12.解方程：$\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x-8}$

12.解:$\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x-8}$,
移项,得$\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x-8}=\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-5}$.
$\therefore \frac{1}{(x-9)(x-8)}=\frac{1}{(x-6)(x-5)}$.
去分母,得$(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)$,
解得$x=7$.
经检验,$x=7$是原分式方程的解.
$\therefore$原分式方程的解是$x=7$.

【分析】
解这道分式方程时，若直接对两边整体通分，计算量较大且容易出错。首先观察方程两边的分式结构，可先将分母数值接近的分式移到同一侧，再分组通分，通分后分子会化简为常数1，此时两个分子为1的分式相等则分母相等，将方程转化为整式方程求解，最后一定要检验所得根是否为原分式方程的增根。
【解析】
解：$\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-6}+\frac{1}{x-8}$
移项，得$\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x-8}=\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-5}$
两边分别通分，得$\frac{(x-8)-(x-9)}{(x-9)(x-8)}=\frac{(x-5)-(x-6)}{(x-6)(x-5)}$
化简分子，得$\frac{1}{(x-9)(x-8)}=\frac{1}{(x-6)(x-5)}$
去分母，得$(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)$
展开两边，得$x^2-11x+30=x^2-17x+72$
移项、合并同类项，得$6x=42$
解得$x=7$
检验：当$x=7$时，$(x-9)(x-8)(x-6)(x-5)=(-2)×(-1)×1×2=4≠0$，所以$x=7$是原分式方程的解。
【答案】
$x=7$
【知识点】
分式方程的解法；分式通分运算；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的巧算题型，解题前先观察分式的分母特征，通过移项分组通分可大幅降低计算量，避免直接整体通分带来的复杂运算，同时要牢记分式方程求解后必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.6

1.已知关于$x$的分式方程$\frac{kx}{x-3}-4=\frac{3}{3-x}$无解，则$k$的值为（）.

A.$-1$或$4$
B.$7$
C.$7$或$4$
D.$-1$

1.A

【分析】
分式方程无解包含两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分这两种情况分别计算k的值即可。
【解析】
原分式方程中$3-x=-(x-3)$，方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（$x\ne3$），去分母得：
$kx - 4(x-3) = -3$
整理整式方程：
$kx -4x +12 = -3$
合并同类项得：
$(k-4)x = -15$
分两种情况讨论：
1. 整式方程无解：当一次项系数为0、常数项不为0时，一次方程无解。令$k-4=0$，解得$k=4$，此时方程变为$0x=-15$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式方程的增根为使分母为0的$x$值，即$x=3$。将$x=3$代入整式方程$(k-4)x=-15$得：
$3(k-4) = -15$
解得$k=-1$，此时整式方程的解为原方程增根，原分式方程无解，符合题意。
综上，$k$的值为$-1$或$4$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程无解的条件、分式方程的增根、解一元一次方程
【点评】
本题的易错点是漏记分式方程无解的两种情况，解题时既要考虑增根的情形，也要考虑整式方程本身无解的情形，避免漏解。
【难度系数】
0.6

2.对于两个非零实数$a,b$,规定$a*b=\frac{3}{b}-\frac{2}{a}$,若$5*(3x-1)=2$,则$x$的值为().

A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{1}{6}$

2.B

【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，找到式子$5*(3x-1)$中对应新定义里的$a$和$b$，将其代入运算公式得到关于$x$的分式方程，再按照解分式方程的步骤：去分母转化为整式方程、求解整式方程、检验根是否为增根，最终得到$x$的正确值。
【解析】
根据新定义运算$a*b=\frac{3}{b}-\frac{2}{a}$，在$5*(3x-1)$中，$a=5$，$b=3x-1$，代入可得：
$\frac{3}{3x-1}-\frac{2}{5}=2$
解这个分式方程：
1. 去分母：两边同时乘以最简公分母$5(3x-1)$（注意$3x-1≠0$），得：
$3×5 - 2(3x-1) = 2×5(3x-1)$
2. 化简计算：
$15 - 6x + 2 = 30x - 10$
$17 - 6x = 30x - 10$
3. 移项合并同类项：
$36x = 27$
4. 系数化为1：
$x = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$
5. 检验：将$x=\frac{3}{4}$代入$3x-1$，得$3×\frac{3}{4}-1=\frac{5}{4}≠0$，所以$x=\frac{3}{4}$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算；解分式方程
【点评】
本题将新定义运算和分式方程的求解结合，解题核心是准确对应新定义中的参数代入得到方程，解分式方程时不要忘记验根，整体难度不高，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7

