+1)×(2×\frac{5}{4}-1)=\frac{9}{4}×\frac{3}{2}=\frac{27}{8}≠0$，因此$x=\frac{5}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础常考题，解题时要注意去分母时不要漏乘项，同时必须牢记求解完成后要检验，避免把增根当成原方程的解，养成规范解题的习惯。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：第一步先找各分母的最简公分母，本题中分母为$x+1$和$2x-1$，二者无公因式，因此最简公分母为$(x+1)(2x-1)$；第二步给方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；第三步解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得的解是否使原方程分母为0，若分母不为0才是原方程的解，若分母为0则是增根要舍去。
【解析】
解：去分母，给方程两边同时乘以最简公分母$(x+1)(2x-1)$（此时$x≠-1$且$x≠\frac{1}{2}$），得：
$3(2x-1)=2(x+1)$
去括号，得：
$6x-3=2x+2$
移项，得：
$6x-2x=2+3$
合并同类项，得：
$4x=5$
系数化为1，得：
$x=\frac{5}{4}$
检验：当$x=\frac{5}{4}$时，$(x+1)(2x-1)=(\frac{5}{4}+1)×(2×\frac{5}{4}-1)=\frac{9}{4}×\frac{3}{2}=\frac{27}{8}≠0$，因此$x=\frac{5}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础常考题，解题时要注意去分母时不要漏乘项，同时必须牢记求解完成后要检验，避免把增根当成原方程的解，养成规范解题的习惯。
【难度系数】
0.8
8.方程$\frac{x-2}{x-1}-2=\frac{2}{1-x}$的解是
$x=2$
.答案
8.$x=2$
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：首先观察到方程中两个分母x-1和1-x互为相反数，可先将右侧分式变形为以x-1为分母的形式；接下来给方程两边同乘最简公分母x-1，将分式方程转化为整式方程，注意每一项都要乘公分母，不能漏乘常数项；求解整式方程得到未知数的值后，必须代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终得到原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{x-2}{x-1} - 2 = -\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x-2 - 2(x-1) = -2$
去括号得：
$x - 2 - 2x + 2 = -2$
合并同类项得：
$-x = -2$
系数化为1得：
$x = 2$
检验：将$x=2$代入最简公分母$x-1$，得$2-1=1≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=2$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解分式方程必须检验，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：首先观察到方程中两个分母x-1和1-x互为相反数，可先将右侧分式变形为以x-1为分母的形式；接下来给方程两边同乘最简公分母x-1，将分式方程转化为整式方程，注意每一项都要乘公分母，不能漏乘常数项；求解整式方程得到未知数的值后，必须代入最简公分母检验，判断是否为增根，最终得到原方程的解。
【解析】
解：原方程可变形为：
$\frac{x-2}{x-1} - 2 = -\frac{2}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x-2 - 2(x-1) = -2$
去括号得：
$x - 2 - 2x + 2 = -2$
合并同类项得：
$-x = -2$
系数化为1得：
$x = 2$
检验：将$x=2$代入最简公分母$x-1$，得$2-1=1≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=2$
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解分式方程必须检验，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.8
9.若$\frac{1}{x+2}$的值比$\frac{1+x}{x-2}$的值小1，则$x$的值为
$-4$
。答案
9.$-4$
解析
【分析】
首先根据题目给出的数量关系列分式方程：$\frac{1}{x+2}$比$\frac{1+x}{x-2}$小1，即$\frac{1+x}{x-2}-\frac{1}{x+2}=1$。解分式方程的核心思路是先通过乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的根是否会让原分式分母为0，排除增根。去分母时注意不要漏乘不带分母的常数项。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1+x}{x-2}-\frac{1}{x+2}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(1+x)(x+2)-(x-2)=(x+2)(x-2)$
展开并合并同类项：
左边：$x^2+3x+2-x+2=x^2+2x+4$
右边：$x^2-4$
化简得：
$x^2+2x+4=x^2-4$
消去$x^2$后移项计算：
$2x=-8$
解得$x=-4$。
检验：当$x=-4$时，$(x+2)(x-2)=(-2)×(-6)=12≠0$，所以$x=-4$是原方程的解。
【答案】
$-4$
【知识点】