3.方程$\frac{1}{x-3}=\frac{1-x}{3-x}-3$的解为。

3.$x=\frac{7}{2}$

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：首先明确分式方程求解的核心是转化为整式方程，第一步先确定分母不为0的取值范围（避免出现增根）；观察到方程中两个分母x-3和3-x互为相反数，可将右边的分式变形为同分母形式，再给方程两边同时乘最简公分母x-3，注意常数项也要乘公分母，不要漏乘；接着解得到的整式方程，最后必须将解代入最简公分母检验，确认分母不为0才是原方程的解。
【解析】
解：要使分式有意义，则$x-3≠0$，即$x≠3$。
原方程可变形为：
$\frac{1}{x-3}=\frac{x-1}{x-3}-3$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$，去分母得：
$1 = (x-1) - 3(x-3)$
展开括号得：
$1 = x - 1 - 3x + 9$
合并同类项得：
$1 = -2x + 8$
移项计算得：
$2x = 7$
系数化为1得：
$x = \frac{7}{2}$
检验：将$x=\frac{7}{2}$代入$x-3$，得$\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}≠0$，符合分母不为0的要求，是原方程的解。
【答案】
$x=\frac{7}{2}$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的检验、去分母法则
【点评】
本题属于分式方程的常规基础题，解题的易错点在于去分母时常数项漏乘公分母、处理$3-x$分母时符号出错，以及忘记检验解是否为增根，掌握分式方程的求解步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

4.已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1} - 3 = \frac{2k}{x-1}$的解为正数，则$k$的取值范围为。

4.$k＜\frac{3}{2}且k≠\frac{1}{2}$

【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程求出x的表达式，再根据两个限定条件列不等式求解：一是方程的解为正数，即x＞0；二是分式方程分母不能为0，即x≠1（否则方程有增根，无意义），最后综合两个不等式的结果得到k的取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），去分母得：
$x - 3(x-1) = 2k$
展开括号：$x - 3x + 3 = 2k$
合并同类项：$-2x = 2k - 3$
系数化为1得：$x = \frac{3-2k}{2}$
∵ 方程的解为正数
∴ $\frac{3-2k}{2} ＞ 0$，解得：$k ＜ \frac{3}{2}$
又
∵ 分母$x-1≠0$，即$x≠1$
∴ $\frac{3-2k}{2} ≠ 1$，解得：$k ≠ \frac{1}{2}$
综上，k的取值范围是$k ＜ \frac{3}{2}$且$k ≠ \frac{1}{2}$
【答案】
$k＜\frac{3}{2}且k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的解，分式方程的增根，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程相关的常见题型，解题时要注意不能遗漏分式方程分母不为零的隐含条件，需同时满足解的正负性和分式有意义两个要求，避免因忽略增根情况导致取值范围求错。
【难度系数】
0.6

5.已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-3} - 2 = \frac{m}{x-3}$有正数解，试求$m$的取值范围.

5.解:由$\frac{x}{x-3}-2=\frac{m}{x-3}$有正整数解,得
$x=6-m＞0$,解得$m＜6$.
$\because$当$x=3$时,原分式方程的分母$x-3=0$,此时$m=3$,
$\therefore$当$m＜6$且$m≠3$时,原分式方程的解必为正数,
即$m$的取值范围是$m＜6$且$m≠3$.

【分析】
解这道题的思路分为三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含m的代数式表示的x；第二步，根据“方程有正数解”的条件，令x＞0，列不等式求出m的初步取值范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，排除x=3（此时分母为0，是增根，原方程无解）对应的m值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：方程两边同时乘$(x-3)$，消去分母得：
$x - 2(x - 3) = m$
展开计算得：
$x - 2x + 6 = m$
整理得：$x = 6 - m$
∵ 方程有正数解，即$x＞0$
∴ $6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又
∵ 原分式方程分母不能为0，即$x≠3$
∴ $6 - m ≠ 3$，解得$m ≠ 3$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$
【答案】
$m＜6$且$m≠3$
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 分式方程增根
3. 一元一次不等式应用
【点评】
这是分式方程的典型常考题，解题时容易遗漏“分母不为0”的隐含条件，导致多算$m=3$的情况，做题时要注意在求出整式方程的解后，先验证解是否会让原分式方程的分母为0，再结合题目给出的解的限制条件求参数范围。
【难度系数】
0.6