列分式方程；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础应用题，解题的关键是准确梳理数量关系列出方程，去分母时注意不要漏乘常数项，最后必须检验根的有效性，避免增根错误。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的数量关系列分式方程：$\frac{1}{x+2}$比$\frac{1+x}{x-2}$小1，即$\frac{1+x}{x-2}-\frac{1}{x+2}=1$。解分式方程的核心思路是先通过乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的根是否会让原分式分母为0，排除增根。去分母时注意不要漏乘不带分母的常数项。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1+x}{x-2}-\frac{1}{x+2}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(1+x)(x+2)-(x-2)=(x+2)(x-2)$
展开并合并同类项：
左边：$x^2+3x+2-x+2=x^2+2x+4$
右边：$x^2-4$
化简得：
$x^2+2x+4=x^2-4$
消去$x^2$后移项计算：
$2x=-8$
解得$x=-4$。
检验：当$x=-4$时，$(x+2)(x-2)=(-2)×(-6)=12≠0$，所以$x=-4$是原方程的解。
【答案】
$-4$
【知识点】
列分式方程；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础应用题，解题的关键是准确梳理数量关系列出方程，去分母时注意不要漏乘常数项，最后必须检验根的有效性，避免增根错误。
【难度系数】
0.7
10.若$\frac{2x-1}{x-2}$与$\frac{3x-2}{2-x}$互为相反数，则$x^2 -2x +1$的值为
$0$
。答案
10.$0$
解析
【分析】
首先根据“互为相反数的两个数之和为0”列出分式方程，观察两个分式的分母是x-2和2-x，二者互为相反数，可先统一分母，将分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程必须验根，排除增根后，将求得的x值代入代数式$x^2-2x+1$计算即可得到结果。
【解析】
∵$\frac{2x-1}{x-2}$与$\frac{3x-2}{2-x}$互为相反数
∴$\frac{2x-1}{x-2} + \frac{3x-2}{2-x} = 0$
将第二个分式变形，得：$\frac{2x-1}{x-2} - \frac{3x-2}{x-2} = 0$
要使分式有意义，则分母$x-2≠0$，即$x≠2$
此时分式和为0等价于分子和为0：
$2x -1 - (3x - 2) = 0$
去括号得：$2x -1 -3x +2 =0$
合并同类项得：$-x +1 = 0$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，故$x=1$是原分式方程的解
将$x=1$代入$x^2 -2x +1$得：
$1^2 -2×1 +1 =1-2+1=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于分式方程与代数式求值的综合基础题，解题关键是利用相反数的性质列方程，注意解分式方程时必须检验根是否使原分式的分母不为0，避免增根出错。
【难度系数】
0.8
首先根据“互为相反数的两个数之和为0”列出分式方程，观察两个分式的分母是x-2和2-x，二者互为相反数，可先统一分母，将分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程必须验根，排除增根后，将求得的x值代入代数式$x^2-2x+1$计算即可得到结果。
【解析】
∵$\frac{2x-1}{x-2}$与$\frac{3x-2}{2-x}$互为相反数
∴$\frac{2x-1}{x-2} + \frac{3x-2}{2-x} = 0$
将第二个分式变形，得：$\frac{2x-1}{x-2} - \frac{3x-2}{x-2} = 0$
要使分式有意义，则分母$x-2≠0$，即$x≠2$
此时分式和为0等价于分子和为0：
$2x -1 - (3x - 2) = 0$
去括号得：$2x -1 -3x +2 =0$
合并同类项得：$-x +1 = 0$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，故$x=1$是原分式方程的解
将$x=1$代入$x^2 -2x +1$得：
$1^2 -2×1 +1 =1-2+1=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法；代数式求值
【点评】
本题属于分式方程与代数式求值的综合基础题，解题关键是利用相反数的性质列方程，注意解分式方程时必须检验根是否使原分式的分母不为0，避免增根出错。
【难度系数】
0.8
11.解下列方程：
(1)$\frac{2}{2x-1}=\frac{4}{4x^2 -1}$；
(2)$\frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}$。
(1)$\frac{2}{2x-1}=\frac{4}{4x^2 -1}$；
(2)$\frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}$。
答案
11.解:(1)$\because \frac{2}{2x-1}=\frac{4}{4x^2-1}$,
去分母,得$2(2x+1)=4$. 解得$x=\frac{1}{2}$.
经检验,$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解是$x=\frac{1}{2}$.
(2)$\because \frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}$,
去分母,得$2×(2x)+(2x+6)=7$. 解得$x=\frac{1}{6}$.
经检验,$x=\frac{1}{6}$是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解是$x=\frac{1}{6}$.
去分母,得$2(2x+1)=4$. 解得$x=\frac{1}{2}$.
经检验,$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解是$x=\frac{1}{2}$.
(2)$\because \frac{2x}{x+3}+1=\frac{7}{2x+6}$,
去分母,得$2×(2x)+(2x+6)=7$. 解得$x=\frac{1}{6}$.
经检验,$x=\frac{1}{6}$是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解是$x=\frac{1}{6}$.
